Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Toán Phú Thọ có đáp án

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 6 = \sqrt {{x_2}} .\)

b) b) Cho \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \) với \(x \ne 0,\;x \ne  - 1\). Tính \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) +  \ldots  + f\left( {2023} \right)\).

a) Cho các số nguyên \(a,b,c,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0.\) Chứng minh rằng \({\left( {a + b + c + d} \right)^2}\) chia hết cho 9.

b)    Chứng minh rằng tồn tại đa thức \(P\left( x \right)\) có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện \(P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho \(P\left( x \right)\).

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(x + \sqrt {{x^2} - x + 1}  = 1 - y + \sqrt {{y^2} + 3} }\\{{y^2} - 2\left( {x - 2} \right) = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} + 2x} \right)} }\end{array}\;\;\;\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)} \right..\)

b)    Bạn An viết lên trên bảng 11 số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) có tổng bằng 30. Chứng minh rằng bạn An có thể xóa đi một số số sao cho các số còn lại trên bảng có tổng bằng 10.

Trên đường tròn tâm O đường kính \(AB = 2R\) lấy điểm N sao chho \(AN = R\) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BN (M khác B và N). Gọi I là giao điểm của AM và BN, H là hình chiếu của I trên AB, IH cắt AN tại C, K là điểm đối xứng với N qua AB.

a)     Chứng minh \(CM.CB = CI.CH\) và ba điểm K, H, M thẳng hàng.

b)    Gọi P là giao điểm thứ hai của NH và (O). Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPK thuộc đường thẳng cố định khi M thay đổi.

c)     Xác định vị trí của điểm M để tổng \(MB + MN\) đạt giá trị lớn nhất.

Xét các số thực dương \(a,b,c\); Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(F = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 9bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 9ac} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + 9ab} }}.\)