Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Sư Phạm có đáp án

1) Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1 là bình phương của một số nguyên.

2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) là nghiệm của hệ phương trình

                            \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2xy - x = 10}\\{x + y + xy = 12}\end{array}} \right.\)

a) Cho a, b là các số thực không âm, c là số  thực dương thỏa mãn đẳng thức

                 \(\sqrt a  - \sqrt {a + b - c}  = \sqrt b  + \sqrt c \)

Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

b) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt a }}{{\sqrt 5  + \sqrt b }}\) là số hữu tỷ.

Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm D, E, G.Hai đường thẳng \(DE,DG\)lần lượt cắt đường phân giác ngoài góc \(BAC\)tại \(M,N\) Hai đường thẳng MG, NE cắt nhau tại điểm P. Chứng minh rằng:

        a) EG song song với MN.

        b) Điểm P thuộc đường tròn (I).

Bảy lục giác đều được sắp xếp và tô màu bằng hai màu trắng, đen như ở Hình 1. Mỗi lần cho phép chọn ra một lục giác đều, đổi màu của lục giác đó và của tất cả các lục giác đều chung cạnh với lục giác đó (trắng thành đen và đen thành trắng). Chứng minh rằng dù có thực hiện cách làm trên bao nhiêu lần đi nữa, cũng không thể nhận được các lục giác đều được ô màu như ở Hình 2.