Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Nguyễn Gia Thiều (Hà Nội) có đáp án
22 câu hỏi
\[ - 4\].
\[ - 2\].
\[0\].
\[4\].
Chọn A
Do \[f\left( x \right)\] là hàm số lẻ và \[f\left( x \right) = {x^2}\] với mọi \[x \le 0\]. Giá trị của \[f\left( 2 \right) = - f\left( { - 2} \right) = - {\left( { - 2} \right)^2} = - 4\]
\[S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn D
\[\cot x = - 1 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
0.
1.
9.
11 .
Chọn C
Ta có \[y = 4{x^3} - 6{x^2} + 11 \Rightarrow y' = 12{x^2} - 12x\], đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại \[x = 1\]. Suy ra \[y\left( 1 \right) = 9\]
\[\left( { - 1;4} \right)\].
\[\left( { - 4; - 1} \right)\].
\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\].
\[\left( {4; + \infty } \right)\].
Chọn A
Ta có \[y = - 2{x^3} + 9{x^2} + 24x - 114 \Rightarrow y' = - 6{x^2} + 18x + 24,y' > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 4\].
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - 1;4} \right)\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ { - 1;5} \right]\] và có đồ thị như hình vẽ bên (các điểm cực trị của đồ thị thể hiện rõ trên hình). Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \[\left[ { - 1;5} \right]\] Giá trị của \[M - m\] bằng
![Cho hàm số f(x) liên tục trên [ -1; 5] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid1-1772078108.png)
\[1\].
\[4\].
\[5\].
\[6\].
Chọn C
Trên \[\left[ { - 1;5} \right]\], ta có \[M = 3,m = - 2\]. Giá trị của \[M - m = 5\].
\[y = 2\] .
\[y = - 2\].
\[x = 2\].
\[x = - 2\].
Chọn A
Tiệm cận ngang \[y = 2\].
Lớp 12B có điểm trung bình cao hơn và độ phân tán điểm cao hơn lớp 12A.
Lớp 12B có điểm trung bình cao hơn và độ phân tán điểm thấp hơn lớp 12A.
Lớp 12B có điểm trung bình cao hơn lớp 12A, và độ phân tán điểm của hai lớp bằng nhau.
Lớp 12A có điểm trung bình cao hơn lớp 12B, và độ phân tán điểm của hai lớp bằng nhau.
Chọn C
Điểm trung bình lớp \[12A\] là \[\overline {{x_A}} = 7,325\]
Điểm trung bình lớp \[12B\] là \[\overline {{x_B}} = 7,675\]
Khi \[\overline {{x_A}} < \overline {{x_B}} \] và \({s_A} \approx 1,12 = {s_B}\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)(như hình vẽ bên). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là đúng ?
\[\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD'} = \overrightarrow {BB'} \] .
\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'} \].
\[\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'C'} \].
\[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {BD'} = \overrightarrow {BC} \].
Chọn B
Ta có \[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \]
\(\overrightarrow a = \left( {1;5;1} \right)\).
\(\overrightarrow b = \left( {1; - 5;1} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( {1;5; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow d = \left( { - 1;5;1} \right)\).
Chọn B
Dễ thấy \(\overrightarrow m .\overrightarrow b = 1.1 + 1.\left( { - 5} \right) + 4.1 = 0\) và \(\overrightarrow n .\overrightarrow b = 1.4 + 1.\left( { - 5} \right) + 1.1 = 0\) nên \(\overrightarrow b \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow m \) và \(\overrightarrow n \).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(SI\).
\(SO\).
\(IO\).
đi qua \(S\) và song song với \(AD\) .
Chọn D
Ta có :
\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\\AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\}\).
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\)\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\[\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\].
\[\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\].
\[\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\].
Chọn D
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AD//BC\\AD \bot SA\end{array} \right\}\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SA \bot BC\\m\`a \,AB \bot BC\end{array} \right\}\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\\m\`a \,\,BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Điểm trung bình hai lớp bằng nhau và độ phân tán điểm của hai lớp bằng nhau.
Điểm trung bình hai lớp bằng nhau và độ phân tán điểm lớp 12C lớn hơn lớp 12D.
Điểm trung bình hai lớp bằng nhau và độ phân tán điểm lớp 12D lớn hơn lớp 12C.
Điểm trung bình lớp 12C cao hơn lớp 12D và độ phân tán điểm lớp 12C lớn hơn lớp 12D.
Chọn B
· Lớp \(12C\)có:
Điểm trung bình:\(\overline {{x_C}} = \frac{{5,5.7 + 6,5.9 + 7,5.10 + 8,5.5 + 9,5.9}}{{7 + 9 + 10 + 5 + 9}} = 7,5\).
Tứ phân vị thứ nhất: \({Q_1} = 6 + \frac{{10 - 7}}{9}.\left( {7 - 6} \right) = \frac{{19}}{3} \approx 6,33\).
Tứ phân vị thứ ba: \({Q_3} = 8 + \frac{{30 - \left( {7 + 9 + 10} \right)}}{5}.\left( {9 - 8} \right) = \frac{{44}}{5} = 8,8\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{37}}{{15}} \approx 2,47\).
· Lớp \(12D\) có:
Điểm trung bình :\(\overline {{x_D}} = \frac{{5,5.4 + 6,5.6 + 7,5.23 + 8,5.10 + 9,5.2}}{{4 + 6 + 23 + 10 + 2}} = 7,5\)
Tứ phân vị thứ nhất: \({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{45}}{4} - \left( {4 + 6} \right)}}{{23}}.\left( {8 - 7} \right) = \frac{{649}}{{92}} \approx 7,05\).
Tứ phân vị thứ ba: \({Q_3} = 8 + \frac{{\frac{3}{4}.45 - \left( {4 + 6 + 23} \right)}}{{10}}.\left( {9 - 8} \right) = \frac{{323}}{{40}} = 8,075\).
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{939}}{{920}} \approx 1,02\).
Vậy điểm trung bình hai lớp bằng nhau và độ phân tán điểm lớp 12C lớn hơn lớp 12D.Một công ty giao hàng nhanh trong thành phố đã xây dựng một thuật toán giao hàng tối ưu. Để kiểm chứng, giám đốc yêu cầu ghi nhận thời gian giao của từng đơn hàng trong mẫu 100 đơn chạy thử. Số liệu được thống kê trong bảng sau:
Độ phân tán của thời gian giao hàng, ước lượng bằng khoảng biến thiên mẫu số liệu, là 50 phút.
Một nửa số đơn hàng (trung vị ước lượng của mẫu số liệu) được giao xong không quá 28 phút 45 giây.
Thời gian giao hàng phổ biến nhất (giá trị mốt của mẫu số liệu tính theo công thức) bằng 25 phút.
Công ty có chính sách niêm yết phí ship 20000 đồng cho mỗi đơn. Cam kết nếu giao từ 40 phút trở lên, khách hàng không phải trả phí ship và nhận thêm 60000 đồng tiền bồi thường từ công ty. Sau đợt chạy thử 100 đơn này, tổng tiền phí ship thu được vẫn lớn hơn tổng số tiền bồi thường công ty phải chi trả.
a) Khoảng biến thiên \(R = 60 - 10 = 50\) (phút).
b)
Trung vị mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {20;30} \right)\).
Giá trị của trung vị là
\({M_e} = {u_{m + 1}} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 20 + \frac{{50 - 15}}{{40}}.\left( {30 - 20} \right) \approx 28,75\)= 28 phút 45 giây.
c) Mốt mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {20;30} \right)\).
\({M_O} = {u_{m + 1}} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{2{n_m} - {n_{m - 1}} - {n_{m + 1}}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 20 + \frac{{40 - 15}}{{2.40 - 15 - 25}}.\left( {30 - 20} \right) \approx 26,25\)
= 26 phút 15 giây.
d)
+ Tiền bồi thường là \(\left( {12 + 8} \right).60\,000 = 1\,200\,000\)(đồng)
+ Tiền ship thu được là\(\left( {15 + 40 + 25} \right).20\,\,000 = \,1\,600\,000\)(đồng)
Vậy tiền phí ship lớn hơn tiền bồi thường.
Trong một thử nghiệm ô tô xuất phát từ trạng thái nghỉ.
Người lái điều khiển xe đạt vận tốc cực đại tại t = 18 giây, rồi giảm tốc và dừng hẳn. Toàn bộ quá trình kéo dài 50 giây. Đồ thị vận tốc v(t) (m/s) theo thời gian t (s) như hình vẽ. Trong đó, đoạn [0;24] đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I(18;27) và đi qua điểm O ; trên đoạn (24;50] đồ thị là đoạn thẳng AB với A(24;24) và B(50;0)
[NB] Trong 24 giây đầu tiên, vận tốc của ô tô luôn tăng.
[VD,VDC] Trong 24 giây đầu tiên, có một thời điểm mà gia tốc của ô tô bằng 2m/s2
[VD,VDC] Gọi giai đoạn 1 là [0;24] , giai đoạn 2 là (24;50] . Độ lớn gia tốc của ô tô ngay trước thời điểm kết thúc giai đoạn 1 (t = 24 giây) lớn hơn độ lớn gia tốc của ô tô trong suốt giai đoạn 2 (từ 24 giây đến 50 giây).
[VD,VDC] Quãng đường xe đi được trong 26 giây cuối lớn hơn 70% quãng đường xe chạy trong 24 giây đầu tiên.
a) Sai
Vì trên khoảng (18;24) hàm số v(t) nghịch biến nên vận tốc của ô tô giảm trên khoảng (18;24) .
b) Đúng
Trên đoạn [0;24] có \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\).
Có \(t = 0;v = 0 \Rightarrow c = 0\)
Có \(t = 18;v = 27 \Rightarrow {18^2}a + 18b = 27\)
Có \(t = 24;v = 24 \Rightarrow {24^2}a + 24b = 24\).
Do đó \(v = - \frac{1}{{12}}{t^2} + 3t \Rightarrow v' = - \frac{1}{6}t + 3 = a\left( t \right)\)
\(a = 2 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{6}t + 3 = 2 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{6}t = - 1 \Rightarrow t = 6\).
c) Đúng
Trên đoạn (24;50] có \(v\left( t \right) = mt + n\).
Có \(t = 24;v = 24 \Rightarrow 24m + n = 24\).
Có \(t = 50;v = 0 \Rightarrow 50m + n = 0\)
Do đó \[v = - \frac{{12}}{{13}}t + \frac{{600}}{{13}} \Rightarrow v' = - \frac{{12}}{{13}} = a\left( t \right)\]. Độ lớn của gia tốc trong quá trình (II) là \(\frac{{12}}{{13}}\left( {m/{s^2}} \right)\)
Độ lớn của gia tốc tại t = 24 là \(a = \left| {\frac{{ - 1}}{6}.24 + 3} \right| = 1\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\). Có \(1 > \frac{{12}}{{13}}\) nên c đúng
d) Sai
Quãng đường xe chạy trong 24 giây đầu tiên là \({s_1} = \int\limits_0^{24} {\left( { - \frac{1}{{12}}{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t = 480} \) (m)
70%\({s_1} = 336\)(m)
Quãng đường xe chạy trong 26 giây cuối là \[{s_1} = \int\limits_0^{24} {\left( { - \frac{1}{{12}}{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t = 312} \] (m) < 336 (m)
Tọa độ vị trí lắp đặt camera là \[S(4;3;4)\].
Khoảng cách từ camera đến tâm bức tranh \[P\] là 5 mét.
Có yêu cầu góc tạo bởi trục thẳng đứng của giá treo camera (phương song song \[Oz\], hướng xuống) và tia nhìn từ camera đến tâm bức tranh \[\left( {\overrightarrow {SP} } \right)\] phải nhỏ hơn \[{60^0}\]. Thiết kế hiện tại thỏa mãn yêu cầu này.
Để tránh chói camera, kỹ sư cho lắp thêm một trục đỡ đèn chiếu sáng nghệ thuật, trục đèn được chọn vuông góc với mặt phẳng \[\left( {SPC} \right)\]. Chọn một vectơ \[\overrightarrow u \] có giá song song với trục đèn, ta có \[\overrightarrow u \left( {3;4;6} \right)\].
a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có \[A'\left( {0;0;4} \right),\,\,\,C'\left( {8;6;4} \right)\,\, \Rightarrow S\left( {4;3;4} \right)\]. Vậy a đúng.
b) Lại có \[D\left( {8;0;0} \right),\,\,\,C'\left( {8;6;4} \right)\,\, \Rightarrow P\left( {8;3;2} \right) \Rightarrow SP = 2\sqrt 5 \]. Vậy b sai.
c) Ta có \[A\left( {0;0;0} \right),\,\,C\left( {8;6;0} \right) \Rightarrow S'\left( {4;3;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SS'} = \left( {0;0; - 4} \right)\]
mà \[\overrightarrow {SP} = \left( {4;0; - 2} \right)\] nên \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SS'} } \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SS'} } \right) \approx 63,{43^0}\]. Vậy c sai.
d) Ta có \[\overrightarrow {SP} = \left( {4;0; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {SC} = \left( {4;3; - 4} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SP} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {6;8;12} \right)\]
Chọn \[\overrightarrow u = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {SP} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {3;4;6} \right)\]. Vậy d đúng.
[NB] Giá niêm yết của căn hộ tại thời điểm thầy An chốt mua (đầu năm 2025) là 2250 triệu đồng.
[TH] Số tiền thầy An phải vay ngân hàng là 670 triệu đồng.
[TH] Tổng số tiền phải trả cả gốc và lãi sau 35 năm của hai phương án chênh nhau hơn 370 triệu đồng.
[VD] Gọi một năm (từ 2025) là thâm hụt nếu tiền trả nợ cuối năm lớn hơn 50% thu nhập năm đó. Khi đó, số năm thâm hụt liên tiếp theo phương án 2 nhiều hơn đúng 2 năm so với phương án 1.
a) Đầu năm 2020 giá căn hộ là \({P_0} = 1500\) ( triệu đồng) .
Mỗi năm tăng 10%, trong 5 năm (cuối 2020 → cuối 2024).
\({P_5} = {P_0}{\left( {1 + 10\% } \right)^5} = 1500.1,{1^5} = 2416\) triệu đồng.
Giá đầu năm 2025 chính là giá cuối năm 2024: 2416 triệu đồng.
Chọn SAI.
b) Năm 2020 (Năm thứ nhất): Thu nhập \({I_{2020}} = 60\) triệu/năm \( \Rightarrow \)Tiết kiệm \({S_{2020}} = 60.0,5 = 30\). triệu/năm
Mức tăng lương cố định: 6 triệu/năm nên
Năm 2021: Thu nhập \({I_{2021}} = 66\) triệu/năm \( \Rightarrow \)Tiết kiệm \({S_{2021}} = 66.0,5 = 33\) triệu/năm
Năm 2022: Thu nhập \({I_{2021}} = 72\) triệu/năm \( \Rightarrow \)Tiết kiệm \({S_{2022}} = 72.0,5 = 36\) triệu/năm
Năm 2023: Thu nhập \({I_{2023}} = 78\) triệu/năm \( \Rightarrow \)Tiết kiệm \({S_{2023}} = 78.0,5 = 39\) triệu/năm
Năm 2024: Thu nhập \({I_{2021}} = 84\) triệu/năm \( \Rightarrow \)Tiết kiệm \({S_{2024}} = 84.0,5 = 42\) triệu/năm
Tổng số tiền tiết kiệm sau 5 năm (đến đầu năm 2025):
\[{S_T} = 30 + 33 + 36 + 39 + 42 = 180\] triệu đồng.
Thầy được gia đình hỗ trợ đúng 1400 triệu đồng.
Tổng số tiền thầy có là \(1400 + 180 = 1580\).
Số tiền thầy phải vay ngân hàng là: \[2416 - 1580 = 836\] triệu đồng.
Chọn SAI.
c) Ta có số tiền vay: 836 triệu đồng ; Lãi suất \(r = 7\% = 0.07\), thời gian \(n = 35\)năm .
Số tiền trả hàng năm: \(A = V.\frac{{r{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}} = 836.\frac{{0,07.1,{{07}^{35}}}}{{1,{{07}^{35}} - 1}} \approx 64,6\) triệu/năm.
Tổng số tiền cho phương án 1:\({T_1} = 64,6.35 \approx 2261\).
Phương án 2: Số tiền mỗi năm trả gốc đều:\(\frac{{836}}{{35}} \approx 23,9\).
Vậy năm đầu phải trả: \({n_1} = 836.7\% + 23,9 = 82,4.\)
Năm thứ \(n\) là \({a_n} = 23,879 + 0,07\left[ {836 - \left( {n - 1} \right).23,879} \right] = 82,4 - 1,7\left( {n - 1} \right)\)\(\).
Đây là cấp số cộng với \({u_1} = 82,4,d = - 1,7\).
\({S_n} = \frac{{n\left[ {2{a_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Rightarrow {S_{35}} = \frac{{35\left[ {2.82,4 + \left( {35 - 1} \right).\left( { - 1,7} \right)} \right]}}{2} \approx 1873\) triệu đồng.
Hai phương án chênh nhau: \(2261 - 1873 = 388\).
Vậy tổng số tiền phải trả cả gốc và lãi sau 35 năm của hai phương án chênh nhau hơn 370 triệu đồng.
Chọn ĐÚNG.
d) Thu nhập năm thứ 5 là \(60 + 5.6 = 90\) triệu đồng.
Thu nhập năm thứ 6 là cấp số cộng có \({u_1} = 90;d = 6 \Rightarrow {u_n} = 90 + \left( {n - 1} \right)6\).
Thâm hụt nếu tiền trả nợ cuối năm lớn hơn 50% thu nhập năm đó suy ra ngưỡng thâm hụt là
\(0,5.{u_n} = 45 + \left( {n - 1} \right)3\)
Tiền trả cố định theo phương án 1: \(65\) triệu
Suy ra \(65 > 45 + \left( {n - 1} \right)3 \Leftrightarrow n - 1 < 6,67 \Rightarrow n \le 7\).
Số năm thâm hụt theo phương án 1: 7 năm
Phương án 2: Năm đầu trả \(82,4\) triệu
Ta có \(82,4 - 1,7\left( {n - 1} \right) > 45 + \left( {n - 1} \right)3 \Leftrightarrow 82,4 - 1,7n + 1,7 > 45 + 3n - 3 \Leftrightarrow n < 9\).
Gọi một năm (từ 2025) là thâm hụt nếu tiền trả nợ cuối năm lớn hơn 50% thu nhập năm đó. Khi đó, số năm thâm hụt liên tiếp theo phương án 2 nhiều hơn đúng 1 năm so với phương án 1.
Chọn SAI.
Đáp án: \(0\).
Lời giải chi tiết bài toán, giải chi tiết từng ý
Ta có \(y' = - 44{x^3} + 8x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\).
Đáp án: 0,75.
Cách 1:
Ta có \(\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BK} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} + {\overrightarrow {AB} ^2} = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} + {a^2}.\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(DD'.\) Khi đó
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} & = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {AH} = - \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AH} = - AI.AH.\cos \widehat {IAH} = - AI.AH.\frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{{2AH.AD'}}\\ & = - AI.AH.\frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{{2AH.2AI}} = - \frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{4}\\ & = - \frac{{A{D^2} + D{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{4} = - \frac{{A{D^2} + A{{D'}^2}}}{4} = - \frac{{{a^2} + 2{a^2}}}{4} = - \frac{{3{a^2}}}{4}\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = - \frac{{3{a^2}}}{4} + {a^2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow n = \frac{1}{4} = 0,75.\)
Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên trục là \(a)\) thỏa \(A(0;0;0),D(1;0;0),B(0;1;0),A'(0;0;1).\) Khi đó
\(\left. \begin{array}{l}K\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\\I\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IB} = \left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IK} = - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = n = 0,75.\)
Cách 3:
Trên \(B'C'\) lấy điểm \(K'\) sao cho \(\overrightarrow {B'K'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {B'C'} .\) Khi đó: \(\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IK'} \)
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác \(CAK,AIB,B'BK',\) ta được:
\(I{K'^2} = A{K^2} = \frac{9}{4}{a^2};I{B^2} = \frac{3}{2}{a^2};BK' = \frac{{13}}{4}{a^2}.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IK'} = IB.IK'.\cos \widehat {BIK'} = IB.IK'.\frac{{I{B^2} + I{{K'}^2} - BK'}}{{2IB.IK'}}\\ & = \frac{{I{B^2} + I{{K'}^2} - B{{K'}^2}}}{2} = \frac{{\frac{3}{2}{a^2} + \frac{9}{4}{a^2} - \frac{{13}}{4}{a^2}}}{2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow n = \frac{1}{4} = 0,75.\end{array}\)
Điểm xuất phát: \(A(10;20;50)\).
Đích đến (tâm vùng cấm): \(C(130;180;260)\).
Vùng cấm bay: Là một khối cầu tâm \(C\), bán kính \(R = 40m\).
Hành trình: Flycam bay từ \(A\) hướng về \(C\) theo đường thẳng.
Điểm dừng: Flycam dừng ngay khi chạm mép vùng cấm. Gọi điểm dừng này là \(M\).
Yêu cầu: Tính quãng đường bay thực tế, tức là độ dài đoạn thẳng AM.
\(\overrightarrow {AC} = (120;160;210)\)
\(AC = \sqrt {84.100} = 290{\rm{ (m\'e t)}}\)
Vì Flycam bay thẳng từ A đến C và dừng lại tại mép vùng cấm (cách tâm C một khoảng đúng bằng bán kính R), nên điểm M nằm trên đoạn AC. Quãng đường bay được sẽ bằng tổng khoảng cách AC trừ đi bán kính vùng cấm.
\(AM = AC - R\)
\(AM = 290 - 40\)
\(AM = 250{\rm{ (m\'e t)}}\)
Đáp án: 250
Trong một góc nhà xưởng, nền và hai vách vuông góc đôi một; đỉnh cọc tiếp địa là \(A\) có khoảng cách vuông góc đến nền, vách 1, vách 2 lần lượt là \(45{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}}\). Người thợ lắp một tấm ván khuôn (coi như một mặt phẳng) đi qua \(A\), các mép tấm ván áp sát và bịt kín với nền và hai vách để tạo một khối bê tông dạng tứ diện (có ba mặt trùng với nền và hai vách). Tính thể tích nhỏ nhất của khối bê tông (đơn vị \({m^3}\)) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp số: \(1,14\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)sao cho gốc \(O\) trùng với góc nhà xưởng, các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt nằm trên các giao tuyến của nền và hai vách tường.
Khi đó:
Mặt phẳng nền là mặt phẳng \((Oxy):z = 0\).
Vách 1 là mặt phẳng \((Oyz):x = 0\).
Vách 2 là mặt phẳng \((Oxz):y = 0\).
Tọa độ điểm \(A\) là \(A(0,75;0,75;0,45)\) (đổi đơn vị sang mét).
Gọi \(M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)\) lần lượt là giao điểm của tấm ván khuôn với các trục \[Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\]\[\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c > 0} \right)\].
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua tấm ván khuôn có dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
Vì mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(0,75;0,75;0,45)\) nên ta có: \(\frac{{0,75}}{a} + \frac{{0,75}}{b} + \frac{{0,45}}{c} = 1\)
Thể tích khối bê tông dạng tứ diện \(OMNP\)là \(V = \frac{1}{6}abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dươn g\(\frac{{0,75}}{a};\frac{{0,75}}{b};\frac{{0,45}}{c}\)
Ta có \(1 = \frac{{0,75}}{a} + \frac{{0,75}}{b} + \frac{{0,45}}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{0,75 \cdot 0,75 \cdot 0,45}}{{abc}}}}\)
\( \Rightarrow 1 \ge 27 \cdot \frac{{0,253125}}{{abc}}\)\( \Rightarrow abc \ge 27 \cdot 0,253125 = 6,834375\)
Suy ra thể tích khối tứ diện: \(V = \frac{1}{6}abc \ge \frac{1}{6} \cdot 6,834375 = 1,1390625\)
Giá trị nhỏ nhất của thể tích là \({V_{min}} = 1,1390625{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).
Làm tròn đến hàng phần trăm ta được \(1,14{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).
Đáp án: \[6300\].
Truờng hợp 1: \[1 \le x \le 100\],
Hàm lợi nhuận \[f\left( x \right) = 120x - 0,2{x^2} - 1000 - 50x = 70x - 0,2{x^2} - 1000\]
\[f'\left( x \right) = 70 - 0,4x = 0 \Leftrightarrow x = 175\] Vì \(x = 175 \notin [1;100]\)
\[f\left( 1 \right) = - 930,2;f\left( {100} \right) = 4000\]
Nên lợi nhuận sau thuế nhà máy đạt \[4000 - 4000.10\% = 3600\] triệu đồng
Truờng hợp 2: \[x > 100\],
Hàm lợi nhuận \[f\left( x \right) = 120x - 0,2{x^2} - 1000 - 40x = 80x - 0,2{x^2} - 1000\]
\[f'\left( x \right) = 80 - 0,4x = 0 \Leftrightarrow x = 200,f\left( {100} \right) = 5000;f\left( {200} \right) = 7000;f\left( {350} \right) = 2500\]
Suy ra lợi nhuận sau thuế nhà máy lớn nhất đạt \[7000 - 7000.10\% = 6300\] triệu đồng.
Đáp án: \[7560\].
Tập hợp độ dài dây treo là \[S = \left\{ {1;2;3; \ldots ;9} \right\}\] (chục cm).
Số phần tử không gian mẫu \[n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480\].
Để chiều dài dây treo của đèn ở giữa bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó thì chiều dài dây treo đèn ở các đỉnh \[A\], \[B\], \[C\] phải cùng tính chẵn lẻ (để chiều dài dây treo tại các vị trí \[M\], \[N\], \[P\] là một số thuộc tập \[S\]).
Hơn nữa, chiều dài các dây treo tại các vị trí \[A\], \[B\], \[C\] phải không tạo thành cấp số cộng (vì nếu \[A + C = 2B\] thì \[B = P\]).
TH1: \[A\], \[B\], \[C\] cùng chẵn, tức thuộc tập hợp \[\left\{ {2;4;6;8} \right\}\].
Bỏ các bộ \[A\], \[B\], \[C\] lập thành cấp số cộng, ta có \[2\] bộ \[A\], \[B\], \[C\] thỏa mãn là \[\left\{ {2;4;8} \right\}\], \[\left\{ {2;6;8} \right\}\].
Với mỗi bộ, có \[3!\] cách sắp xếp.
Khi đó trường hợp này có \[2 \cdot 3!\] cách sắp xếp.
TH2: \[A\], \[B\], \[C\] cùng lẻ, tức là thuộc tập hợp \[\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\].
Bỏ các bộ \[A\], \[B\], \[C\] lập thành cấp số cộng, ta có \[6\] bộ \[A\], \[B\], \[C\] thỏa mãn là \[\left\{ {1;3;7} \right\}\], \[\left\{ {1;3;9} \right\}\], \[\left\{ {1;5;7} \right\}\],\[\left\{ {1;7;9} \right\}\]\[\left\{ {3;5;9} \right\}\], \[\left\{ {3;7;9} \right\}\].
Với mỗi bộ, có \[3!\] cách sắp xếp.
Khi đó trường hợp này có \[6 \cdot 3!\] cách sắp xếp.
Do đó \[p = \frac{{2 \cdot 3! + 6 \cdot 3!}}{{60480}} = \frac{1}{{1260}}\].
Vậy \[\frac{6}{p} = \frac{6}{{\frac{1}{{1260}}}} = 7560\].
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Tốt nghiệp THPT
Tốt nghiệp THPT
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
