Đề kiểm tra Các quy tắc tính đạo hàm (có lời giải) - Đề 3

Với \[u = u(x) = x + 3,\] ta có \[y' = {\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}.\] Suy ra

\[y' = {\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {x + 3} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }}.\]

Ta có: \[y' = (2\ln x)' = 2.\frac{1}{x} = \frac{2}{x}\]

\[y' = (\cot u)' =  - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\]

\[y' = (2{x^4} + {x^2} - 1)' = 2.4{x^3} + 2x = 8{x^3} + 2x\]

Vận tốc tức thời của vật: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 12t + 9\)

Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 4\) giây : \(v\left( 4 \right) = {3.4^2} - 12.4 + 9 = 9\)\({\rm{m/s}}\)

Chọn A

\(y' =  - 2.2x.\sin ({x^2}) =  - 4x\sin ({x^2})\).

Chọn B

Ta có \(y = \sqrt {\cos 6x}  \Rightarrow y' = {\left( {\sqrt {\cos 6x} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {\cos 6x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {\cos 6x} }} = \frac{{ - 6\sin 6x}}{{2\sqrt {\cos 6x} }} = \frac{{ - 3\sin 6x}}{{\sqrt {\sin 6x} }}\)

Ta có: \[f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \ln 2\].

Suy ra \[A = 3f'\left( 0 \right) + \ln 2 = 3\ln 2 + \ln 2 = 4\ln 2\].

Ta có: \[y' = {\left( {2x + \ln \left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right)^\prime } = 2 + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\].

Ta có: \[{\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha  - 1}}\].

Chọn B

\(s =  - \frac{1}{2}{t^3} + 3{t^2} + 20\)

\(v(t) = s'(t) = \frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 6t\)

\(v(t) = s'(t) = \frac{{ - 3}}{2}\left( {{t^2} - 4t + 4 - 4} \right)\)\[ = \frac{{ - 3}}{2}\left[ {{{\left( {t - 2} \right)}^2} - 4} \right] = \frac{{ - 3}}{2}{\left( {t - 2} \right)^2} + 6 \le 6\]

Vậy vận tốc đạt được giá trị lớn nhất tại thời điểm \[t = 2\left( s \right)\].

Khi đó quãng đường vật đi được là:\(s = s(2) =  - 4 + 12 + 20 = 28(m)\).

Chọn A

Vận tốc tức thời của con lắc: \(v\left( t \right) = x' =  - \,2\pi \sin \left( {\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\).

\[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - \,2\pi \sin \left( {\pi t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\pi t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \pi t - \frac{\pi }{3} = k\pi ;\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} + k;\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

\({y^\prime } =  - 4 \cdot 3 \cdot {x^2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x - 2 + 0 =  - 12{x^2} + x - 2\)

a) \({y^\prime } = 2{(\sin x)^\prime } - 3{(\cos x)^\prime } = 2\cos x + 3\sin x\).

b) \({y^\prime } = 2{(\cot x)^\prime } - {(\tan x)^\prime } =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

c) \({y^\prime } = {x^\prime } \cdot \cos x + {(\cos x)^\prime } \cdot x = \cos x - x\sin x\).

d)

y'=(2x)'⋅sin2x+sin2x'⋅2x=2sin2x+2sinx(sinx)'⋅2x=2sin2x+4xsinxcosx=2sin2x+2xsin2x

a) b) Ta có \({s^\prime }(t) =  - 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\) và \({s^{\prime \prime }}(t) =  - 16{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\).

c) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t = 5(\;s)\) là:

\({s^\prime }(5) =  - 8\pi \sin \left( {10\pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right) \approx 6,505(\;m/s).\)

d) Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t = 5\) (s) là:

\({s^{\prime \prime }}(5) =  - 16{\pi ^2}\cos \left( {10\pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right) \approx  - 152,533\left( {\;m/{s^2}} \right)\)

a) Ta có \[f'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right) = {x^2} + x - 2\]

b) \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x =  - 2\]

c) \[f'\left( x \right) =  - 2 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 =  - 2 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x =  - 1\]

d) \[f'\left( x \right) = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x =  - 4\]

\({y^\prime } = {\left( {3\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right)^\prime } = 3\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{6x}}{{{x^2} + 1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{y^\prime }}&{ = {{(x\sin x)}^\prime } = {x^\prime } \cdot \sin x + {{(\sin x)}^\prime } \cdot x = \sin x + x\cos x}\\{{y^{\prime \prime }}}&{ = {{(\sin x + x\cos x)}^\prime } = {{(\sin x)}^\prime } + {{(x\cos x)}^\prime }}\\{}&{ = \cos x + {x^\prime } \cdot \cos x + {{(\cos x)}^\prime } \cdot x = 2\cos x - x\sin x}\end{array}\)

Theo giạ thiết, ta có: \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} =  - 1\), gọi điểm \(M(2; - 1)\) là toạ độ tiếp điểm.

Ta có: \({y^\prime } = {\left( { - {{\log }_2}x} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{x\ln 2}}\) nên tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(M\) có hệ số góc là \({y^\prime }(2) = \frac{{ - 1}}{{2\ln 2}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \(M\) là:

\(y + 1 = \frac{{ - 1}}{{2\ln 2}}(x - 2) \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1}}{{2\ln 2}}x + \frac{1}{{\ln 2}} - 1.\)

Vận tốc \(v\) của vật được tính theo công thức: \(v(t) = {s^\prime }(t) = {t^2} - 2t + 9\).

Ta có: \({t^2} - 2t + 9 = {(t - 1)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow v \ge 8\).

Vậy vận tốc nhỏ nhất của vật là \(8(\;m/s)\) đạt được tại thời điểm \(t = 1\) (giây).

Gia tốc của vật bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động

Ta có: \({x^\prime } = 2\pi \cos \pi t \Rightarrow a(t) = {x^{\prime \prime }}(t) =  - 2{\pi ^2}\sin \pi t\)

Vì \( - 1 \le \sin \pi t \le 1 \Leftrightarrow  - 2{\pi ^2} \le  - 2{\pi ^2}\sin \pi t \le 2{\pi ^2} \Leftrightarrow  - 2{\pi ^2} \le a(t) \le 2{\pi ^2}\)

Gia tốc lớn nhất khi \(\sin \pi t =  - 1 \Leftrightarrow \pi t =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{2} + 2k\)

Với \(k = 0 \Rightarrow t =  - \frac{1}{2}(l);k = 1 \Rightarrow t = \frac{3}{2}\)

Vậy tại \(t = \frac{3}{2}\) giây là thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất.

Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là \(S(t)(km)\) là hàm số phụ

\(v(t) = {s^\prime }(t) = 2t \cdot {e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t \cdot {e^{3t + 1}} \Rightarrow v(1) = 2 \cdot 1 \cdot {e^4} + 2 \cdot {e^4} + 6{e^4} = 10{e^4}(\;km/s)\)