ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình đường elip
16 câu hỏi
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]. Gọi 2c là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\[{c^2} = {a^2} + {b^2}\]
\[{b^2} = {a^2} + {c^2}\]
\[{a^2} = {b^2} + {c^2}\]
\[c = a + b\]
Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho elip (E) có tiêu cự là 2c, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
c
c
c>b>a.
c
Vì \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\]và\[a,b,c >0\]nên ta có\[{a^2} >{c^2} \Leftrightarrow a >c\] Hiển nhiên\[b < a\]
Đáp án cần chọn là: D
>
Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F1,F2 và có độ dài trục lớn là 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\[2a = {F_1}{F_2}\]
\[2a >{F_1}{F_2}\]
\[2a < {F_1}{F_2}\]
\[4a = {F_1}{F_2}\]
Elip (E) có hai tiêu điểm là \[{F_1},{F_2}\] ta có \[2c = {F_1}{F_2}\].
Vì \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\] và \[a,b,c >0\] nên ta có \[{a^2} >{c^2} \Leftrightarrow a >c\]. Do đó \[2a >{F_1}{F_2}\]
Đáp án cần chọn là: B
Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:
\[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\]
\[\frac{2}{{\sqrt 2 }}\]
\[\frac{1}{3}\]
1
Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có b=c
Mặt khác ta có\[{a^2} = {b^2} + {c^2}\], suy ra\[{a^2} = 2{c^2}\]hay\[a = \sqrt 2 c\]
Tâm sai của elip là:\[e = \frac{c}{a} = \frac{c}{{\sqrt 2 c}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho elip \[(E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]và cho các mệnh đề:
1. (E) có các tiêu điểm F1(0;−4) và F2(0;4)
2. (E) có tỉ số \(\frac{c}{a} = \frac{4}{5}\)
3. (E) có đỉnh A1(−5;0)
4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:
1 và 2
2 và 3
1 và 3
4 và 1
Từ phương trình elip\[(E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\] ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5}\\{b = 3}\\{c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4}\end{array}} \right.\)
Suy ra ta có:
1. (E) có các tiêu điểm F1(−4;0) và F2(4;0) nên (1) sai.
2. (E) có tỉ số \[\frac{c}{a} = \frac{4}{5}\] nên (2) đúng.
3. (E) có đỉnh A1(−5;0)) nên (3) đúng.
4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 2b=6 nên (4) sai.
Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).
Đáp án cần chọn là: D
Elip có độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 8 có phương trình chính tắc là:
\[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{12}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\]
Độ dài trục lớn là 12, suy ra 2a=12 hay a=6
Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra 2b=8 hay b=4
Vậy elip cần tìm là \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20, tâm sai là \(e = \frac{3}{5}\) là:
\[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{400}} + \frac{{{y^2}}}{{256}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{49}} = 1\]
Độ dài trục lớn là 20, suy ra 2a=20 hay a=10
Tâm sai\[e = \frac{3}{5}\] suy ra\[\frac{c}{a} = \frac{3}{5}\] suy ra c=6
Mặt khác, ta có\[{a^2} = {b^2} + {c^2}\] suy ra\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 36 = 64\]
Đáp án cần chọn là: B
Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự là 6, tâm sai là \[e = \frac{3}{5}\]
\[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]
Tiêu cự elip bằng 6, suy ra 2c=6 hay c=3
Tâm sai \[e = \frac{3}{5}\] suy ra \[\frac{c}{a} = \frac{3}{5}\] suy ra a=5
Mặt khác, ta có\[{a^2} = {b^2} + {c^2}\] suy ra\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\]
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) là:
\[\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\]
Elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) suy ra a=5 và b=3. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm F1(4;0) và một đỉnh là A(5;0). Phương trình chính tắc của elip (E)là:
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]
\[\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1\]
Elip có tiêu điểm F1(4;0)suy ra c=4, elip có một đỉnh là A(5;0) suy ra a=5
Mặt khác ta có\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 16 = 9\]
Vậy elip có phương trình là\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]
Đáp án cần chọn là: C
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm là F1(−1;0),F2(1;0) và tâm sai \(e = \frac{1}{5}\) là:
\[\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = - 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{24}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{24}} = - 1\]Trả lời:
Elip có hai tiêu điểm là F1(−1;0),F2(1;0) suy ra c=1
Elip có tâm sai\[e = \frac{1}{5}\] suy ra\[\frac{c}{a} = \frac{1}{5} \Rightarrow a = 5\]
Mặt khác ta có\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 1 = 24\]
Vậy elip có phương trình là\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{24}} = 1\]
Đáp án cần chọn là: C
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là B(0;−2), tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) là:
\[\frac{{{x^2}}}{7} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]
Elip có một đỉnh là B(0;−2) suy ra b=2
Elip có tiêu cự là \[2\sqrt 5 \] suy ra\[c = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \]
Mặt khác ta có\[{a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9\]
Vậy elip có dạng\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là A(0;−4), tâm sai \(e = \frac{3}{5}\).
\[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]
Elip có một đỉnh là A(0;−4)suy ra b=4
Tâm sai \[e = \frac{3}{5}\] suy ra ta có\[\frac{c}{a} = \frac{3}{5}\] Vì a, c >0 nên ta có \[\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \frac{9}{{25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0\]
Mặt khác ta có\[{a^2} - {c^2} = {b^2} = 16\]
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{a^2} - 25{c^2} = 0}\\{{a^2} - {c^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 25}\\{{c^2} = 9}\end{array}} \right.\)Vậy phương trình của elip là:\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]
Đáp án cần chọn: C
Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là A(2;0) và đi qua \[M( - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{2})\] là:
\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]
Elip có đỉnh là A(2;0) suy ra a=2. Phương trình elip cần tìm có dạng\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]
Vì elip qua\[M( - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{2})\] nên ta có\[\frac{1}{4} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1\]
Vậy elip có phương trình là\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm \[M\left( {2\sqrt 2 ;\frac{1}{3}} \right)\] và \[N\left( {2;\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\] là:
\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]Trả lời:
Phương trình elip cần tìm có dạng\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]
Vì elip qua\[M\left( {2\sqrt 2 ;\frac{1}{3}} \right)\] nên ta có\[\frac{8}{{{a^2}}} + \frac{1}{{9{b^2}}} = 1\]
Vì elip qua\[N\left( {2;\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\] nên ta có\[\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{5}{{9{b^2}}} = 1\]
Ta có hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{8}{{{a^2}}} + \frac{1}{{9{b^2}}} = 1}\\{\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{5}{{9{b^2}}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 9}\\{{b^2} = 1}\end{array}} \right.\)
Vậy elip có phương trình là\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]
Đáp án cần chọn là: C
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]có hai tiêu điểm F1,F2. Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ yM dương thuộc elip (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2 bằng 43. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[{y_M} \in \left( {0;\sqrt 3 } \right)\]
\[{y_M} \in \left( {2;\sqrt 8 } \right)\]
\[{y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\]
\[{y_M} \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\]
Elip\[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9} = 8\]
Gọi\[M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \frac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9\]
Diện tích tam giác \[M{F_1}{F_2}\] là:
\[{S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \frac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} >0} \right)\]
Lại có:\[{S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\frac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\]
Đáp án cần chọn là: C
