Đề kiểm tra Các quy tắc tính đạo hàm (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Hàm số \(y = x + 1\) có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] là
\(y' = 1\).
\(y' = 0\).
\(y' = x\).
\(y' = 2\).
Hàm số \(y = \sin x\) có đạo hàm \[y'\] trên \(\mathbb{R}\) bằng
\( - \sin \,x\).
\( - cosx\).
\(cosx\).
\(y' = \sin x\).
Hàm số \[y = {2^x}\] xác định trên \[\mathbb{R}\] có công thức đạo hàm
\(y' = {2^x}\).
\(y' = {2^x}\ln 2\).
\(y' = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).
\(y' = 2x\ln 2\).
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{2x + 1}}\). Biết rằng \(y' = \frac{{a{x^2} + bx}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\); giá trị của \(a + b + ab\) bằng
\(4\).
\(6\).
\(8\).
\(12\).
Ta có \(y = \frac{{{x^2}}}{{2x + 1}}\) nên \(y' = \frac{{2x\left( {2x + 1} \right) - 2{x^2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2x}}{{{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).
Do đó \(a = 2\) và \(b = 2\); suy ra \(a + b + ab = 8\).Đạo hàm của hàm số \[y = {[u(x)]^\alpha }\] là
\[\alpha .{[u(x)]^{\alpha - 1}}\].
\[\alpha .{[u(x)]^{\alpha - 1}}.u'(x)\]
\[\alpha .{[u(x)]^{\alpha + 1}}.u'(x)\].
\[\alpha .{[u(x)]^{\alpha - 1}}.u'(x)\].
Hàm số \[y = {e^{2x}}\] có đạo hàm là
\[y' = {e^{2x}}\].
\[y' = 2{e^{2x}}\].
\[y' = \frac{1}{2}{e^{2x}}\].
\[y' = \frac{1}{2}{e^x}\].
Với mọi \[x\] dương, hàm số \[y = \ln 3x\] có đạo hàm là
\[y' = 3x\].
\[y' = 3\ln x\].
\[y' = \frac{1}{x}\].
\[y' = \frac{1}{{3x}}\].
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + {e^{2x}}\]. Chọn khẳng định đúng
\[f'\left( 0 \right) = 3\].
\[f'\left( 1 \right) = 3e\].
\[f'\left( { - 1} \right) = - 3e\].
\[f'\left( 2 \right) = 5{e^2}\].
Đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\) bằng
\(\frac{3}{2}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\).
\(\frac{3}{4}{x^{\frac{1}{4}}}\).
\(\frac{3}{2}{\left( {2x} \right)^{\frac{1}{2}}}\).
\(3x{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\).
Ta có:
Đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\] bằng
\[\frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}}\].
\[{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\].
\[\frac{{2x}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}}\].
\[\frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}}\].
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 9{t^2}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và \(s\)(mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \[10\] giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
\[216{\rm{ }}\left( {m{\rm{/}}s} \right)\].
\[30{\rm{ }}\left( {m{\rm{/}}s} \right)\].
\[400{\rm{ }}\left( {m{\rm{/}}s} \right)\].
\[54\,\,\left( {m{\rm{/}}s} \right)\].
Vận tốc tại thời điểm \(t\) là \(v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\) với \(t \in \left[ {0;10} \right]\).
Ta có : \(v'(t) = - 3t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 6\).
Suy ra: \(v\left( 0 \right) = 0;v\left( {10} \right) = 30;v\left( 6 \right) = 54\). Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng \[54\,\,\left( {m{\rm{/}}s} \right)\]Một vật chuyển động trong \(1\) giờ với vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \[I(\frac{1}{2};8)\] và trục đối xứng song song với trục tung. Tính gia tốc của vật lúc \(t = 0,25\left( h \right)\)
\[16\left( {km/{h^2}} \right)\].
\[ - 16\left( {km/{h^2}} \right)\].
\[8\left( {km/{h^2}} \right)\].
\[ - 8\left( {km/{h^2}} \right)\].
Chọn A
Gọi \(v\left( t \right) = p.{t^2} + q.t + r\) đi qua \[O\left( {0;0} \right);\]\[I(\frac{1}{2};8)\] và \[M\left( {1;0} \right)\] ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}r = 0\\\frac{1}{4}p + \frac{1}{2}q + r = 8\\p + q + r = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 0\\q = 32\\p = - 32\end{array} \right.\). Vậy \(v\left( t \right) = - 32{t^2} + 32.t\)
Gia tốc vật là \(a = v'\left( t \right) = - 64t + 32\)
Lúc \(t = 0,25\left( h \right)\) thì gia tốc là \(a = 16\left( {km/{h^2}} \right)\).Cho hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\sqrt x + 2 - \frac{1}{x}\). Khi đó:
\(y'\left( 1 \right) = - \frac{3}{2}\)
Đồ thị của hàm số \(y'\) đi qua điểm \(A\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\)
\[y'\left( 4 \right) = \frac{{3597}}{{16}}\]
Điểm \(M\) thuộc đồ thị \((C)\)của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\sqrt x + 2 - \frac{1}{x}\) có hoành độ \({x_0} = 1\). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(y = \frac{2}{3}x\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Tính được đạo hàm của các hàm số sau. Khi đó:
\(y = {\log _2}(9x - 5)\) có \({y^\prime } = \frac{9}{{(9x - 5)\ln 2}}\)
\(y = 2{e^{3x + 1}}\) có \({y^\prime } = 6{e^{3x + 1}}\)
\(y = {3^{{x^3} - 1}}\) có \({y^\prime } = 3 \cdot \ln 3 \cdot {x^2} \cdot {3^{{x^3} - 1}}\)
\(y = \ln \sqrt x \) có \({y^\prime } = - \frac{1}{{2x}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) \({y^\prime } = \frac{{{{(9x - 5)}^\prime }}}{{(9x - 5)\ln 2}} = \frac{9}{{(9x - 5)\ln 2}}\)
b) \({y^\prime } = 2{(3x + 1)^\prime } \cdot {e^{3x + 1}} = 6{e^{3x + 1}}\).
c) \({y^\prime } = {\left( {{x^3} - 1} \right)^\prime } \cdot {3^{{x^3} - 1}} \cdot \ln 3 = 3 \cdot \ln 3 \cdot {x^2} \cdot {3^{{x^3} - 1}}\).
d) \({y^\prime } = \frac{{{{(\sqrt x )}^\prime }}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{2\sqrt x \sqrt x }} = \frac{1}{{2x}}\).Tính được đạo hàm cấp hai của các hàm số sau. Khi đó:
\(y = {x^3} - {x^2} + 9x - 5\) có \({y^{\prime \prime }}( - 2) = 14\)
\(y = 2\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\) có \({y^{\prime \prime }}\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 9\sqrt 2 \)
\(y = 2{e^{2x - 1}}\) có \({y^{\prime \prime }}(1) = 8e\)
\(y = \ln (1 - 2x)\) có \({y^{\prime \prime }}( - 3) = \frac{{ - 4}}{{49}}\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} - 2x + 9 \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 6x - 2\).
Vậy \({y^{\prime \prime }}( - 2) = - 14\).
b) Ta có: \({y^\prime } = - 6\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = - 18\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Vậy \({y^{\prime \prime }}\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - 9\sqrt 2 \).
c) Ta có: \({y^\prime } = 4{e^{2x - 1}} \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 8{e^{2x - 1}}\).
Vậy \({y^{\prime \prime }}(1) = 8e\).
d) Ta có: \({y^\prime } = \frac{{{{(1 - 2x)}^\prime }}}{{1 - 2x}} = - \frac{2}{{1 - 2x}} \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 2\frac{{{{(1 - 2x)}^\prime }}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = - \frac{4}{{{{(1 - 2x)}^2}}}\).
Vậy \({y^{\prime \prime }}( - 3) = \frac{{ - 4}}{{49}}\).
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^3}\left( {2 - x} \right) - 2.{f^2}\left( {2 + 3x} \right) + {x^2}.g\left( x \right) + 36x = 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[f'(2) = 2\]
\[f(2) = 2\]
\(f\left( 2 \right) + f'\left( 2 \right) = 4\)
\(3.f\left( 2 \right) + 4.f'\left( 2 \right) = 10\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
\[{f^3}(2 - x) - 2{f^2}(2 + 3x) + {x^2}.g(x) + 36x = 0\], \[\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]\[\left( 1 \right)\].
Vì \[\left( 1 \right)\]đúng\[\,\forall x \in \mathbb{R}\] nên cũng đúng với\[x = 0 \Rightarrow {f^3}(2) - 2{f^2}(2) = 0\,\,\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f(2) = 0\\f(2) = 2\end{array} \right.\]
Lấy đạo hàm hai vế của \[\left( 1 \right)\]ta có:
\[ - 3{f^2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + {x^2}.g'(x) + 36 = 0\,\], \[\,\forall x \in \mathbb{R}\]
Cho \[x = 0\]\[ \Rightarrow - 3{f^2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\,\]\[\left( 2 \right)\].
Ta thấy \[f(2) = 0\] không thỏa mãn \[\left( 2 \right)\]nên \[f(2) = 2\], khi đó \[f'(2) = 1\]\[ \Rightarrow 3f(2) + 4f'(2) = 10\]..
Vậy \(A = 3.f\left( 2 \right) + 4.f'\left( 2 \right) = 10\).
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = 2{e^{2x - 1}}\);
\({y^\prime } = {\left( {2{e^{2x - 1}}} \right)^\prime } = 2 \cdot {(2x - 1)^\prime }{e^{2x - 1}} = 4{e^{2x - 1}}\)
Ta có: \({y^\prime } = {(2\sin x - \ln x)^\prime } = 2\cos x - \frac{1}{x}\);
\({y^{\prime \prime }} = {\left( {2\cos x - \frac{1}{x}} \right)^\prime } = 2{(\cos x)^\prime } - {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - 2\sin x + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(y = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x \cdot \cos x}} = \frac{{ - \cos 2x}}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} = - 2\cot 2x\)
\( \Rightarrow {y^\prime } = - 2\frac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}2x}} = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}} \Rightarrow {y^\prime }\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{16}}{3}\).
Ta có: \(v(t) = {x^\prime } = - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
Thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 nghĩa là \(v(t) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)
Vậy các thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 là:
\(t = \frac{2}{3} + k(k \in \mathbb{Z})(s)\)
Ta có: \({w^\prime }(t) = \frac{{57}}{{25000}}{t^2} - \frac{3}{{25}}t + 1,8\).
Tốc độ thay đổi cân nặng của em bé đó tại thời điểm 15 tháng tuổi là:
\({w^\prime }(15) = \frac{{57}}{{25000}} \cdot {15^2} - \frac{3}{{25}} \cdot 15 + 1,8 = 0,513{\rm{ (pound/th\'a ng) }}\)
Ta có \(v(t) = {s^\prime }(t) = - 3{t^2} + 9t + 1\) có đồ thị là Parabol, do đó \(v{(t)_{\max }} \Leftrightarrow t = \frac{{ - 9}}{{ - 6}} = \frac{3}{2}\).
