Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hồ Chí Minh có đáp án

Cho \(a,\;b\;\)là các số thực, \(b \ne 0\) thỏa mãn điều kiện

\({a^2} + {b^2} = \frac{{4{b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a}} + a\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

  Tính giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).

a) Giải phương trình: \(x = \frac{5}{{x - 1}} + 2\sqrt {x - 2} \).

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{9y + 49}}{{x + y}} + x + y = 23\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x\sqrt x + y\sqrt y = 7(\sqrt x + \sqrt {y)} \;}\end{array}} \right.\)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có đường cao AH. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi J là giao điểm của Ai và DE; K là trung điểm của AB.

a)     Chứng minh tứ giác BIJD nội tiếp.

b)     Gọi M là giao điểm của KI và AC, N là giao điểm của AH và ED. Chứng minh \(AM = AN\)

Gọi Q là giao điểm của DI và EF, P là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Cho các số thực dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn \(\sqrt {1 + 4xy + 2x + 2y}  + 2z = 5\)

a)     Chứng minh \(\frac{1}{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)\left( {2y + 1} \right)} }} + \frac{1}{{2z + 1}} \ge \frac{2}{3}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\frac{{x + 1}}{{2x + 1}} + \frac{{y + 1}}{{2y + 1}} + \frac{{2z + 3}}{{4z + 2}}.\)

Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho EF, GH cùng tiếp xúc với (O).

a)     Chứng minh \(CG.AH = A{O^2}.\)

b) Chứng minh EH song song FG.

Xét các số nguyên \(a < b < c\) thỏa mãn \(n = {a^3} + {b^3} = {c^3} = 3abc\) là số nguyên tố.

a)     Chứng minh \(a < 0.\)

b)  Tìm tất cả các số nguyên \(a,b,c\;(a < b < c)\) sao cho n là một ước của 2023.