Đề kiểm tra Các quy tắc tính đạo hàm (có lời giải) - Đề 2

Vận tốc tại thời điểm \(t\) là \(v(t) = s'(t) =  - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\) với \(t \in \left[ {0;10} \right]\).

Ta có : \(v'(t) =  - 3t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 6\).

Chọn A

Gọi \(v\left( t \right) = p.{t^2} + q.t + r\) đi qua \[O\left( {0;0} \right);\]\[I(\frac{1}{2};8)\] và \[M\left( {1;0} \right)\] ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}r = 0\\\frac{1}{4}p + \frac{1}{2}q + r = 8\\p + q + r = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 0\\q = 32\\p =  - 32\end{array} \right.\). Vậy \(v\left( t \right) =  - 32{t^2} + 32.t\)

Gia tốc vật là \(a = v'\left( t \right) =  - 64t + 32\)

$y^{\text{'}}=4\cdot x^3-4\cdot 2\cdot x+3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}+0-\left(-\frac{1}{x^2}\right)=4x^3-8x+\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}$

a) \({y^\prime } = \frac{{{{(9x - 5)}^\prime }}}{{(9x - 5)\ln 2}} = \frac{9}{{(9x - 5)\ln 2}}\)

b) \({y^\prime } = 2{(3x + 1)^\prime } \cdot {e^{3x + 1}} = 6{e^{3x + 1}}\).

c) \({y^\prime } = {\left( {{x^3} - 1} \right)^\prime } \cdot {3^{{x^3} - 1}} \cdot \ln 3 = 3 \cdot \ln 3 \cdot {x^2} \cdot {3^{{x^3} - 1}}\).

a) Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} - 2x + 9 \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 6x - 2\).

Vậy \({y^{\prime \prime }}( - 2) =  - 14\).

b) Ta có: \({y^\prime } =  - 6\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow {y^{\prime \prime }} =  - 18\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\).

Vậy \({y^{\prime \prime }}\left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - 9\sqrt 2 \).

c) Ta có: \({y^\prime } = 4{e^{2x - 1}} \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 8{e^{2x - 1}}\).

Vậy \({y^{\prime \prime }}(1) = 8e\).

d) Ta có: \({y^\prime } = \frac{{{{(1 - 2x)}^\prime }}}{{1 - 2x}} =  - \frac{2}{{1 - 2x}} \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 2\frac{{{{(1 - 2x)}^\prime }}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} =  - \frac{4}{{{{(1 - 2x)}^2}}}\).

Vậy \({y^{\prime \prime }}( - 3) = \frac{{ - 4}}{{49}}\).

\[{f^3}(2 - x) - 2{f^2}(2 + 3x) + {x^2}.g(x) + 36x = 0\], \[\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]\[\left( 1 \right)\].

Vì \[\left( 1 \right)\]đúng\[\,\forall x \in \mathbb{R}\] nên cũng đúng với\[x = 0 \Rightarrow {f^3}(2) - 2{f^2}(2) = 0\,\,\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f(2) = 0\\f(2) = 2\end{array} \right.\]

Lấy đạo hàm hai vế của \[\left( 1 \right)\]ta có:

\[ - 3{f^2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + {x^2}.g'(x) + 36 = 0\,\], \[\,\forall x \in \mathbb{R}\]

Cho \[x = 0\]\[ \Rightarrow  - 3{f^2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\,\]\[\left( 2 \right)\].

Ta thấy \[f(2) = 0\] không thỏa mãn \[\left( 2 \right)\]nên \[f(2) = 2\], khi đó \[f'(2) = 1\]\[ \Rightarrow 3f(2) + 4f'(2) = 10\]..

Vậy \(A = 3.f\left( 2 \right) + 4.f'\left( 2 \right) = 10\).

\({y^\prime } = {\left( {2{e^{2x - 1}}} \right)^\prime } = 2 \cdot {(2x - 1)^\prime }{e^{2x - 1}} = 4{e^{2x - 1}}\)

Ta có: \({y^\prime } = {(2\sin x - \ln x)^\prime } = 2\cos x - \frac{1}{x}\);

\({y^{\prime \prime }} = {\left( {2\cos x - \frac{1}{x}} \right)^\prime } = 2{(\cos x)^\prime } - {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } =  - 2\sin x + \frac{1}{{{x^2}}}\)

 \(y = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x \cdot \cos x}} = \frac{{ - \cos 2x}}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} =  - 2\cot 2x\)

\( \Rightarrow {y^\prime } =  - 2\frac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}2x}} = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}} \Rightarrow {y^\prime }\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{16}}{3}\).

Ta có: \(v(t) = {x^\prime } =  - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).

Thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 nghĩa là \(v(t) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi  \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)

Vậy các thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 là:

\(t = \frac{2}{3} + k(k \in \mathbb{Z})(s)\)

Ta có: \({w^\prime }(t) = \frac{{57}}{{25000}}{t^2} - \frac{3}{{25}}t + 1,8\).

Tốc độ thay đổi cân nặng của em bé đó tại thời điểm 15 tháng tuổi là:

\({w^\prime }(15) = \frac{{57}}{{25000}} \cdot {15^2} - \frac{3}{{25}} \cdot 15 + 1,8 = 0,513{\rm{ (pound/th\'a ng) }}\)

Ta có \(v(t) = {s^\prime }(t) =  - 3{t^2} + 9t + 1\) có đồ thị là Parabol, do đó \(v{(t)_{\max }} \Leftrightarrow t = \frac{{ - 9}}{{ - 6}} = \frac{3}{2}\).