Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Điện Biên có đáp án
22 câu hỏi
\[\pi \left( {{e^2} - e - \frac{5}{2}} \right)\].
\[\pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\].
\[{e^2} - e - \frac{5}{2}\].
\[{e^2} - e - \frac{3}{2}\].
Chọn B
Ta có \[V = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} - x} \right)} dx = \pi \left. {\left( {{e^x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = \pi \left( {{e^2} - e - \frac{3}{2}} \right)\].
\[q = 6\].
\[q = - 3\].
\[q = - \frac{1}{3}\].
\[q = - 18\].
Chọn B
Ta có \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = - 3\].
\[9\].
\[3 - 2{\log _3}a\].
\[3\].
\[{\log _3}\left( {26a} \right)\].
Chọn C
Ta có \[{\log _3}\left( {27a} \right) - {\log _3}a = {\log _3}27 + {\log _3}a - {\log _3}a = 3\].
Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là?
\[40\].
\[50\].
\[70\].
\[60\].
Chọn A
Ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \[R = 40 - 0 = 40\].
\(3{a^3}\).
\(6{a^3}\).
\(18{a^3}\).
\(9{a^3}\).
Chọn B
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B = 2{a^2}\) và chiều cao \(h = 9a\) là
\(V = \frac{1}{3}.\,B.\,h = \frac{1}{3}.\,2{a^2}.\,9a = 6{a^3}.\)
\({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
\({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25\).
\({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
\({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\).
Chọn D
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;\, - 2;\,1} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là:
\({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1;\,1} \right)\).
\(\left( { - 2;\,2} \right)\).
\(\left( {1;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;\,1} \right)\).
Chọn A
Hàm số nghịch biến khi \(f'\left( x \right) < 0\).
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f'\left( x \right) < 0\) trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\).
\(\frac{{{{2026}^{x - 1}}}}{{\ln \,2026}} + C\).
\({2026^x} + C\).
\(x{.2026^{x - 1}} + C\).
\(\frac{{{{2026}^x}}}{{\ln \,2026}} + C\).
Chọn D
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ, ta có: \(\int {{{2026}^x}} \,dx = \frac{{{{2026}^x}}}{{\ln \,2026}} + C\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 1;1;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 1;0; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;2; - 6} \right)\).
Chọn D
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;2; - 6} \right)\).
\(y = - 1\).
\(x = - 1\).
\(y = 2\).
\(x = 2\).
Chọn C
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x - 5}}{{x + 1}}\] là đường thẳng có phương trình \(y = 2\).
\(\left( {2; - 2;4} \right)\).
\(\left( {2;0;0} \right)\).
\(\left( { - 2;2 - 4} \right)\).
\(\left( {1; - 1;2} \right)\).
Chọn C
Toạ độ của vectơ \[\overrightarrow {BA} \] là \(\left( { - 2;2 - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d - \overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d + \overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow d + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\).
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow d + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\).
Chọn B
![Chọn C Toạ độ của vectơ \[\overrightarrow {BA} \] là \(\left( { - 2;2 - 4} \right)\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture50-1779786630.png)
Ta có
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PD} } \right) = 2\overrightarrow {MP} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {PD} + \overrightarrow {PC} } \right) = 2\overrightarrow {MP} \)
Suy ra \[\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow d } \right)\].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 4}}{{x - 1}}\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đạo hàm của hàm số là \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là \(A\left( { - 1; - 3} \right)\).
Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục Oy là đường thẳng \(y = - 3x + 4\).
a) Đúng
Điều kiện: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\). Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
b) Đúng
\(f'\left( x \right) = \frac{{(2x - 1)(x - 1) - ({x^2} - x + 4).1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2{x^2} - 2x - x + 1 - \left( {{x^2} - x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
c) Sai
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)Þ \(x = - 1\); \(x = 3\).
Vậy điểm \(A\left( { - 1; - 3} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
d) Sai
Giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) với trục tung Oy có hoành độ \({x_0} = 0\) \( \Rightarrow {y_0} = \frac{{{0^2} - 0 + 4}}{{0 - 1}} = - 4\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\): \(k = f'\left( 0 \right) = \frac{{{0^2} - 2.00 - 3}}{{{{\left( {0 - 1} \right)}^2}}} = - 3\).
Phương trình tiếp tuyến \(y = - 3(x - 0) - 4 \Rightarrow y = - 3x - 4\).
Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] mô phỏng lớp mây là \[2x + y + z - 10 = 0\].
Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] mô phỏng vùng phủ sóng của radar là \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\].
Tại vị trí điểm \[C\], máy bay không nằm trong vùng phủ sóng hiệu quả của radar.
Tổng độ dài quãng đường máy bay di chuyển trong vùng phủ sóng của radar nhỏ hơn \[4km\].
a) Đúng. Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] mô phỏng lớp mây là \[\frac{x}{5} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{{10}} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + z - 10 = 0\].
b) Đúng. Mặt cầu \[\left( S \right)\] mô phỏng vùng phủ sóng của radar là \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\].
c) Sai. Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 4} \right)\]
Phương trình đường thẳng \[AB\] mô tả đường bay của máy bay là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3\,\,\,}\\{y = - 3t}\\{z = - 4t}\end{array}} \right.\].
Gọi \[C\left( {3; - 3t; - 4t} \right) = AB \cap \left( \alpha \right)\]. Do \[C \in \left( \alpha \right)\] nên ta có
\[2.3 - 3t - 4t - 10 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{7} \Rightarrow C\left( {3;\frac{{12}}{7};\frac{{16}}{7}} \right)\].
Ta có: \[OC = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16}}{7}} \right)}^2}} = \frac{{29}}{7} < R\] nên điểm \[C\] nằm trong vùng phủ sóng hiệu quả của radar.
d) Đúng. Gọi \[K\left( {3; - 3k; - 4k} \right) = AB \cap \left( S \right)\].
Do \[K \in \left( S \right)\] nên ta có \[{3^2} + {\left( { - 3k} \right)^2} + {\left( { - 4k} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{4}{5}}\\{k = - \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_1}\left( {3; - \frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)}\\{{K_2}\left( {3;\frac{{12}}{5};\frac{{16}}{5}} \right)}\end{array}} \right.\].
Dựa vào tọa độ của \[A,B\] suy ra \[{K_2}\left( {3;\frac{{12}}{5};\frac{{16}}{5}} \right)\] là điểm bắt đầu khi máy bay đi vào vùng phủ sóng. Ta có: \[\overrightarrow {{K_2}B} = \left( {0; - \frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right) \Rightarrow {K_2}B = 4\].
Vậy quãng đường mà máy bay di chuyển trong vùng phủ sóng là 4km.
Xác suất \[P(\bar A) = 0,5\].
Xác suất \[P(B|A) = 0,4\].
Xác suất \[P(B|\bar A)\]thuộc khoảng \[(0,4;0,9)\].
\[\frac{{P(A|B)}}{{P(B|A)}}\]lớn hơn 1.
a) Xác suất \[P(\bar A) = 0,5\] nên a) Đúng.
b) Xác suất \[P(B|A) = 0,7\] nên b) Đúng.
c) Xác suất \[P(B|\bar A) = 0,6 \in (0,4;0,9)\]nên c) Đúng.
d) Ta có: \[P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar A) \cdot P(B|\bar A) = 0,5 \cdot 0,7 + 0,5 \cdot 0,6 = 0,35 + 0,30 = 0,65\]
\[P(A|B) = \frac{{P(A) \cdot P(B|A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,7}}{{0,65}} = \frac{{0,35}}{{0,65}} = \frac{7}{{13}} \approx 0,538\]
Lập tỉ số: \[\frac{{P(A|B)}}{{P(B|A)}} = \frac{{7/13}}{{0,7}} = \frac{{7/13}}{{7/10}} = \frac{{10}}{{13}} \approx 0,769\] nên d) Sai.
Hàm số \(g(t) = kt + C\)(\[t \ge 0\]) với \[C\] là một hằng số xác định.
Giá trị của hằng số \[k = \frac{{ - \ln 4}}{{10}}\].
Hằng số \[C\] (trong biểu thức \(g(t) = kt + C\)) có giá trị bằng \(3\ln 2 + \ln 5\).
Để nhiệt độ chênh lệch \(y(t)\)nhỏ hơn \[1^\circ C\] thì cần ít nhất 35 phút kể từ lúc bắt đầu theo dõi.
a) Đúng.
\(g(t) = \ln y(t) \Rightarrow g'(t) = \frac{{y'(t)}}{{y(t)}} = k \Rightarrow g(t) = kt + C.\)
b) Đúng.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y(10) = 40\\y(20) = 10\end{array} \right.\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}g(10) = \ln y(10) = \ln 40\\g(20) = \ln y(20) = \ln 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10k + C = \ln 40\\20k + C = \ln 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{ - \ln 4}}{{10}}\\C = 5\ln 2 + \ln 5\end{array} \right.\].
c) Sai.
\[C = 5\ln 2 + \ln 5\].
d) Sai.
Ta có \(g(t) = \frac{{ - \ln 4}}{{10}}.t + 5\ln 2 + \ln 5\)
Do đó \(y(t) = {e^{g(t)}} < 1 \Leftrightarrow g(t) < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - \ln 4}}{{10}}.t + 5\ln 2 + \ln 5 < 0 \Rightarrow t > \frac{{10(5\ln 2 + \ln 5)}}{{\ln 4}} \approx 36,6\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Có hai đội thi đấu môn bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II lần lượt là \(0,65\) và \(0,55\). Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,46.
Gọi A: ‘Chọn được vận động viên đội I’;
B: ‘Vận động viên được chọn đạt huy chương vàng’.
Xác suất cần tính là
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{0,65.\frac{5}{{12}}}}{{\frac{5}{{12}}.0,65 + \frac{7}{{12}}.0,55}} = \frac{{65}}{{142}} \approx 0,46\].
Đáp số: 36.
Giá gói cước hàng tháng là \(x\) (triệu đồng)\( = 0,001x\)tỷ đồng.
Số lượng doanh nghiệp \(S\left( x \right) = \sqrt {45 - x} \) nghìn \( = 1000\sqrt {45 - x} \) doanh nghiệp.
Doanh thu \(R\left( x \right) = 0,001x.1000\sqrt {45 - x} = x\sqrt {45 - x} \)
Chi phí \({C_v}\left( x \right) = 10 + 3{S^2} = 10 + 3\left( {45 - x} \right) = 145 - 3x\).
Lợi nhuận \(L\left( x \right) = R\left( x \right) - {C_v}\left( x \right) = x\sqrt {45 - x} + 3x - 145\).
\( \Rightarrow L'\left( x \right) = \sqrt {45 - x} - \frac{x}{{2\sqrt {45 - x} }} + 3 = \frac{{90 - 3x}}{{2\sqrt {45 - x} }} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 36\).
Từ BBT: GigaCloud cần niêm yết giá cước là 36 (triệu đồng) để lợ nhuận ròng hàng tháng là cao nhất.
Đáp án: 0,97
Cách 1. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung \(EF.\)
Cách 2. Tính gián tiếp
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD;\) \(M\) là trung điểm của \(CD;\) \(H\) là chân đường cao của tam giác \(SOM\) kẻ từ \(O.\)
Ta có,
Mặt khác
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow CD \bot SO\\CD \bot OM;SO \cap OM = O\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SOM)\\OH \subset (SOM)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot CD\\OH \bot SM;CD \cap SM = M\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot (SCD)\\ \Rightarrow {\rm{d}}(O,(SCD)) = OH \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = 2OH.\end{array}\)
Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) có \(S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {2^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(O{H^2} = \frac{{S{O^2}.O{M^2}}}{{S{O^2} + O{M^2}}} = \frac{{\frac{7}{2}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{7}{{30}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {210} }}{{30}}.\)
Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = 2.\frac{{\sqrt {210} }}{{30}} \approx 0,97.\)
Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có: \(A\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right).\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right);\overrightarrow {DS} = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right);\overrightarrow {AD} = \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\\{\rm{d}}(AB,SD) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right]} \right|}} \approx 0,97.\end{array}\).
Hướng tới chuỗi sự kiện văn hóa và du lịch năm 2026 tại Điện Biên, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa Ban khổng lồ phát sáng đặt tại Quảng trường 7/5. Bông hoa được thiết kế gồm 5 cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tản sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là 15 cm. Trên mặt phăng tọa độ \(Oxy\) (đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình là \(({P_1}):\,y = - {x^2} + 4x\) và \(({P_2}):\,\,y = {x^2} - 2x\). Biết chi phí vật liệu nhựa mica tản sáng này là 40 triệu đồng cho mỗi \(1{m^3}\). Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả 5 cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?
Đáp án: 270.
Ta có diện tích một cánh hoa \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - {x^2} + 2x} \right|} dx = 9\)
Vậy diện tích cả bông hoa là \(S = 5{S_1} = 45\,\,{m^2}\)
Thể tích cả bông hoa là \(V = 45 \times 0,15 = 6,75\,\,{m^3}\)
Vậy chi phí vật liệu để đúc cả 5 cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là \(6,75 \times 40 = 270\) triệu đồng.
Đáp án: 5,66
Tiêu điểm là \[A\left( {3;0;0} \right)\]và \[B\left( { - 3;0;0} \right)\] suy ra \[c = 3\]
Tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát \[A\]và \[B\] cố định bằng 10km suy ra \[MA + MB = 2a = 10 \Rightarrow a = 5\].
Suy ra \[{b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b = 4\].
Phương trình Elip của quỹ đạo vệ tinh \[M\] là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\],
\[C{M^2} = {x^2} + {y^2} + 16 = {x^2} + 16\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \right) + 16 = \frac{{9{x^2}}}{{25}} + 32 \ge 32\].
Vậy \[CM\] đạt GTNN là \[\sqrt {32} \approx 5,66{\rm{ khi }}x = 0\].
Trong một trò chơi xếp số, người ta chọn ngẫu nhiên \(5\) số khác nhau từ tập \(S = \{ 1;2;3; \ldots ;30\} \) và đặt mỗi số vào đúng một vị trí trong \(5\) vị trí \(A,B,C,D,E\) như hình vẽ, sao cho bên trong mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Trò chơi kết thúc khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
Những bộ ba vị trí \((A,B,C),(C,D,E)\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Bộ ba vị trí \((A,C,E)\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Xác suất kết thúc trò chơi ở một lần chọn và sắp xếp là \(a\). Tính \(\frac{1}{{2026a}}\) (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
![Vậy \[CM\] đạt GTNN là \[\sqrt {32} \approx 5,66{\rm{ khi }}x = 0\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture56-1779787260.png)
Đáp án: 469
Số phần tử của không gian mẫu:
Chọn \(5\) số khác nhau từ \(30\) số và xếp vào \(5\) vị trí có thứ tự \(A,B,C,D,E\). Số cách là:
\(n(\Omega ) = A_{30}^5 = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 = 17.100.720\)
Phân tích điều kiện thuận lợi:
Gọi các số tại các vị trí là \({x_A},{x_B},{x_C},{x_D},{x_E} \in \{ 1;2; \ldots ;30\} \) và đôi một khác nhau.
\(({x_A},{x_B},{x_C})\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng \( \Rightarrow {x_A} + {x_C} = 2{x_B}\). Điều này kéo theo \({x_A},{x_C}\) phải cùng tính chẵn lẻ.
\(({x_C},{x_D},{x_E})\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng \( \Rightarrow {x_C} + {x_E} = 2{x_D}\). Điều này kéo theo \({x_C},{x_E}\) phải cùng tính chẵn lẻ.
\( \Rightarrow {x_A},{x_C},{x_E}\) phải cùng tính chẵn lẻ.
\(({x_A},{x_C},{x_E})\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân \( \Rightarrow {x_A} \cdot {x_E} = x_C^2\).
Liệt kê các bộ \(({x_A},{x_C},{x_E})\) thỏa mãn (Cùng chẵn lẻ, tích \({x_A}{x_E} = x_C^2\), đôi một khác nhau):
o Cùng chẵn:
\((2,4,8);(8,4,2)\)
\((4,8,16);(16,8,4)\)
\((6,12,24);(24,12,6)\)
\((2,6,18);(18,6,2)\)
\((8,12,18);(18,12,8)\)
o Cùng lẻ:
\((1,3,9);(9,3,1)\)
\((1,5,25);(25,5,1)\)
\((3,9,27);(27,9,3)\)
\[(9,15,25);(25,15,9)\]
Tổng cộng có 18 bộ \(({x_A},{x_C},{x_E})\) thỏa mãn. Với mỗi bộ này, \({x_B}\) và \({x_D}\) được xác định duy nhất.
Ví dụ: Bộ \((1,3,9) \Rightarrow {x_B} = 2,{x_D} = 6\). Tập số \(\{ 1,2,3,6,9\} \) đôi một khác nhau (Thỏa mãn).
Kiểm tra tất cả 18 bộ, các giá trị \({x_B},{x_D}\) sinh ra đều nguyên, thuộc \(S\) và làm cho 5 số đôi một khác nhau.
Số kết quả thuận lợi là: \(n(A) = 18\).
Xác suất: \(a = \frac{{18}}{{17.100.720}}\).
Tính giá trị biểu thức:
\(\frac{1}{{2026a}} = \frac{1}{{2026 \cdot \frac{{18}}{{17.100.720}}}} \approx 468,92\).
