Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Quốc Học Huế có đáp án

a) Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của a, với \(a > 0\) và \(a \ne 1\).

b) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c}\). Chứng minh \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}\) là một số chính phương.

a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho p\(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a  - 2}}{{a - 1}}} \right):\fr\(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + m\)ac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a  + a - \sqrt a  - 1}}\)arabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của  để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại A.

b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2y - 3}  + 2{y^2} + 4y = 0\\{x^2} + 1 = xy\end{array} \right..\]

a) Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\) (x là ẩn số) có hai nghiệm\({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {x_1^2 + 1}  - {x_1} = \sqrt {x_2^2 + 1}  + {x_2}\).\

b) Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x + 9}  - 3} \right)\left( {\sqrt {9 - x}  + 3} \right) = 9.\)

Cho tam giác nhọn ABC (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD và trực tâm H. Gọi E là điểm trên (O) sao cho hai dây AE và BC song song với nhau. Đường thẳng EH cắt (O) tại điểm thứ hai là F và cắt đường trung trực của BC tại M.

a) Chứng minh M là trung điểm của EH và AMOF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat {OFA} + \widehat {ODF} = 180^\circ .\)

c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng FK tại T. Chứng minh hai đường thẳng TH và BC song song với nhau.

a) Tìm tất cả các số thực a sao cho \(a + \sqrt {2023} \) và \(\frac{{999}}{a} + \sqrt {2023} \) đều là các số nguyên.

b) Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(4{a^2} + {b^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(T = \frac{{4a}}{{2 + b}} + \frac{b}{{1 + a}} + \frac{{2024}}{{2a + b}}\).