Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An có đáp án

a)  Giải phương trình \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x - 3 = 0\)

b)  Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - \sqrt {x + y}  = \sqrt {2y - {x^2} + 2x} \\\left( {2 - \sqrt {x + y} } \right)\sqrt {{x^2} + 4}  = 2\sqrt 3 x\end{array} \right.\)

a) Tìm \(x \in \mathbb{R}\) sao cho \(x + \sqrt {2024} \) và \(\frac{1}{x} - \sqrt {2024} \) đều là các số nguyên

b) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho 2a là số lập phương và 5a là số chính phương

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(a,b,c \ge 1\) và \({a^2} + 4{b^2} + {c^2} + 2ab + 12 = 3\left( {a + 5b + c} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{{a^2}}}{{a + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{a + {c^2}}}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O. Trên đường tròn (O) lấy điểm D khác phía A so với đường BC ( BD > AC ). Qua B kẻ đường thẳng d song song với CD. Đường thẳng d cắt đường thẳng AC tại E, cắt đường tròn (O) tại F ( F khác B ).

a)Gọi J là trung điểm của EC. Chứng minh rằng 4 điểm A,F,O,J cùng nằm trên một đường tròn

b)Đường thẳng OE cắt đường thẳng AD tại I. Chứng minh rằng \(\widehat {IBA} = \widehat {BDA}\)

c)Trên tia BD lấy điểm M sao cho BM = BA. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N, đường thẳng BN cắt (O) tại K ( K khác B ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng BD cắt các đường thẳng NH,CK lần lượt tại P,Q.

Chứng minh rằng \(\frac{1}{{PM}} = \frac{1}{{MQ}} + \frac{1}{{BM}}\)

Cho một đa giác lồi có diện tích \(2024c{m^2}\). Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ được trong đa giác đó một tam giác có diện tích không nhỏ hơn \(759c{m^2}\)