Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Hà Tĩnh có đáp án

a) Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0.\)

b) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác không thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.\)

Chứng minh rằng \(\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} = 0.\)

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2)(2 - y) = 8\\\sqrt {11 - 4(x - y)}  + {x^2}{y^2} + 1 = 3xy.\end{array} \right.\)

b) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 11}  - \sqrt {x + 2}  = 2x - 2.\)

a) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(p = \frac{5}{{x - \sqrt x  + 2}}\) là số nguyên.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) lớn hơn 1 thì \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1\) không phải là số nguyên tố.

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường  kính \(AB\) cố định, \(C\) là một điểm chạy trên đường tròn \(\left( O \right)\) không trùng với \(A\) và \(B.\) Các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(C\) cắt nhau tại điểm \(M.\) Đường thẳng \(MB\) cắt \(AC\) tại \(F\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\) (\(E\) khác \(B\)).

a) Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC.\) Chứng minh tam giác \(OEM\)đồng dạng với tam giác \(BHM.\)

b) Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên đường thẳng \(AB.\) Hai đường thẳng \(MB\) và \(CK\) cắt nhau tại \(I.\) Tính tỷ số \(\frac{{FI}}{{AB}}\) khi tổng diện tích hai tam giác \(IAC\) và \(IBC\) lớn nhất.

c) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{BM}} + \frac{1}{{BF}} = \frac{2}{{BE}}.\)

Cho các số thực \[a,\,\,b,\,\,c\] thỏa mãn \(a > b > c;\,\,ab + bc + ca > 0\) và \(a + b + c = 1\).  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - c}} + \frac{5}{{2\sqrt {ab + bc + ca} }}\).

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\)là các số chính phương. Chứng minh rằng \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\) luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.