ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hai đường thẳng song song

Ta có: MN,PQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và CBD nên

\[MN//BD;MN = \frac{1}{2}BD\]và\[PQ//BD;PQ = \frac{1}{2}BD\]

\( \Rightarrow MN//PQ\)và\[MN = PQ\]

Do đó MNPQ là hình bình hành nên MP,NQ cùng thuộc một mặt phẳng.

Vậy A sai.

Đáp án cần chọn là: A

Trên Bx và Dz lấy điểm B′ và D′ sao cho\[BB' = 2,DD' = 4.\]

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD,I là trung điểm của B′D′

Ta có BDD′B′ là hình thang, OI là đường trung bình của hình thang nên

\[OI//BB'//DD'//Cy\]và\[OI = \frac{{BB' + {\rm{D}}{{\rm{D}}^\prime }}}{2} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\]

Xét mặt phẳng tạo bởi OI và CC′ có:\[AI \cap Cy = C'\]

Ta có\[OI//CC',AO = OC\]suy ra \[AI = IC'\]

Suy ra OI là đường trung bình của tam giác\[ACC' \Rightarrow CC' = 2OI = 6\]

Đáp án cần chọn là: D

B sai vì hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì có thể chéo nhau hoặc song song.

C sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song thì có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

D sai vì hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau hoặc song song

Đáp án cần chọn là: A

Dễ thấy I là trọng tâm của tam giác SBD nên BI,DI là các đường trung tuyến của tam giác SBD.

Suy ra M,N lần lượt là trung điểm của SD và SB.

Nên MN là đường trung bình của tam giác \[SBD \Rightarrow MN//BD.\]

Vậy tứ giác MNBD là hình thang.

Đáp án cần chọn là: A

Vì MN và PQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD nên:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN//PQ//AB}\\{MN = PQ = \frac{1}{2}AB}\end{array}} \right.\)=> MNPQ là hình bình hành.

Để MNPQ trở thành hình thoi ta cần thêm yếu tố \[MN = PN.\]

Ta có: PN là đường trung bình của tam giác BCD nên\[PN = \frac{1}{2}CD\]

\[MN = PN \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD \Leftrightarrow AB = CD.\]

Vậy để MNPQ là hình thoi cần thêm điều kiện AB=CD.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có\[\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD\]

Lại có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I \in MP \subset (ABD)}\\{I \in NQ \subset (BCD)}\end{array}} \right. \Rightarrow I\)thuộc giao tuyến của (ABD) và (BCD)

\[ \Rightarrow I \in BD \Rightarrow I,B,D\]thẳng hàng. 

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

● \[M \in SB\;\] suy MM là điểm chung của (LMN) và (SBC).

● I là điểm chung của (LMN) và (SBC).

● J là điểm chung của (LMN) và (SBC).

Vậy M,I,J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (LMN) và (SBC).

Đáp án cần chọn là: B

Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).

Do\[BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG)}\\{M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD)}\end{array}} \right.\]

⇒M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).

\[ \Rightarrow \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AM\mathop \to \limits^{} \] A đúng.

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BI \subset (ABG)}\\{AM \subset (ABM)}\\{(ABG) \equiv (ABM)}\end{array}} \right. \Rightarrow AM,BI\)  đồng phẳng.

\[ \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M\] thẳng hàng→ B đúng.

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{DJ \subset (ACD)}\\{DJ \subset (BDJ)}\end{array}} \right. \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) \to \) D đúng.

Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM

→ C sai

Đáp án cần chọn là: C

Trong\[mp(EHI)\],  gọi\[O = HF \cap IG\] Ta có

● \[O \in HF\] mà \[HF \subset \left( {ACD} \right)\] suy ra \[O \in \left( {ACD} \right)\].

● \[O \in IG\] mà \[IG \subset \left( {BCD} \right)\] suy ra \[O \in \left( {BCD} \right)\]

Do đó \[O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)\] (1)

Mà \[\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\](2)

Từ (1) và (2), suy ra \[O \in CD\]

Vậy ba đường thẳng CD,IG,HF đồng quy.

Đáp án cần chọn là: B

Gọi\[I = AD \cap BC.\] Trong mặt phẳng (SBC), gọi \[K = BM \cap SI\] Trong mặt phẳng (SAD), gọi\[N = AK \cap SD\]Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB).

Gọi\[O = AB \cap CD\] Ta có:

\[O \in AB\] mà\[AB \subset \left( {AMB} \right)\] suy ra\[O \in \left( {AMB} \right)\]

\[O \in CD\]  mà\[CD \subset \left( {SCD} \right)\] suy ra IJ,MN,SE.

Do đó\[O \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\](1)

Mà \[\left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\](2)

Từ (1) và (2), suy ra \[O \in MN\]. Vậy ba đường thẳng AB,CD,MN đồng quy.

Đáp án cần chọn là: C

Gọi M là trung điểm của CD,E và F lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD

\[ \Rightarrow E \in BM,F \in AM.\]

Trong\[(AMB):G = AE \cap BF \Rightarrow G\] là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Giả sử bốn điểm A,D,G,M đồng phẳng.

\[A,D,M \in \left( {ACD} \right) \Rightarrow G \in \left( {ACD} \right) \Rightarrow AG \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)\] (Vô lí)

 Do đó A,D,M,G không đồng phẳng.

Vậy AD và GM là hai đường thẳng chéo nhau.

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A