25 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
25 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Đạo hàm của hàm số y = 2x3 + 3 là:
y' = 6x2.
y' = 6x.
y' = 3x2.
y' = 6x2 + 3.
A
y' = 6x2.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2\sqrt x + x\) tại điểm x0 = 4 là
y'(4) = 6.
\(y'\left( 4 \right) = \frac{5}{4}\).
\(y'\left( 4 \right) = \frac{9}{2}\).
\(y'\left( 4 \right) = \frac{3}{2}\).
D
Ta có \(y' = \frac{1}{{\sqrt x }} + 1\) Þ \(y'\left( 4 \right) = \frac{1}{{\sqrt 4 }} + 1 = \frac{3}{2}\).
Chọn khẳng định đúng.
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = \ln a\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = x\ln a\).
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = \ln x\).
A
\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây
(sinx)' = −cosx.
\({\left( {\tan x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\({\left( {\cot x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
(cosx)' = −sinx.
D
(sinx)' = cosx; \({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\); \({\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\); (cosx)' = −sinx.
Đạo hàm của hàm số y = 3x là
y' = 3x.
y' = x.3x-1 .
y' = 3xln3.
\(y' = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\).
C
y' = 3xln3.
Cho hàm số y = xcosx. Khi đó hàm số đã cho có đạo hàm là
y' = cosx – xcosx.
y' = cosx + xcosx .
y' = cosx – xsinx.
y' = cosx + xsinx.
C
y' = cosx + x.(cosx)' = cosx – xsinx.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 8x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 6x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
C
\(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right){{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} + 4x + 4 + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Đạo hàm của hàm số y = sinx + cosx là
y' = −cosx + sinx.
y' = cosx + sinx.
y' = −cosx – sinx.
y' = cosx – sinx.
D
y' = cosx – sinx.
Tìm đạo hàm của hàm số y = log5x tại x = 2.
\(y'\left( 2 \right) = \frac{5}{{\ln 2}}\).
\(y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\ln 5}}\).
\(y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{5\ln 2}}\).
\(y'\left( 2 \right) = \frac{2}{{\ln 5}}\).
B
\(y' = \frac{1}{{x\ln 5}}\)Þ \(y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\ln 5}}\).
Cho hàm số \(y = 2\sqrt {2{x^2} + x - 5} \). Tính y'(2).
\(\frac{9}{{\sqrt 5 }}\).
\(2\sqrt 5 \).
\(\frac{9}{{2\sqrt 5 }}\).
\(\sqrt 5 \).
A
Ta có \(y' = \frac{{4x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} + x - 5} }}\) Þ \(y'\left( 2 \right) = \frac{9}{{\sqrt 5 }}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {e^{{x^2} + 2x + 5}}\)là
\(y' = {e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
\(y' = \left( {2x + 2} \right){e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
\(y' = \left( {2x + 5} \right){e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
\(y' = \left( {{x^2} + 2x + 5} \right){e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
B
\(y' = {\left( {{e^{{x^2} + 2x + 5}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2} + 2x + 5} \right)^\prime }{e^{{x^2} + 2x + 5}} = \left( {2x + 2} \right){e^{{x^2} + 2x + 5}}\).
Đạo hàm của hàm số y = ln(x2 + x + 1) là
\(y' = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\).
\(y' = - \frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\).
\(y' = - \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\).
C
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\).
Đạo hàm của hàm số y = sin2x là
y' = 2cosx.
y' = −2cos2x.
y' = 2cos2x.
y' = cos2x.
C
y' = (2x)'.cos2x = 2cos2x.
Cho f(x) = x3. Tính f"(1).
f"(1) = 3.
f"(1) = 2.
f"(1) = 6.
f"(1) = 1.
C
f'(x) = 3x2 Þ f"(x) = 6x.
Do đó f"(1) = 6.
Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức S(t) = 4 – 2t + 4t2 + 2t3, trong đó t > 0 và t tính bằng giây (s), S(t) tính bằng mét (m). Tìm gia tốc a của chất điểm tại thời điểm t = 5 s.
a(5) = 68 m/s2.
a(5) = 115 m/s2.
a(5) = 100 m/s2.
a(5) = 225 m/s2.
A
Ta có v(t) = S'(t) = −2 + 8t + 6t2; a(t) = v'(t) = 8 + 12t Þ a(5) = 68 m/s2.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Một người đang lái xe máy, ngay khi phát hiện có vật cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc xe máy để lại vết trượt dài 12 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình phanh, xe máy chuyển động theo phương trình S(t) = 12t – 3t2, trong đó S (đơn vị mét) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh, t (đơn vị giây) là thời gian từ lúc bắt đầu phanh (0 £ t £ 2).
a) Vận tốc tức thời của xe máy khi bắt đầu phanh là 12 m/s.
b) Xe máy trên chưa chạy quá tốc độ (tốc độ giới hạn cho phép là 50 km/h.
c) Vận tốc tức thời của xe máy ngay khi xảy ra va chạm là 8 m/s.
d) Thời điểm xảy ra va chạm cách thời điểm bắt đầu đạp phanh 1,5 giây.
Ta có v(t) = S'(t) = 12 – 6t.
a) v(0) = 12 – 6.0 = 12 (m/s).
b) Đổi 50 km/h ≈ 13,9 m/s. Do đó xe máy chưa chạy quá tốc độ.
c) Thời gian từ lúc đạp phanh đến khi xảy ra va chạm là nghiệm của phương trình
12t – 3t2 = 12 Û t = 2.
Vậy vận tốc tức thời của xe máy ngay khi xảy ra va chạm là v(2) = 12 – 6.2 = 0 m/s.
d) Thời điểm xảy ra va chạm là 2 giây kể từ lúc đáp phanh.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t3 – 3t2 + 3t – 1 trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét.
a) Phương trình vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t giây có dạng v(t) = 3t2 – 6t + 3.
b) Phương trình gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t giây có dạng a(t) = 6t + 6.
c) Gia tốc tại thời điểm vận tốc tức thời bằng 3 m/s là 6 m/s2.
d) Quãng đường chất điểm đi được khi vận tốc tức thời của chất điểm bằng 3 m/s bằng 1 m.
a) Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 3.
b) a(t) = v'(t) = 6t – 6.
c) Ta có v(t) = 3 Û 3t2 – 6t + 3 = 3 Û 3t2 – 6t = 0 Û t = 0 (loại) hoặc t = 2 (thỏa mãn).
Khi đó a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s2.
d) s(2) = 23 – 3.22 + 3.2 – 1 = 1 m.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 7x + 2\)có đồ thị (C) và điểm A(0; 2).
a) Hàm số đã cho có đạo hàm là f'(x) = x2 – 6x + 7.
b) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A có hệ số góc bằng −7.
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0; 2) là y = 7x + 2.
d) Bất phương trình có nghiệm f'(x) > 7 có tập nghiệm S = (0; 6).
a) f'(x) = x2 – 6x + 7.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến là k = f'(0) = 7.
c) Phương trình tiếp tuyến là: y = 7x + 2.
d) f'(x) > 7 Û x2 – 6x + 7 > 7 Û \(\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 6\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; 0) È (6; +∞).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = 10 + \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\), trong đó s tính bằng centimet và t được tính bằng giây.
a) Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là −16π2 cm/s2.
b) Vận tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là 2π cm/s.
c) Vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) cm/s.
d) Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là −16π2 cm/s2.
Ta có v(t) = s'(t) = \(4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\); \(a\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).
a) \(a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = - 16{\pi ^2}\) cm/s2.
b) \(v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = 4\pi \) cm/s.
c) Có \( - 4\pi \sqrt 2 \le 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 4\pi \sqrt 2 \).
Vậy vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) cm/s.
d) \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \le - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2 \).
Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) cm/s2.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số f(x) = 2x.
a) f'(x) = 2xln2, ∀x Îℝ.
b) f'(x) ≥ 2, ∀x Îℝ.
c) Phương trình f'(x) = ex có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0; 1).
d) f'(1) = 2ln2.
a) f'(x) = 2xln2.
b) f'(x) ≥ 2 Û 2xln2 ≥ 2 Û 2x – 1ln2 ≥ 0 (luôn đúng ∀x Î ℝ).
c) f'(x) = ex Û 2xln2 = ex \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} = \frac{1}{{\ln 2}}\)\( \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{2}{e}}}\frac{1}{{\ln 2}} < 0\).
d) f'(1) = 2ln2.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x - 7}}{{{x^2} + 3}}\). Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình y' = 0.
Ta có \(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}\).
Có y' = 0 Û −x2 + 2x + 3 = 0 Û x = −1 hoặc x = 3.
Tổng các nghiệm của phương trình y' = 0 là 2.
Trả lời: 2.
Cho hàm số y = f(x). Biết f'(2) = 0 và f(2) = −2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số h(x) = xf(x) tại x = 2.
Ta có h'(x) = f(x) + x.f'(x).
Suy ra h'(2) = f(2) + 2.f'(2) = −2 + 2.0 = −2.
Trả lời: −2.
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 3x + 2}}{{x - 1}}\) có \(f''\left( x \right) = \frac{{a{x^3} + b{x^2} + cx + d}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\). Tính S = a – b + c – 2d.
\(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3{x^2} + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^3} + 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2} - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\);
\(f''\left( x \right) = \frac{{\left( {6{x^2} - 6x} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\)\( = \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 10}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\).
Suy ra a = 2; b = −6; c = 6; d = 10.
Từ đó a – b + c – 2d = 2 + 6 + 6 – 20 = −6.
Trả lời: −6.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \frac{{2018x}}{{x + 1}}\). Tính tổng S = f'(1) + f'(2) + …+f'(2018) thu được phân số tối giản \(\frac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\). Tính 2b – a.
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{2018x}}.{\left( {\frac{{2018x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
Do đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{2};f'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3};...;f'\left( {2018} \right) = \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}}\).
Suy ra S = f'(1) + f'(2) + …+f'(2018) = \(1 - \frac{1}{{2019}} = \frac{{2018}}{{2019}}\).
Suy ra a = 2018; b = 2019. Do đó 2b – a = 2020.
Trả lời: 2020.
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{6}{t^4} - \frac{2}{3}{t^3} + 3{t^2} - 1\), trong đó t là thời gian tính bằng giây, s tính bằng mét. Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 2{t^2} + 6t\); a(t) = v'(t) = 2t2 – 4t + 6.
Þ a(t) = 2(t2 – 2t + 1) + 4 = 2(t – 1)2 + 4 ≥ 4.
Dấu “=” xảy khi khi t = 1.
Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm có giá trị nhỏ nhất là 4 khi t = 1 s, khi đó vận tốc chuyển động của chất điểm là \(v\left( 1 \right) = \frac{{14}}{3} \approx 4,67\) (m/s).
Trả lời: 4,67.
