Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Sư Phạm Hà Nội có đáp án
5 câu hỏi
a) Rút gọn biểu thức:
\(A = \frac{{{x^2} + 8\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 4}} + \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{{16 - 4x}}{{\sqrt x + 2}}\)với \(\begin{array}{l}\\x > 0\\\end{array}\)
b) Một khay nước có nhiệt độ \({125^0}\)F khi bắt đầu cho vào tủ đá.Ở trong tủ đá,cứ sau mỗi giờ, nhiệt độ của khay nước lại giảm đi 20%. Hỏi sau bao nhiêu giờ, nhiệt độ của khay nước chỉ còn là \({64^0}\)F ?
a) A \( = \)\(\frac{{{x^2} + 8\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x + 4}} + \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{{16 - 4x}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt {{x^3}} + 8} \right)}}{{x - 2\sqrt x + 4}} + \)\(2\sqrt x + 1 + 4\left( {2 - \sqrt x {\rm{\;}}} \right)\)
\( = {\rm{\;}}\sqrt x .\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2\sqrt x + 1 + 4\left( {2 - \sqrt x {\rm{\;}}} \right) = x + 9\)
Vậy A \( = x + 9\)
b) Sau 1 giờ nhiệt độ của khay nước là \({125^{\rm{o}}}.80\% = {100^{\rm{o}}}\).
Sau 2 giờ nhiệt độ của khay nước là \({100^{\rm{o}}}.80\% = {80^{\rm{o}}}\).
Sau 3 giờ nhiệt độ của khay nước là \({80^{\rm{o}}}.80\% = {64^{\rm{o}}}\).
Dễ thấy nếu hơn 3 giờ thì nhiệt độ khay nước sẽ giảm xuống thấp hơn \({64^{\rm{o}}}{\rm{F}}\).
Vậy số giờ cần tìm là 3 giờ.
a) Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x - ({m^2} + 1) = 0\)(1) (\(m\)là tham số). Chứng minh với mọi giá trị của \(m\), phương trình (1) luôn có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\).Tìm hệ thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\)sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào \(m.\)
b) Cho parabol \((P):y = a{x^2}\)\((a \ne 0)\) đi qua điểm \(A( - 1;\frac{1}{2})\).Tìm toạ độ của điểm\(M\)trên parabol \((P)\) sao cho khoảng cách từ điểm\(M\)đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ điểm\(M\)đến trục hoành.
a) \({x^2} - (2m + 1)x - ({m^2} + 1) = 0\)
Các hệ số \(a = 1,b = - (2m + 1),c = - ({m^2} + 1)\)
Vì \(ac = - ({m^2} + 1) < 0\) nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm.
Hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào m cần tìm là:\({x_1}.{x_2} + \frac{{{{({x_1} + {x_2} + 1)}^2}}}{4} + 1 = 0\)
b) Vì (P) \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(M( - 1,\frac{1}{2})\) nên \(a = \frac{1}{2}\)
Gọi toạ độ của M là \(({x_0},{y_0}) \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{2}.{x_0}^2\)
Theo giả thiết đề bài ta suy ra:\(\left| {{x_0}} \right| = 2.\left| {{y_0}} \right| \Rightarrow \left| {{x_0}} \right| = {x_0}^2 \Rightarrow {x_0} \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\)
Do đó toạ độ điểm M cần tìm là \((0,0);(1,\frac{1}{2});( - 1,\frac{1}{2})\).
Cho hình bình hành\(ABCD\) có \(\widehat {ABC}\)\( = {120^0}\)và\(BC = 2AB\).Dựng đường tròn\((O)\)có đường kính\(AC\). Gọi \(\left\{ E \right\} = AB \cap (O);\left\{ F \right\} = AD \cap (O).\)Gọi \(EF\)cắt\(BC,BD\) lần lượt tại \(H,S\).Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABD\)là tam giác vuông.
b) Tứ giác\(OBEH\)nội tiếp.
c) \(SC\)là tiếp tuyến của \((O)\).
a) Đặt \(AB = a,BC = 2a\).Vì \(\widehat {ABC} = {120^0}\)\( \Rightarrow \)\(\widehat {BAD} = {60^0}\).
Áp dụng định lí cosin vào \(\Delta ABD\)ta có:
\(\begin{array}{l}B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos BAD\\ = {a^2} + 4{a^2} - 2.2a.a.\cos 60\\ = 5{a^2} - 2{a^2} = 3{a^2} \Rightarrow B{D^2} + A{B^2} = A{D^2}\end{array}\)
Do đó\(\Delta ABD\)là tam giác vuông theo định lí Pytago đảo.
b) Vì \(\Delta ABD\)là tam giác vuông nên \(OB \bot AE\)nên B là trung điểm của AE.
Mặt khác \(BH//AF\)nên theo tính chất đường trung bình ta có H là trung điểm của EF\⇒\(\widehat {OHF} = {90^0} = \widehat {OBE}\)⇒\(OBEH\)nội tiếp (ĐPCM).
c) Ta có: \(\widehat {CHS} = \widehat {BHE}.\)Vì OBEH nội tiếp nên \(\widehat {BHE} = \widehat {BOE} = \widehat {BOA} = \widehat {COS}\)
\( \Rightarrow \) OHCS nội tiếp.
\( \Rightarrow \)\(\widehat {SCO} = \widehat {SHO} = {90^0}\).Từ đây ta có SC là tiếp tuyến của (O) (ĐPCM).
Có hay không các số nguyên\(a,b\)sao cho
\({(a + b\sqrt {2023} )^2} = 2024 + 2023\sqrt {2023} ?\)
Giả sử tồn tại các số nguyên a,b thoả mãn đề bài.
Khi đó \({(a + b\sqrt {2023} )^2} = 2024 + 2023\sqrt {2023} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + 2ab.\sqrt {2023} + 2023{b^2} = 2024 + 2023\sqrt {2023} \\ \Rightarrow {a^2} + 2023{b^2} - 2024 = 2023\sqrt {2023} - 2ab.\sqrt {2023} \\ \Rightarrow {a^2} + 2023{b^2} - 2024 = \sqrt {2023} (2023 - 2ab)\end{array}\)
Vì \({a^2} + 2023{b^2} - 2024\) là số hữu tỉ, còn \(\sqrt {2023} \left( {2023 - 2ab} \right)\) là số vô tỉ nên
\(2ab = 2023\). Điều này là vô lí vì 1 vế là chẵn 1 vế là lẻ.Suy ra giả sử trên sai.Vậy không tồn tại các số nguyên a,b thoả mãn đề bài.
Trên bảng ta viết đa thức\(P(x) = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\).
Ta viết lên bảng đa thức mới\({P_1}(x) = \frac{{P(x + 1) + P(x - 1)}}{2}\)rồi xoá đi đa thức \(P(x)\).
Ta viết lên bảng đa thức mới\({P_2}(x) = \frac{{{P_1}(x + 1) + {P_1}(x - 1)}}{2}\)rồi xoá đi đa thức \({P_1}(x)\).
Ta cứ tiếp tục làm như thế nhiều lần.
Chứng minh rằng nếu cứ tiếp tục làm như vậy nhiều lần thì đến một lúc nào đó ta nhận được một đa thức không có nghiệm.
Ta có: \({P_1}\left( x \right) = a{x^2} + bx + c + a\)
\({P_2}\left( x \right) = a{x^2} + bx + c + 2a\)
………………………………….
\({\rm{\;}}{P_n}\left( x \right) = a{x^2} + bx + c + na\) với n thuộc N*
Xét phương trình: \(a{x^2} + bx + c + na = 0\)
\(\Delta = {b^2} - 4a\left( {c + na} \right)\).
Chọn số nguyên dương n sao cho \(n > \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}\) , khi đó \(\Delta < 0\).Do đó phương trình \(a{x^2} + bx + c + na = 0\)vô nghiệm.Vậy cứ làm như vậy thì đến một lúc nào đó ta sẽ nhận được một đa thức không có nghiệm.
