10 Bài tập Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y'(x) = [(3x – 5)⁴]' = 4. (3x – 5)' . (3x – 5)³ = 12(3x – 5)³.

Khi đó, y''(x) = [12(3x – 5)³]' = 12 . 3 . (3x – 5)' . (3x – 5)² = 108(3x – 5)².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Với mọi x > – 1, ta có y'(x) = ${\left(\sqrt{\text{x}+1}\right)}^{\text{'}}$ = $\frac{{\left(\text{x}+1\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{\text{x}+1}}=\frac{1}{2\sqrt{\text{x}+1}}$.

Khi đó, y''(x) = ${\left(\frac{1}{2\sqrt{\text{x}+1}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{(2\sqrt{x+1}{)}^{\text{'}}}{{\left(2\sqrt{\text{x}+1}\right)}^2}=-\frac{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{4{\left(\sqrt{\text{x}+1}\right)}^2}=-\frac{1}{4{\left(\sqrt{\text{x}+1}\right)}^3}$.

Vậy y''(0) =$-\frac{1}{4{\left(\sqrt{0+1}\right)}^3}=\frac{-1}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với mọi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$, ta có y'(x) = (tanx)' = $\frac{1}{{\cos }^2\text{x}}$.

Khi đó, y''(x) = ${\left(\frac{1}{{\cos }^2\text{x}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{{\left({\cos }^2\text{x}\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^4\text{x}}=-\frac{2.\cos \text{x}.(\cos \text{x}{)}^{\text{'}}}{{\cos }^4\text{x}}=\frac{2\cos \text{x.}\sin \text{x}}{{\cos }^4\text{x}}=\frac{2\sin \text{x}}{{\cos }^3\text{x}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có y'(x) = (sin3x)' = 3cos3x.

y''(x) = (3cos3x)' = – 9sin3x.

Đáp án A: 2y + y'' = 2sin3x – 9sin3x = – 7sin3x nên A đúng.

Đáp án B: $\left(\frac{\text{π}}{\text{3}}\right)=-9\sin \left(3\cdot \frac{\text{π}}{3}\right)=-9\sin \text{π = 0}$ nên B sai.

Đáp án C: y'' – y = – 9sin3x – sin3x = – 10sin3x nên C sai.

Đáp án D: $\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\left(-9\sin 3\text{x}\right)=-3\sin 3\text{x}$ nên D sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có y'(x) = (sin²x)' + (x²)' = 2sinxcosx + 2x.

 y''(x) = (2sinxcosx)' + (2x)' = 2(cos²x – sin²x) + 2.

Vậy $\left(\frac{\text{π}}{\text{2}}\right)=2\left({\cos }^2\frac{\text{π}}{2}-{\sin }^2\frac{\text{π}}{2}\right)+2=-2+2=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có y'(x) = [(3x – 2)³]' + (7x)' + (8)' = 3 . 3 . (3x – 2)² + 7 = 9(3x – 2)² + 7.

y''(x) = [9(3x – 2)²]' + (7)' = 9 . 2 . 3 . (3x – 2) = 54(3x – 2).

Có y''(x) = 0, tức là 54(3x – 2) = 0.

Suy ra 3x – 2 = 0.

Suy ra $\text{x}=\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\text{y}=\frac{1}{-\text{x}}=-\frac{\text{1}}{\text{x}}$.

Với mọi x ≠ 0, ta có $={\left(-\frac{1}{\text{x}}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\text{x}}^{\text{2}}}$.

Khi đó, $={\left(\frac{1}{{\text{x}}^{\text{2}}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{({\text{x}}^{\text{2}}{)}^{\text{'}}}{{\text{x}}^4}=-\frac{2\text{x}}{{\text{x}}^4}=-\frac{2}{{\text{x}}^3}$.

Vậy (I) sai và (II) đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có y'(x) = 32x³ – 26x + 24.

Khi đó, y''(x) = 96x² – 26.

y''(x) = 0, tức là 96x² – 26 = 0.

Suy ra ${\text{x}}^2=\frac{26}{96}$.

Suy ra $\text{x}=\pm \frac{\sqrt{39}}{12}$.

Vậy phương trình y''(x) = 0 có hai nghiệm.