Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên An Giang có đáp án
7 câu hỏi
Thực hiện phép tính:\(A = \frac{{\sqrt 7 + 1}}{{3 - 2\sqrt 2 }} - \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt 2 - 1}} + \sqrt 7 - 2\sqrt 2 .\)
\(A = \frac{{\sqrt 7 + 1}}{{3 - 2\sqrt 2 }} - \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt 2 - 1}} + \sqrt 7 - 2\sqrt 2 .\)
\( = \;\frac{{\sqrt 7 + 1}}{{3 - 2\sqrt 2 }} - \frac{{2\sqrt {14} .\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt 7 - 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{(3 - 2\sqrt {2)} }}\)
\( = \;\frac{{\sqrt 7 + 1}}{{3 - 2\sqrt 2 }} - \frac{{2\sqrt {14} .\sqrt 2 - 2\sqrt {14} }}{{3 - 2\sqrt 2 }} + \frac{{3\sqrt 7 - 6\sqrt 2 - 2\sqrt {14} + 8}}{{3 - 2\sqrt 2 }}\)
\( = \;\frac{{9 - 6\sqrt 2 }}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{3\left( {3 - 3\sqrt 2 } \right)}}{{3 - 3\sqrt 2 }}\) = 3.
Giải hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \sqrt 3 y = 6 - 2\sqrt 3 }\\{x + y = 2}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \sqrt 3 y = 6 - 2\sqrt 3 \;\;\left( 1 \right)}\\{x + y = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Trừ (1) và (2) theo vế ta được:
\(\left( {\sqrt 3 - 1} \right)y = 4 - 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \Rightarrow y = \sqrt 3 - 1\)
Thay vào (2) được \(x = 2 - y = 2 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 3 - \sqrt 3 .\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3 - \sqrt 3 ;\;\sqrt 3 - 1} \right).\)
Phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) (với a; b là các số nguyên) có một nghiệm là \(5 + \sqrt {21} \). Tính nghiệm còn lại.
Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) (1).
Không mất tính tổng quát, giả sử \({x_1} = 5 + \sqrt {21} \) và \({x_2}\) là nghiệm còn lại.
Thay \(x = {x_1} = 5 + \sqrt {21} \) vào (1) ta được:
\({\left( {5 + \sqrt {21} } \right)^2} + a\left( {5 + \sqrt {21} } \right) + b = 0\)
\( \Leftrightarrow 46 + 10\sqrt {21} + 5a + \sqrt {21} a + b = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {a + 10} \right)\sqrt {21} + \left( {5a + b + 46} \right) = 0\)
Vì a; b là các số nguyên nên ta có hệ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 10 = 0}\\{5a + b + 46 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 10}\\{b = - 46 - 5a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 10}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Suy ra phương trình (1) là \({x^2} - 10x = 4 = 0.\)
Theo hệ thức Vi-ét, ta được:
\({x_1} + {x_2} = 10 \Rightarrow \left( {5 + \sqrt {21} } \right) + {x_2} = 10 \Rightarrow {x_2} = 5 - \sqrt {21} \).
Vậy nghiệm còn lại là \(x = 5 - \sqrt {21} \).
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2}\) và \(g\left( x \right) = - ax + b\) (a; b là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1. Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị
Hình vẽ cho biết \(a > 0\).
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
\(a{x^2} = - ax + b \Leftrightarrow a{x^2} + ax - b = 0\;\;\;\left( * \right)\).
Gọi nghiệm còn lại của (*) là \({x_0}\). Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
\(1 + {x_0} = - \frac{a}{a} = - 1 \Leftrightarrow {x_0} = - 2\)
Vậy hoành độ của điểm chung thứ hai là \(x = - 2.\)
Cho \({x^3} + {y^3} = 189\) và \(\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 270\). Tính \(x + y.\)
Ta có biến đổi:
\({x^3} + {y^3} = 189 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 189\)
\(\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 270 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y + xy + 1} \right) = 270\)
Đặt \(a = x + y;b = xy\). , điều kiện bài toán trở thành:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 3ab = 189}\\{a\left( {a + b + 1} \right) = 270}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 3ab = 189\;\;\;\left( 1 \right)}\\{3{a^2} + 3ab + 3a = 810\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.} \right.\)
Cộng (1) và (2) theo vế, ta được:
\({a^3} + 3{a^2} + 3a = 999 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^3} = 1000 \Leftrightarrow a + 1 = 10 \Leftrightarrow a = 9\).
Vậy \(a + y = a = 9.\)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, BH là đường cao kẻ từ B (\(H \in AC)\). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC, F là điểm đối xứng của điểm H qua DE.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABFH nội tiếp.
b. Chứng minh \(\widehat {FBA} = \widehat {EFH}.\)
Chứng minh rằng BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Xét \(\Delta AHB\) vuông cân tại H có D là trung điểm \(AB \Rightarrow DA = DB = DH\) (1).
Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên \(DH = DF\) (2).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DA = DH = DB = DF\).
Suy ra bốn điểm A, H, B, F cùng thuộc được tròn đường kính AB.
Vậy tứ giác ABFH nội tiếp.
b) Tứ giác ABFH nội tiếp (câu 6a) \( \Rightarrow \widehat {FBA} = \widehat {FHE}\) (3).
Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên \(EH = EF.\)
Suy ra \(\Delta EHF\) cân tại E \( \Rightarrow \widehat {FHE} = \widehat {EFH}\) (4).
Từ (3), (4) \( \Rightarrow \widehat {FBA} = \widehat {EFH}.\)
c) Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên
\(\widehat {FDE} = \frac{1}{2}\widehat {HDF}\;\;\;\;\;\left( 5 \right)\)
Từ câu 6a, có A, H, B, F thuộc đường tròn tâm D đường kính AB nên
\(\widehat {HAF} = \frac{1}{2}\widehat {HDF}\;\;\;\left( 6 \right)\).
Từ (5), (6) \( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {HAF} = \widehat {EAF}.\)
Suy ra tứ giác FDAE nội tiếp. (7)
Xét đường tròn (O) tâm O ngoại tiếp \(\Delta ABC\) có
D là trung điểm dây AB \( \Rightarrow \widehat {ODA} = {90^0}\)
E là trung điểm dây AC \( \Rightarrow \widehat {OEA} = {90^0}\)
Xét tứ giác ODAE có:
\(\widehat {ODA} + \widehat {OEA} = {180^0}\)
Nên tứ giác ODAE nội tiếp đường tròn đường kính AO. (8)
Kết hợp (7), (8) \( \Rightarrow A,D,\;F,\;O,\;E\) cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
\( \Rightarrow \widehat {AFO} = \widehat {ADO} = {90^0}\) (cùng chắn cung AO).
Mặt khác: \(\widehat {AFB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)
Suy ra: \(\widehat {AFO} + \widehat {AFB} = {180^0}\), nghĩa là B, F, O thẳng hàng.
Vậy BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)
Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng \(10\;cm\). Tính độ dài của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.
Đặt \(d,\;r\;\left( {cm} \right)\) lần lượt là đường kính và bán kính của các ống thép \( \Rightarrow d = 10cm;r = d/2\; = 5cm.\)
Ký hiệu các điểm như hình minh họa bên.
Trong đó:
A, B, M, N, H là các tiếp điểm giữa dây đai với các ống thép.
D, C, E, F, O là tâm của một số ống thép.
Giả sử các ống thép tiếp xúc khít nhau và dây đai buộc chính xác.
Dễ thấy ABCD là hình chữ nhật.
\( \Rightarrow AB = CD = 3d = 3.10 = 30\;\left( {cm} \right)\;\;\left( 1 \right)\)
Nên hiển hiên các điểm A, D, H, E thẳng hàng.
Xét \(\Delta DEF\) có:
\(DE = 2DH = 2\sqrt {O{D^2} - O{H^2}} = 2\sqrt {{{\left( {2r} \right)}^2} - {r^2}} = 2\sqrt {3r} = 10\sqrt 3 \;\left( {cm} \right)\)
Tương tự cũng tính được \(DF = 10\sqrt 3 \;\left( {cm} \right)\) và \(EF = 10\sqrt 3 \;\left( {cm} \right).\)
Như vậy \(DE = EF = DF = 10\sqrt 3 \;\left( {cm} \right)\) nên \(\Delta DEF\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {EDF} = {60^0}.\)
Suy ra \(\widehat {ADM} = \widehat {EDF} = {60^0}\) (đối đỉnh).
Chiều dài cung AM bằng
\(\frac{{\pi .5.60}}{{180}} = \frac{5}{3}\pi \;\;\left( {cm} \right)\;\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ hình vẽ, kết hợp (1) và (2) ta tính được chiều dài dây đai là:
\(l = 6.\frac{5}{3}\pi + 6.30 = 180 + 10\pi \;\left( {cm} \right).\)
