ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Khoảng cách và góc

+) TH1: \[(\Delta )\;\] không có hệ số góc, khi đó phương trình \[(\Delta )\;\]có dạng x = c  hay x – c = 0 .

\[(\Delta )\;\]đi qua điểm M(2;7) nên \[2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2 \Rightarrow \left( {\rm{\Delta }} \right):x - 2 = 0\]

Khi đó\[d\left( {N,\left( {\rm{\Delta }} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1\] (thỏa mãn).

Do đó ta có đường thẳng \[\left( {{{\rm{\Delta }}_1}} \right):x - 2 = 0\]+) TH2: \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\] có hệ số góc.

PTĐT \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua điểm M(2;7)  và có hệ số góc k  có dạng là:

\[y - 7 = k\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow kx - y + 7 - 2k = 0\]

Vì \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]cách N(1;2) một khoảng bằng 1  nên:

Ta có\[d(N,\Delta ) = 1\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \frac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {{( - k + 5)}^2} = {{(\sqrt {{k^2} + 1} )}^2}}\\{ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \frac{{12}}{5}}\end{array}\]

Do đó ta có phương trình \[\left( {{{\rm{\Delta }}_2}} \right)\]là:\[\frac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\frac{{12}}{5} = 0 \Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0\]

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là \[\left( {{{\rm{\Delta }}_1}} \right):x - 2 = 0\]và\[\left( {{{\rm{\Delta }}_2}} \right):12x - 5y + 11 = 0\]

Đáp án cần chọn là: C

Điểm \[M \in d\;\] nên tọa độ của M  phải thỏa mãn phương trình của d.

Gọi \[M(2 + 2t;3 + t) \in d\]

Ta có\[\overrightarrow {AM} = (2 + 2t;2 + t)\]

Theo giả thiết:\[\overrightarrow {\left| {AM} \right|} = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{(2 + 2t)}^2} + {{(2 + t)}^2}} = 5\]

\[ \Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25\]\[ \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \frac{{ - 17}}{5}}\end{array}} \right.\]

Vậy có 2  điểm M  thỏa ycbt M1(4;4) và\[{M_2}(\frac{{ - 24}}{5};\frac{{ - 2}}{5})\]

Đáp án cần chọn là: D

Vì:\[\frac{1}{3} \ne \frac{3}{1}\] nên d  cắt d′

 Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d′ là:

\[\frac{{x + 3y - 6}}{{\sqrt {10} }} = \pm \frac{{3x + y + 2}}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 6 = 3x + y + 2}\\{x + 3y - 6 = - (3x + y + 2)}\end{array}} \right.\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B

+ Cạnh AB đi qua hai điểm A,B nên phương trình cạnh AB:\[x - 2y - 2 = 0\]+ Cạnh AC đi qua hai điểm A,C nên phương trình cạnh \[AC:2x + y - 4 = 0\]+ Phương trình hai đường phân giác của góc A:

\(\frac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt 5 }} = \pm \frac{{2x + y - 4}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 = 0(d)}\\{3x - y - 6 = 0(d\prime )}\end{array}} \right.\)

+ Xét đường phân giác \[\left( d \right):x + 3y - 2 = 0\]

Thế tọa độ điểm B  vào vế trái của\[d:{t_1} = 4 + 3.1 - 2 = 5 >0\]

Thế tạo độ điểm C  vào vế trái của d: \[{t_2} = 1 + 3.2 - 2 = 5 >0\]

Vì\[{t_1}.{t_2} >0\] nên B  và C  nằm cùng phía đối với d⇒d là đường phân giác ngoài

Vậy đường phân giác trong của góc A  là: \[d':3x - y - 6 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử đường thẳng AB  qua M và có VTPT là \[\vec n = \left( {a;b} \right)\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\]

 =>VTPT của BC là:\[{\vec n_1} = \left( { - b;a} \right)\]

 Phương trình AB có dạng: \[a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 2a - b = 0\]BC có dạng:\[ - b\left( {x - 4} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0\; \Leftrightarrow - bx + ay + 4b + 2a = 0\]

Do ABCD là hình vuông nên\[d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|3b + 4a|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 2a}\\{b = - a}\end{array}} \right.\)

TH1: \[b = - 2a\]

Chọn\[a = 1 \Rightarrow b = - 2\]  ta được\[AB:x - 2y - 2.1 - \left( { - 2} \right) = 0\] hay\[x - 2y = 0\]\[BC: - \left( { - 2} \right)x + y + 4.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0\] hay\[2x + y - 6 = 0\]

CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận\[\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 2} \right)\]l àm VTPT

Do đó CD: 1(x-2) – 2(y-0) = 0 hay x-2y-2=0

AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận\[\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\] làm VTPT

Do đó AD: 2(x-1) + 1(y-2) = 0 hay 2x+y-4=0

TH2:\[b = - a\]

Chọn\[a = 1 \Rightarrow b = - 1\] ta được\[AB:x - y - 2.1 - \left( { - 1} \right) = 0\] hay\[x - y - 1 = 0\]

\[BC: - \left( { - 1} \right)x + y + 4.\left( { - 1} \right) + 2.1 = 0\] hay\[x + y - 2 = 0\]

CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận\[\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 1} \right)\]  làm VTPT

Do đó CD: 1(x-2) – 1(y-0) = 0 hay x-y-2=0

AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận\[\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\] làm VTPT

Do đó AD: 1(x-1) + 1(y-2) = 0 hay x+y-3=0.

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình đường phân giác góc tạo bởi \[{d_1},{d_2}\] là:

\(\frac{{|x - 7y + 17|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{{|x + y - 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 6y - 21 = 0({\Delta _1})}\\{3x - y - 4 = 0({\Delta _2})}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và vuông góc  với \[{{\rm{\Delta }}_1},{{\rm{\Delta }}_2}\]

+ Gọi \[{d_3}\] là đường thẳng vuông góc với \[{{\rm{\Delta }}_1}\] thì \[{d_3}\] có dạng: \[3x - y + c = 0\]

\[{d_3}\] đi qua điểm M(0;1) nên\[3.0 - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1\]  hay\[3x - y + 1 = 0\]

+ Gọi \[{d_4}\] là đường thẳng vuông góc với \[{{\rm{\Delta }}_2}\] thì \[{d_4}\] có dạng:\[x + 3y + c = 0\]

\[{d_4}\] đi qua điểm M(0;1) nên \[0 + 3.1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 3\] hay\[x + 3y - 3 = 0\]

KL: \[x + 3y - 3 = 0\] và\[3x - y + 1 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

Điểm\[C \in CD:x + y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {t;1 - t} \right)\]

 Suy ra trung điểm M  của AC  là\[M\left( {\frac{{t + 1}}{2};\frac{{3 - t}}{2}} \right)\]

M  thuộc BM nên\[(t + 1) + \frac{{3 - t}}{2} + 1 = 0 \Rightarrow t = - 7 \Rightarrow C\left( { - 7;8} \right)\]

Từ A(1;2) kẻ \[AI \bot CD\left( {I \in CD} \right)\]cắt BC tại K

Suy ra \[AK:\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\]Tọa độ điểm I  thỏa hệ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x - y + 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow I(0;1)\)

 Tam giác ACK  cân tại C  nên I  là trung điểm của AK⇒K(−1;0)

Đường thẳng BC  đi qua C,K nên có phương trình:

\[\frac{{x + 1}}{{ - 7 + 1}} = \frac{y}{8} \Leftrightarrow 4x + 3y + 4 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

\[I\left( {6;2} \right);M\left( {1;5} \right)\]

\[{\rm{\Delta }}:x + y - 5 = 0,E \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow E\left( {m;5 - m} \right);\]

Gọi N là trung điểm của AB

I  trung điểm  NE \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = 2{x_I} - {x_E} = 12 - m}\\{{y_N} = 2{y_I} - {y_E} = 4 - 5 + m = m - 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow N\left( {12 - m;m - 1} \right)\]

\[\overrightarrow {MN} = \left( {11 - m;m - 6} \right);\]

\[\overrightarrow {IE} = \left( {m - 6;5 - m - 2} \right) = \left( {m - 6;3 - m} \right)\]

\[\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {IE} = 0 \Leftrightarrow \left( {11 - m} \right)\left( {m - 6} \right) + \left( {m - 6} \right)\left( {3 - m} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 6 = 0}\\{14 - 2m = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 6}\\{m = 7}\end{array}} \right.\)

\[m = 6 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5;0} \right)\]nên phương trình AB là y = 5

\[m = 7 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)\] nên phương trình AB là \[x - 4y + 19 = 0\]Đáp án cần chọn là: A

Gọi N là điểm đối xứng của M  qua \[{d_1} \Rightarrow N \in AC\]

\[\overrightarrow {MN} = ({x_N} - 1,\,\,{y_N} + 1)\]

Ta có: \[\overrightarrow {MN} \]cùng phương\[{\vec n_{{d_1}}} = (1;\,\,1)\]

\[ \Leftrightarrow \,\,1({x_N} - 1) - 1({y_N} + 1) = 0 \Leftrightarrow {x_N} - {y_N} = 2\,\,\,(1)\]

 Tọa độ trung điểm I  của\[MN:{x_I} = \frac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right),{y_I} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right)\]

\[I \in \left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right) + \frac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_N} + {y_N} + 4 = 0\,\,\,\,(2)\]

Giải hệ (1)  và (2)  ta được \[N\left( { - 1; - 3} \right)\]

Phương trình cạnh AC vuông góc với \[{d_2}\] có dạng: \[x + 2y + C = 0.\]

\[N \in AC \Leftrightarrow - 1 + 2.( - 3) + C = 0 \Leftrightarrow C = 7\]

 Vậy, phương trình cạnh \[AC:x + 2y + 7 = 0.\]

Đáp án cần chọn là: CCâu 21. Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cặp điểm nào dưới đây nằm cùng phía so với đường thẳng \[x - 2y + 3 = 0?\]

A.M(0;1) và P(0;2).

B.P(0;2) và N(1;1).

C.M(0;1) và Q(2;−1).

D.M(0;1) và N(1;5).

Ta thế tọa độ M(0;1) và P(0;2) vào đường thẳng:

\[\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\] nên loại A.

Ta thế tọa độ N(1;1) và P(0;2) vào đường thẳng:

\[\left( {1 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\] nên loại B.

Ta thế tọa độ M(0;1) và Q(2;−1) vào đường thẳng:

\[\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right) >0\] nên chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Ta thế tọa độ M(0;1) và P(0;2) vào đường thẳng:

\[\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\] nên loại A.

Ta thế tọa độ N(1;1) và P(0;2) vào đường thẳng:

\[\left( {1 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\] nên loại B.

Ta thế tọa độ M(0;1) và Q(2;−1) vào đường thẳng:

\[\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right) > 0\] nên chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Đường thẳng (d) có VTPT\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)\]

Đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]có VTPT\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;b} \right)\]

\[ \Rightarrow cos(d;\Delta ) = cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{|3a - 4b|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]

\[ \Leftrightarrow cos{45^o} = \frac{{|3a - 4b|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{|3a - 4b|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 |3a - 4b| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow 2{(3a - 4b)^2} = 25({a^2} + {b^2})\]

\[ \Leftrightarrow 7{a^2} + 48ab - 7{b^2} = 0(1)\]

Mặt khác\[M\left( {2; - 1} \right) \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow 2a - b + 5 = 0 \Leftrightarrow b = 2a + 5\]thế vào (1)

\[ \Rightarrow 7{a^2} + 48a(2a + 5) - 7{(2a + 5)^2} = 0 \Leftrightarrow 75{a^2} + 100a\]

\[ - 175 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1 \Rightarrow b = 7(tm)}\\{a = - \frac{7}{3} \Rightarrow b = \frac{1}{3}(ktm)}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow a + b = 8.\]

Đáp án cần chọn là: C

Ta thấy\[{d_1}:\,\,\,2x - y + 3 = 0;\,\,\,{d_2}:\,\,\,x + 2y - 5 = 0\]là hai đường thẳng vuông góc.

Giả sử hình chữ nhật bài cho là ABCD có: 

\[AB:\,\,\,2x - y + 3 = 0;\,\,\,AD:\,\,\,x + 2y - 5 = 0\]

Thay tọa độ điểm (2;3) vào các phương trình đường thẳng AB,AD ta thấy (2;3) không thuộc các đường thẳng trên ⇒C(2;3).

\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} = CB.CD = d(C;AB).d(C;AD)\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{\left| {2.2 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}.\frac{{\left| {2 + 2.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}.\frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{{12}}{5}\,\,\,\left( {dvdt} \right)\\\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

Gọi \[M\left( {0;m} \right) \in Oy;\,\,AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}} = 5.\]

Có \[{S_{{\rm{\Delta }}MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M,AB} \right).AB \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{2}.d\left( {M,AB} \right).5 \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = \frac{2}{5}\]

\[\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \vec n = \left( {4; - 3} \right)\] là 1 VTPT của  AB.

⇒ Phương trình AB: \[4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0\]\[ \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \frac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow \frac{2}{5} = \frac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| { - 3m + 2} \right| = 2\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3m + 2 = 2}\\{ - 3m + 2 = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0 \Rightarrow M(0;0)}\\{m = \frac{4}{3} \Rightarrow M\left( {0;\frac{4}{3}} \right)}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B

Khoảng cách từ điểm M (–2; 2) đến đường thẳng\(\Delta :\)\[5x - 12y + 8 = 0\]

\[d\left( {M;{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| { - 2.5 - 12.2 + 8} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{26}}{{13}} = 2.\]

Đáp án cần chọn là: B

\[{{\rm{\Delta }}_1}:\;\;3x + 4y = 12 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0.\]

Xét phương trình đường thẳng\[{{\rm{\Delta }}_1},\;{{\rm{\Delta }}_2}\] ta có:\[\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \ne - \frac{{12}}{{11}} \Rightarrow {{\rm{\Delta }}_1}//{{\rm{\Delta }}_2}.\]

Chọn \[A\left( {0;3} \right) \in {{\rm{\Delta }}_1}.\]  Khi đó ta có:

\[ \Rightarrow d\left( {{{\rm{\Delta }}_1};{{\rm{\Delta }}_2}} \right) = d\left( {A;{{\rm{\Delta }}_2}} \right) = \frac{{\left| {24 - 11} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{13}}{{10}} = 1,3.\]

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình đường thẳng BC là y=0, vì \[M \in BC\;\] nên gọi M(m;0).

Ta có:\[\overrightarrow {AM} = \left( {m - 2; - 3} \right)\] nên\[\vec n = \left( {3;m - 2} \right)\] là 1 VTPT của đường thẳng AM.

Phương trình đường thẳng AM là:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{3\left( {x - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {y - 3} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 6 - 3m + 6 = 0}\\{ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 3m = 0}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow d\left( {B;AM} \right) = \frac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}}\\{\,\,\,\,\,\,d\left( {C;AM} \right) = \frac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}}\end{array}\]

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d(B;AM).AM}\\{{S_{\Delta MAC}} = \frac{1}{2}d(C;AM).AM}\end{array}} \right. \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAC}}\)

\[ \Leftrightarrow d(B;AM) = 2d(C;AM)\]

\[\frac{{|15 - 3m|}}{{\sqrt {9 + {{(m - 2)}^2}} }} = 2\frac{{| - 3 - 3m|}}{{\sqrt {9 + {{(m - 2)}^2}} }}\]

\[ \Leftrightarrow |15 - 3m| = 2| - 3 - 3m|\]

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{15 - 3m = - 6 - 6m}\\{15 - 3m = 6 + 6m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 7}\\{m = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy M(1;0) hoặc M(−7;0)

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: A