Thành lập số và tính tổng

Chọn 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số :

Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy : Từ 4 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chứ số hàng nghìn bằng 3 thoả mãn điều kiện của đề bài.

          Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy só các số thoả mãn điều kiện của đề bài là:

                   6 x 3 = 18 (số)

Cách 2 :

          Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau :

          - có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện đề bài (vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn).

          - Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn)

          - Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm).

          - Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó là chữ số còn lại khác hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục).

          Vậy các số viết được là : 3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số)

Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất (Trong 4 chữ số đã cho). Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9.

Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm bằng 8.

          Chữ số hàng chục là chữ số lớn trong 2 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3.

          Số phải tìm là 9830.

         Tương tự phần trên ta nhận được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3089.

Số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9.

          Số phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 9 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải bằng 3.

          Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong hai chữ số còn lại, nên chữ số hàng trăm phải bằng 8.

          Vậy số phải tìm  là 9830.

        Tương tự số chẵn nhỏ nhất là 3098.

Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên :

          1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

          Để sau khi xoá 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy 1, 3, 5, 7. Số còn lại là :

          9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

          Ta phải xoá tiếp 15 – 4 = 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy tiếp theo ta phải xoá tiếp những chữ số viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là 11 13 15 17 1. Số còn lại là :

          992 123 252 729.

          Ta phải xoá tiếp 11 – 9 = 2 chữ số từ số còn lại để được số lớn nhất. Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, vậy để được số lớn nhất sau khi xoá 2 chữ số ta phải xoá số 12 hoặc 21. Vậy số lớn nhất phải là

          9 923 252 729.

Ta lập được 6 số sau

          235             325             523

         253             352             532

Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 2 lần.

Tổng các số đó là :

          (2 + 3 + 5) x 2 x 100 + (2 + 3 + 5) x 2 x 10 + (2 + 3 + 5) x 1

          = 10 x 2 x (100 + 10 + 1)

          = 10 x 2 x 111

         = 2220

Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập được 6 số sau :

          1234           1324           1423

          1243           1342           1432

          Ta thấy mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 6 lần. Vậy tổng các số lập được :

(1 + 2 + 3 + 4) x 1000 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 100 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 10 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 1 x 6

          = 10 x 6 x (1000 + 100 + 10 + 1)

          = 60 x 1111 = 66660.

Chọn chữ số 1 ở hàng chục nghìn ta lập được 24 số

          Tương tự nên ta lập được

                   24 x 5 = 120 (số)

          Tổng là :

(1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10000 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 1000 x 24 + (1 + 2 +     + 3 + 4 + 5) x 100 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x x 1 x 24

          = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 24 x 11111

          = 15 x 24 x 11111 = 3999960

Ta lập được 3 số 334, 343, 433

          Tổng các số :

          (3 + 3 + 4) x 100 x 1 + (3 + 3 + 4) x 10 + (3 + 3 + 4) x 1

          = 10 x (10 + 10 + 1)

          = 10 x 111 = 1110.

-  Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập được các số :

          1225           1522

          1252

          - Chọn chữ số 5 ở hàng nghìn ta cũng lập được 3 số.

          - Chọn chữ số 2 ở hàng nghìn ta lập được 6 số

          2152            2251           2512

          2125           2215           2521

Vậy ta lập được 12 số.

          Tổng là :

(1 + 2 + 2 + 5) x 1000 x 3 + (1 + 2 + 2 + 5) x 100 x 3 + (1+ 2 + 2 + 5) x 1 x 3

          = (1 + 2 + 2 + 5) x 3 x 1111

          = 10 x 3 x 1111 = 33330

Ta lập được 4 số

307                                  703

370                                  730

Tổng

          (3 + 7) x 100 x 2 + (3 + 7) x 10 + (3 + 7) x 1

          = 10 x 100 x 2 + 10 x 10 + 10 x 1

          = 20 x 100 + 100 + 10 = 2110.