Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Sư Phạm Hà Nội có đáp án

a) Rút gọn biểu thức:

        \(A = \frac{{{x^2} + 8\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x  + 4}} + \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{{16 - 4x}}{{\sqrt x  + 2}}\)với \(\begin{array}{l}\\x > 0\\\end{array}\)

b) Một khay nước có nhiệt độ \({125^0}\)F khi bắt đầu cho vào tủ đá.Ở trong tủ đá,cứ sau mỗi giờ, nhiệt độ của khay nước lại giảm đi 20%. Hỏi sau bao nhiêu giờ, nhiệt độ của khay nước chỉ còn là \({64^0}\)F ?

a) Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x - ({m^2} + 1) = 0\)(1) (\(m\)là tham số). Chứng minh với mọi giá trị của \(m\), phương trình (1) luôn có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\).Tìm hệ thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\)sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào \(m.\)

b) Cho parabol \((P):y = a{x^2}\)\((a \ne 0)\) đi qua điểm \(A( - 1;\frac{1}{2})\).Tìm toạ độ của điểm\(M\)trên parabol \((P)\) sao cho khoảng cách từ điểm\(M\)đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ điểm\(M\)đến trục hoành.

Cho hình bình hành\(ABCD\) có \(\widehat {ABC}\)\( = {120^0}\)và\(BC = 2AB\).Dựng đường tròn\((O)\)có đường kính\(AC\). Gọi \(\left\{ E \right\} = AB \cap (O);\left\{ F \right\} = AD \cap (O).\)Gọi \(EF\)cắt\(BC,BD\) lần lượt tại \(H,S\).Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABD\)là tam giác vuông.

b)  Tứ giác\(OBEH\)nội tiếp.

c) \(SC\)là tiếp tuyến của \((O)\).

Có hay không các số nguyên\(a,b\)sao cho

\({(a + b\sqrt {2023} )^2} = 2024 + 2023\sqrt {2023} ?\)

Trên bảng ta viết đa thức\(P(x) = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\).

Ta viết lên bảng đa thức mới\({P_1}(x) = \frac{{P(x + 1) + P(x - 1)}}{2}\)rồi xoá đi đa thức \(P(x)\).

Ta viết lên bảng đa thức mới\({P_2}(x) = \frac{{{P_1}(x + 1) + {P_1}(x - 1)}}{2}\)rồi xoá đi đa thức \({P_1}(x)\).

Ta cứ tiếp tục làm như thế nhiều lần.

Chứng minh rằng nếu cứ tiếp tục làm như vậy nhiều lần thì đến một lúc nào đó ta nhận được một đa thức không có nghiệm.