ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Đường thẳng song song với mặt phẳng

Gọi E là trung điểm của AB ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{M \in SE\,;\,\frac{{EM}}{{ES}} = \frac{1}{3}}\\{N \in EC\,;\,\frac{{EN}}{{EC}} = \frac{1}{3}}\end{array}\]

Xét tam giác ESC ta có\[\frac{{EM}}{{ES}} = \frac{{EN}}{{EC}} = \frac{1}{3}\]

\( \Rightarrow MN//SC\) (Định lí Ta – let đảo).

Mà \[SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow MN//(SCD)\]Đáp án cần chọn là: C

Vì O và O′ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và ABEF nên O là trung điểm của BD; O′ là trung điểm của FB.

Xét tam giác BDF có: OO′ là đường trung bình \[ \Rightarrow OO'//DF\]Mà \[DF \subset \left( {DCEF} \right);DF \subset \left( {ADF} \right)\,;\,DF//\left( {BCE} \right)\] Nên \[OO'//(DCEF);OO'//(ADF);OO'//(BCE)\] (cùng song song với DF).

Đáp án cần chọn là: D

Vì\[MN//BS\]  nên \[\frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{CM}}{{CB}}\] (Định lí Ta – let)  (1)

Vì \[MQ//CD//AB\] nên\[\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{DQ}}{{DA}}\]  (2)

Vì \[NP//CD\] nên \[\frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{DP}}{{DS}}\] (Định lí Ta – let)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra\[\frac{{DP}}{{DS}} = \frac{{DQ}}{{DA}} \Rightarrow PQ//SA\] (Định lí Ta – let đảo)

Ta có: \[SA \subset \left( {SAB} \right)\,\,;\,\,SA \subset \left( {SAD} \right)\]

Tuy nhiên\[PQ \subset \left( {SAD} \right)\] nên PQ không song song với mp(SAD).

Ngoài ra PQ không nằm trong (SAB) nên PQ//(SAB)

Vậy PQ//(SAB).

Đáp án cần chọn là: B

A và D sai vì hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau hoặc trùng nhau.

B sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

Đáp án cần chọn là: C

Các mệnh đề b, c, d đúng nên có 33 mệnh đề đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Trước hết ta lấy điểm \[M \in (P)\;\] sao cho \[M \in SA\].

Trong mp(SAB) kẻ MN // SA \[(N \in AB),\]trong mp(ABCD) kẻ NE // AC \[(E \in BC).\]

\[NE \cap BD = \left\{ J \right\}\]

Trong mp(SBC) kẻ EF // SB \[(F \in SC),\]trong mp(SBD) kẻ JI // SD \[(I \in SD).\]

Giả sử MN // (SCD)

Lại có: MN // SB⇒\[SB \subset \left( {SCD} \right)\] (vô lý) nên (1) sai.

Tương tự ta chứng minh được (2) sai.

\[ \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow NE{\rm{ }}//{\rm{ }}\left( {SAC} \right).\;\]Do đó (3) đúng.

\[IJ{\rm{ }}//{\rm{ }}SB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow IJ{\rm{ }}//{\rm{ }}\left( {SAB} \right).\]Do đó (4) đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Đường thẳng a//(P) thì có vô số đường thẳng nằm trong (P) và song song với aa

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng SAC, qua O kẻ \[{\rm{O}}K \bot AC\,\,\left( {K \in SC} \right)\], suy ra mp(α) chính là mp(BDK).

\[OK//SA;AO = OC \Rightarrow SK = KC.\]. (Định lí đường trung bình của tam giác)

Đáp án cần chọn là: C

Trong mp(ABC) kẻ\[MF//IC\left( {F \in AC} \right)\] trong mp(SAB) kẻ \[ME//SI\left( {E \in SA} \right)\]

Do đó mp(P) chính là (MEF) và thiết diện tạo bởi mp(P) và tứ diện đều SABC là tam giác MEF.

Gọi aa là cạnh của tứ diện đều SABC.

Xét tam giác đều ABC và tam giác SAB là những tam giác đều cạnh a nên\[CI = SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Trong (ABC) ta có:\[\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{ME}}{{SI}} \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{ME}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow ME = x\sqrt 3 .\]

Trong (SAB) ta có: \[\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{MF}}{{CI}} \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{MF}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow MF = x\sqrt 3 .\]

Ta lại có:\[\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AS}} \Rightarrow EF//SC\] (Định lí Ta-let đảo)

\[ \Rightarrow \frac{{EF}}{{SC}} = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AI}} \Leftrightarrow \frac{{EF}}{a} = \frac{x}{{\frac{a}{2}}} \Leftrightarrow EF = 2x\]

Vậy chu vi tam giác MEF bằng \[ME + MF + EF = x\sqrt 3 + x\sqrt 3 + 2x = 2x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\]

Đáp án cần chọn là: B

Gọi M là trung điểm của CD,E và F lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD \[ \Rightarrow E \in BM,F \in AM.\]

Trong \[(AMB):G = AE \cap BF \Rightarrow G\] là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Giả sử bốn điểm A,D,G,M đồng phẳng.

\[A,D,M \in \left( {ACD} \right) \Rightarrow G \in \left( {ACD} \right) \Rightarrow AG \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)\]Vô lí)

Do đó A,D,M,G không đồng phẳng.

Vậy AD và GM là hai đường thẳng chéo nhau.

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: A