Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc 0 độ đến 180 độ lớp 10 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = \frac{{\frac{{3\sin \alpha  + 4\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{2\sin \alpha  - 5\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\,\, = \,\,\frac{{3\, + 4\,\cot \alpha }}{{2 - \,5\,\cot \alpha }}\,\, = \,\,\frac{{3\,\, + \,\,4 \cdot \,\frac{1}{3}}}{{2\, - \,5 \cdot \frac{1}{3}}}\, = \,\,\,13\).

a) Sai. Ta có \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên \(\cos \alpha  < 0\).

b) Đúng. Vì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).

Do đó \[\cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{{16}}{{25}}}  =  - \frac{4}{5}\].

c) Sai. Ta có \[\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \frac{3}{4} \Rightarrow \,\tan \left( {180^\circ  - \alpha } \right) =  - \tan \alpha  = \frac{3}{4}\].

d) Đúng. \[A = \frac{{\tan \alpha  - \cot \left( {180^\circ  - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {90^\circ  - \alpha } \right)}} = \frac{{\tan \alpha  - \frac{1}{{\tan \left( {180^\circ  - \alpha } \right)}}}}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4} - \frac{4}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{5}}} = \frac{{125}}{{48}}\].

a) Đúng. Do \(0^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha  > 0\).

b) Sai. Ta có \({\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Mà \(\sin \alpha  > 0\) nên \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

c) Đúng. Ta có \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha  = \cot \alpha  \cdot \sin \alpha  =  - \sqrt 2  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} =  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

d) Sai. Ta có \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

a) Đúng. Ta có \(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{2}\).

b) Sai. \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = 2 > 0 \Rightarrow \sin \alpha  \cdot {\rm{cos}}\alpha  > 0\).

c) Đúng. Vì \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) nên \({\rm{cos}}\alpha  > 0\).

Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {2^2}}} = \frac{1}{5} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

d) Sai. Ta có \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} \Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha  \cdot {\rm{cos}}\alpha  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Suy ra \({\rm{sin}}\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{cos}}\alpha  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

a) Đúng. Vì \(\cos \alpha \, < \,0\) nên \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \).

b) Đúng. Vì \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha  > 0\), mà \(\cos \alpha \, < \,0\), từ đó suy ra \(\cot \alpha \, < \,0\).

c) Sai. Ta có \({\sin ^2}\alpha \, + \,{\cos ^2}\alpha  = \,1\, \Leftrightarrow \,{\sin ^2}\alpha \, = \,1\, - \,{\cos ^2}\alpha \, = \,\,\frac{5}{9}\)\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\). 

d) Sai. Có \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }}\, =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

a) Đúng. Ta có \(\tan \alpha  = 3\) nên \(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).

b) Đúng. Ta có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + {3^2} = 10\) \[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{10}}\] \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha  = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\{\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\).

Vì \({\rm{0}}^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha  > 0\)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

c) Sai. Vì \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\]\[ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = {\rm{1}} - {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\];

\(\cot \left( {90^\circ  - \alpha } \right) = \tan \alpha  = 3\).

Suy ra \(5{\sin ^2}\alpha  - 3{\cos ^2}\alpha  + \cot \left( {90^\circ  - \alpha } \right) = 5 \cdot \frac{9}{{10}} - 3 \cdot \frac{1}{{10}} + 3 = \frac{{36}}{5}\).

d) Đúng. Vì \({\rm{tan}}\alpha  = 3\) nên \(\cos \alpha  \ne 0\).

Chia tử và mẫu của \(E\) cho \({\cos ^2}\alpha  \ne 0\), ta được:

\(E = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{5{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{3\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha  - 5}}{{2{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + 3{\rm{tan}}\alpha  + 1}}\,\)

\(E = \frac{{9 - 5}}{{18 + 9 + 1}} = \frac{4}{{28}} = \frac{1}{7} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8\).

Vì \(\cot \alpha  =  - \sqrt 2  \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \(\sin \alpha \) ta được:

\(P = \frac{{\frac{{2\sin \alpha  - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{4\sin \alpha  + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 \cot \alpha }}{{4 + 3\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{2 - \sqrt 2  \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}}{{4 + 3\sqrt 2  \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}} =  - 2 = \frac{m}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 2\\n = 1\end{array} \right.\).

Khi đó \(A = {\left( { - 2} \right)^2} + {1^2} = 5\).

Đáp án: \(5\).

Ta có \[P = \sin \left( {90^\circ  - \alpha } \right) - \cos \left( {180^\circ  - \alpha } \right) = \cos \alpha  - \left( { - \cos \alpha } \right) = 2\cos \alpha \].

Mặt khác \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\\cos \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.\).

Lại có \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha  > 0\), từ đó ta được \(\cos \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \[P = 2\cos \alpha  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} \approx 1,89\].

Đáp án: \(1,89\).

Vì \(\cot \alpha  = 2 \Rightarrow \sin \alpha  \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của B cho \({\sin ^3}\alpha \) ta được:

\(B = \frac{{\left( {\sin \alpha  + 2\cos \alpha } \right)\frac{1}{{{{\sin }^3}\alpha }}}}{{\left( {{{\sin }^3}\alpha  - {{\cos }^3}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\sin }^3}\alpha }}}} = \frac{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + 2\cot \alpha  \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }}\)\(\)

\( = \frac{{1 + {{\cot }^2}\alpha  + 2\cot \alpha \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }} = \frac{{2{{\cot }^3}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha  + 2\cot \alpha  + 1}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }} =  - \frac{{25}}{7} =  - \frac{a}{b}\).

Suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{{25}}{7}\) và \(a = 25,b = 7\). Vậy \(a - b = 25 - 7 = 18\).

Đáp án: 18.

\(F = 1 - 2{\sin ^2}55^\circ  + 4{\cos ^2}60^\circ  - 2{\sin ^2}35^\circ  + \tan 55^\circ \tan 35^\circ \)\[ = 1 - 2{\sin ^2}\left( {90^\circ  - 35^\circ } \right) + 4{\cos ^2}60^\circ  - 2{\sin ^2}35^\circ  + \tan \left( {90^\circ  - 35^\circ } \right)\tan 35^\circ \]\( = 1 - 2{\cos ^2}35^\circ  + 4{\cos ^2}60^\circ  - 2{\sin ^2}35^\circ  + \cot 35^\circ  \cdot \tan 55^\circ \)\( = 1 - 2\left( {{{\sin }^2}35^\circ  + {{\cos }^2}35^\circ } \right) + 4{\cos ^2}60^\circ  + \tan 35^\circ \cot 35^\circ  = 1 - 2 \cdot 1 + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = 1\).

Đáp án: 1.

Vì \(\tan \alpha  = 1 \Rightarrow \cos \alpha  \ne 0\). Chia cả tử và mẫu cho \({\cos ^2}\alpha \) ta được:

\(B = \frac{{\left( {{{\sin }^2}\alpha  + 1} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\left( {2{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha  + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha  + {{\tan }^2}\alpha  + 1}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3\).

Đáp án: 3.