Vì AC = CE nên CE = 6 cm.

Từ giả thiết, ta có tam giác ADE có B là trung điểm của AD, C là trung điểm của AE.

Do đó BC là đường trung bình của tam giác ADE.

Suy ra \({\rm{BC}} = \frac{1}{2}{\rm{DE}}\), BC // DE (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay DE = 2BC = 2 ⋅ 8 = 16 (cm).

Trong tam giác ADF có B là trung điểm của AD, M là trung điểm của AF.

Do đó BM là đường trung bình của tam giác ADF.

Suy ra BM // DF (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay BC // DF (M ∈ BC).

Vì BC // DE và BC // DF nên D, E, F thẳng hàng.

Vậy đáp án C đúng.

Trong tam giác MNP có:

+ D là trung điểm của NP, DE // MP, E ∈ MN.

Do đó E là trung điểm của MN (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra ME = EN = \(\frac{1}{2}\)MN (1).

+ D là trung điểm của NP, DF // MN, F ∈ MP.

Do đó F là trung điểm của MP (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra MF = FP = \(\frac{1}{2}\)MP (2).

Mà tam giác MNP cân tại M nên MN = MP (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra ME = EN = MF = FP.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra H là trung điểm của BC.

Trong tam giác ABC có H là trung điểm của BC, I là trung điểm của AC.

Do đó HI là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra HI // AB (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vì K ∈ HI nên HK // AB.

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác OMN cân tại O nên OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra H là trung điểm của MN.

Trong tam giác MKN có H là trung điểm của MN, DH // KN, D ∈ MK.

Do đó D là trung điểm của MK.

Suy ra MD = DK (1).

Trong tam giác ODH có I là trung điểm của OH, KI // DH (do I ∈ NK), K ∈ OD.

Do đó K là trung điểm của OD.

Suy ra OK = DK (2).

Lại có OK + DK + MD = OM (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra OM = 3OK.

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABD có E là trung điểm của AB, G là trung điểm của AD

Do đó EG là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra \({\rm{EG}} = \frac{1}{2}{\rm{BD}}\)(tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác CBD có F là trung điểm của BC, H là trung điểm của CD

Do đó FH là đường trung bình của tam giác CBD.

Suy ra \({\rm{FH}} = \frac{1}{2}{\rm{BD}}\)(tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác ADC có H là trung điểm của DC, G là trung điểm của AD

Do đó HG là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra \({\rm{HG}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}\)(tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác ABC có E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC

Do đó EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra \({\rm{EF}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}\)(tính chất đường trung bình của tam giác).

Ta có EF + FH + HG + GE =\(\frac{1}{2}{\rm{AC + }}\frac{1}{2}{\rm{BD}}\,{\rm{ + }}\frac{1}{2}{\rm{AC + }}\frac{1}{2}{\rm{BD}}\) = AC + BD.

Trong tam giác ABC có I là trung điểm BC, HI // AC, H ∈ AB.

Do đó H là trung điểm của AB (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra HI là đường trung bình của tam giác ABC.

Nên \({\rm{HI}} = \frac{1}{2}{\rm{AC}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Chứng minh tương tự ta có HK, IK là đường trung bình của tam giác ABC.

Nên \({\rm{HK}} = \frac{1}{2}{\rm{BC, KI}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Vì tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.

Suy ra HI = HK = KI.

Vậy tam giác HIK là tam giác đều.

Trong tam giác NDP có I là trung điểm NP, E là trung điểm DN (DE = EN).

Do đó EI là đường trung bình của tam giác NDP.

Suy ra EI // PD và \({\rm{EI}} = \frac{1}{2}{\rm{PD}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

Trong tam giác MEI có D là trung điểm ME (MD = DE), DH // EI (H ∈ DP).

Suy ra H là trung điểm của MI.

Nên HD là đường trung bình của tam giác MEI.

Suy ra \({\rm{HD}} = \frac{1}{2}{\rm{EI}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \({\rm{HD = }}\frac{1}{3}EI = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}PD = \frac{1}{4}{\rm{PD}}\).