Đề kiểm tra Các quy tắc tính đạo hàm (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Hàm số \(y = {x^n}(n \in {\mathbb{N}^*})\) có đạo hàm \[y'\] trên \[\mathbb{R}\] bằng
\(n{x^{n - 1}}\).
\(n\).
\(n{x^n}\).
\({x^{n - 1}}.\)
Cho hàm số \[u = u\left( x \right)\], \[v = v\left( x \right)\] có đạo hàm trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] và \[v\left( x \right) \ne 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\,\,\].
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{v}\,\,\].
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v + uv'}}{{{v^2}}}\,\,\].
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{uv' - u'v}}{{{v^2}}}\,\,\].
Hàm số \(y = \tan x\) với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có đạo hàm \[y'\] bằng
\( - \frac{1}{{co{s^2}x}}\).
\(\frac{1}{{co{s^2}x}}\).
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
\( - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {4 - x} \) là
\(\frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }}\).
\(\sqrt {4 - x} \).
\(\frac{{ - 1}}{{\sqrt {4 - x} }}\).
\(\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {4 - x} }}\).
Tính đạo hàm của hàm số \[f(x) = {x^{2024}}\]
\[f'(x) = 2024{x^{2024}}.\]
\[f'(x) = {x^{2023}}.\]
\[f'(x) = 2024{x^{2023}}.\]
\[f'(x) = 2023{x^{2023}}.\]
Đạo hàm của hàm số \[y = 2{e^{3x}}\] là
\[y' = 6{e^{3x}}.\]
\[y' = 2{e^{3x - 1}}.\]
\[y' = 6x.{e^{3x - 1}}.\]
\[y' = 6{e^{3x - 1}}.\]
\[y' = (2{e^{3x}})' = 2.3.{e^{3x}} = 6.{e^{3x}}\]
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng
\[y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\].
\[y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\].
\[y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\].
\[y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) < 0\) là
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( { - 1;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = 3\left( {{x^2} - 1} \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = (x + 2)({x^2} + 1)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) bằng
\(6\).
\(4\).
\(8\).
\(1\).
Ta có \(f'\left( x \right) = (x + 2)'({x^2} + 1) + (x + 2)({x^2} + 1)' = {x^2} + 1 + 2x(x + 2) = 3{x^2} + 4x + 1\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là \(f'\left( 1 \right) = 8\).Cho hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3}--2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x--5 + m\]. Tìm \(m\)để \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(m \ge 1\).
\(m \le - \frac{3}{4}\).
\( - \frac{3}{4} \le m \le 1\).
\( - \frac{3}{4} < m < 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = {x^2} - 4mx + m + 3\\y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4{m^2} - m - 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{4} \le m \le 1\end{array}\)Một chất điểm chuyển động theo đồ thị quãng đường như hình dưới đây. Trong đó t tính bằng giây \[(s)\]và quãng đường tính bằng mét \[(m).\] Chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào?
\[1\,(s)\].
\[7\,(s)\]
\[5\,(s)\]
\[2\,(s).\]
Phương trình vận tốc có dạng \[s(t) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d\]
Đồ thị qua các điểm \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {0;1} \right)\\\left( {1;3} \right)\\\left( {2;5} \right)\\\left( {3;1} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,{\rm{n\^e n}}\,\left\{ \begin{array}{l}d = 1\\3 = a + b + c + d\\5 = 8a + 4b + 2c + d\\1 = 27a + 9b + 3c + d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\c = 0\\b = 3\\a = - 1\end{array} \right.\]
Khi đó: \[s(t) = - {t^3} + 3{t^2} + 1\]
Theo bài \[{v_{\max }} \Leftrightarrow {\left( { - 3{t^2} + 6t} \right)_{\max }} \Leftrightarrow t = - \frac{6}{{ - 3}} = 2.\]
Chọn đáp án DMột doanh nghiệp sản xuất hàng hóa. Biết tổng chi phí sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \(C\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000\) (nghìn đồng). Tổng số tiền thu được khi bán \(x\) đơn vị sản phẩm đó là: \(R\left( x \right) = 4000x - 33{x^2}\) (nghìn đồng). Sản lượng tối ưu và doanh thu lúc đó của doanh nghiệp tương ứng là
\[30;\;22\] triệu đồng.
\[20;\;39\] triệu đồng.
\[30;\;90,3\] triệu đồng.
\[20;66,8\] triệu đồng.
Điều kiện: \(x > 0,x \in \mathbb{N}\).
Doanh nhiệp thu được lợi nhuận là:
\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = \left( {4000x - 33{x^2}} \right) - \left( {2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000} \right)\) \( = - 2{x^3} - 30{x^2} + 3600x - 5000\)
Lợi nhuận biên là: \[P'\left( x \right) = - 6{x^2} - 60x + 3600\].
Lợi nhuận tối đa đạt được tại một trong các điểm \({x_0}\) mà \[P'\left( {{x_0}} \right) = 0\].
\[P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 30\;(loai)\\x = 20\;\;(Thoa\;man)\end{array} \right.\]
Ta có bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\]:
Từ bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\] ta có:
Khi \(x < 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận tăng.
Khi \(x > 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận giảm.
Vậy mức sản lượng tối ưu là \(20\).
Doanh thu lúc đó là: \(P\left( {20} \right) = 39000\) nghìn đồng hay \(39\) triệu đồng.Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\). Khi đó:
\(y'\left( 0 \right) = 7\)
Đồ thị của hàm số \(y'\) đi qua điểm \(A\left( {1;\frac{7}{3}} \right)\)
\(y'\left( 1 \right) < y'\left( 2 \right)\)
Điểm \(M\) thuộc đồ thị \((C)\)của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\) có hoành độ \({x_0} = 0\). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) song song với đường thẳng \(y = 7x + 2024\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
\({y^\prime } = \frac{{{{(x - 3)}^\prime }(2x + 1) - {{(2x + 1)}^\prime }(x - 3)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{{2x + 1 - 2(x - 3)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{7}{{{{(2x + 1)}^2}}}\).
Tính được đạo hàm của các hàm số sau. Khi đó:
\(y = \left( {{x^2} + x} \right){e^x}\) có \({y^\prime } = \left( {{x^2} + 3x + 1} \right){e^x}\)
\(y = \frac{{{x^3}}}{{\ln x}}\) có \({y^\prime } = \frac{{3{x^2}\ln x - {x^2}}}{{{{(\ln x)}^2}}}\)
\(y = \frac{{2{x^2}}}{{{2^x}}}\)có \({y^\prime } = \frac{{4x - 2 \cdot \ln 2 \cdot {x^2}}}{{{2^x}}}\)
\(y = 3x \cdot {\log _3}x\) có \({y^\prime } = 3{\log _3}x + \frac{3}{{\ln 3}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) \({y^\prime } = {\left( {{x^2} + x} \right)^\prime } \cdot {e^x} + {\left( {{e^x}} \right)^\prime } \cdot \left( {{x^2} + x} \right) = (2x + 1){e^x} + {e^x}\left( {{x^2} + x} \right) = \left( {{x^2} + 3x + 1} \right){e^x}\).
b) \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^\prime } \cdot \ln x - {{(\ln x)}^\prime } \cdot {x^3}}}{{{{(\ln x)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\ln x - \left( {\frac{1}{x}} \right){x^3}}}{{{{(\ln x)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\ln x - {x^2}}}{{{{(\ln x)}^2}}}\)
c) \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {2{x^2}} \right)}^\prime } \cdot {2^x} - {{\left( {{2^x}} \right)}^\prime } \cdot 2{x^2}}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} = \frac{{4x \cdot {2^x} - {2^x} \cdot \ln 2 \cdot 2{x^2}}}{{{2^{2x}}}} = \frac{{4x - 2 \cdot \ln 2 \cdot {x^2}}}{{{2^x}}}\).
d) \({y^\prime } = {(3x)^\prime } \cdot {\log _3}x + {\left( {{{\log }_3}x} \right)^\prime } \cdot 3x = 3{\log _3}x + \frac{1}{{x\ln 3}} \cdot 3x = 3{\log _3}x + \frac{3}{{\ln 3}}\)Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{\cos 2x}}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3.\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}}\).
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
\(3.{y^2}.y' + 2\sin 2x = 0\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt[3]{{\cos 2.\frac{\pi }{2}}} = - 1\).
\[y = \sqrt[3]{{\cos 2x}} \Rightarrow {y^3} = \cos 2x \Rightarrow y'3{y^2} = - 2\sin 2x \Rightarrow y' = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}}\].
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) .
\(3.{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)^2}.\frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}} + 2\sin 2x = - 2\sin 2x + 2\sin 2x = 0\).
Cho hàm số \(y = {e^{\sin x}}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[y'.\cos x - y.\sin x - y'' = 1\].
\[2y'\sin x = \sin 2x.{e^{\sin x}}\].
\[y' = \cos x.{e^{\sin x}}\].
\[y'.\cos x - y.\sin x - y'' = 0\].
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có:
\(y' = \cos x.{e^{\sin x}}\)
\[2y'\sin x = 2\cos x.{e^{\sin x}}.\sin x\]\[ = \sin 2x.{e^{\sin x}}\]
\(y'' = - \sin x.{e^{\sin x}} + {\cos ^2}x.{e^{\sin x}}\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;2} \right\}\] \( = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}} - \sin x.{e^{\sin x}} - \left( { - \sin x.{e^{\sin x}} + {{\cos }^2}x.{e^{\sin x}}} \right)\)\( = 0\)\({y^\prime } = {\left( {\tan \left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}\left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)}} = \frac{{4x}}{{{{\cos }^2}\left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)}}\)
Ta có: \({y^\prime } = {\left( {x \cdot {2^{2x}}} \right)^\prime } = {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime } = {x^\prime } \cdot {4^x} + {\left( {{4^x}} \right)^\prime } \cdot x = {4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x\);
\({y^{\prime \prime }} = {\left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right)^\prime } = {\left( {{4^x}} \right)^\prime } + \ln 4 \cdot {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\) (\({\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)làm giống bước trên)
\( = {4^x}\ln 4 + \ln 4 \cdot \left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right) = 2 \cdot {4^x}\ln 4 + {\ln ^2}4 \cdot {4^x} \cdot x = {4^x} \cdot \ln 4(2 + x\ln 4).\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau:
\(y = {x^3} - x - 3\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\);
Theo giả thiết, ta có: \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 3\), gọi điểm \(M(2;3)\) là toạ độ tiếp điểm.
Ta có: \({y^\prime } = {\left( {{x^3} - x - 3} \right)^\prime } = 3{x^2} - 1\) nên tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(M\) có hệ số góc là \({y^\prime }(2) = 11\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \(M\) là:
\(y - 3 = 11(x - 2) \Leftrightarrow y = 11x - 19.\)
Ta có: \({s^\prime }(t) = 3{(\sin 2t)^\prime } + 2{(\cos 2t)^\prime } = 6\cos 2t - 4\sin 2t\).
Và \({s^{\prime \prime }}(t) = 6{(\cos 2t)^\prime } - 4{(\sin 2t)^\prime } = - 12\sin 2t - 8\cos 2t\).
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) là:
\(a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = {s^{\prime \prime }}\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 12\left[ {\sin \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] - 8\left[ {\cos \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = - 12\)
Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thành phố đó (tính bằng nghìn người/ năm), ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}}\).
Từ năm 2015 đến năm 2025 nghĩa là \(t = 10\).
Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 10\) là:
\({f^\prime }(10) = \frac{{120}}{{{{(10 + 5)}^2}}} = \frac{8}{{15}} \approx 0,533{\rm{ }}\)(nghìn người/năm)
Đạo hàm của hàm số \(T\) biểu thị tốc độ thay đổi của nhiệt độ.
Ta có: \({T^\prime }(t) = - 0,2t + 1,2\).
Vậy tốc độ thay đổi nhiệt độ tại thời điểm \(t = 2\) là:
