Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Bến Tre có đáp án
5 câu hỏi
Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x - 2}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\), với x>0, x\( \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức A
b) b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để A\( \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }}\) ?
Ta có:
A=\(\left( {\frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x - 2}} + \frac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right)\):\(\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\)
=\(\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}} \right)\):\(\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - - 1}}} \right)\)
=\(\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right)\):\(\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\)
=\(\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right)\):\(\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\)
=\(\left( {\frac{2}{{\sqrt x - 1}}} \right)\). \(\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\)
=\(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
a) Ta có biến đổi sau
\(A \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }}\)\( \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} \ge \frac{{1 + \sqrt {2023} }}{{\sqrt {2023} }}\)\( \Rightarrow \sqrt {2023x} + \sqrt {2023} \ge \sqrt x + \sqrt {2023x} \)
\( \Rightarrow \sqrt x \le \sqrt {2023} \)\( \Rightarrow x\; \le 2023\)
b) Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu, ta được \(1 < x\; \le 2023\;\left( {x \in \;\mathbb{Z}} \right)\).
Vậy có 2022 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bình luận – đây là một bài rút gọn biểu thức đơn giản; ở ý a), ta chỉ cần thực hiện các phép tính toán thật cẩn thận để ra kết quả đúng, còn ở ý b), ta cần lưu ý điều kiện xác định để có thể tìm được đúng tập các giá trị \(x\) thỏa mãn.
a) a) Giải phương trình\(\left( {\sqrt {x + 6} - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 4x - 12} } \right)\)=8
b) Giải hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{1}{y} = \frac{9}{x}}\\{x + y - \frac{4}{x} = \frac{{4y}}{{{x^2}}}}\end{array}} \right.\)
Cho Parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2}\left( P \right)\), đường thẳng (d): \(y = - \frac{2}{m}x + 2\) với m\( \ne \)0 và điểm I(0;2)
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.
b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông.
c) Chứng minh rằng độ dài của đoạn thẳng AB lớn hơn 4
Cho số thực \(x\;\)thỏa mãn 0\( < x < \frac{1}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A = \frac{{2 - x}}{{1 - 2x}} + \frac{{1 + 2x}}{{3x}}\)
Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC, BC < 2R) nội tiếp đường tròn (O;R) (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D \( \ne \) E, D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F và cắt AC tại I.
a) Chứng minh rằng MBIC là tức giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng FI.FM=FD.FE
c) Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất
