Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Điện Biên có đáp án

Chọn C

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x - 5}}{{x + 1}}\] là đường thẳng có phương trình \(y = 2\).

Chọn C

Toạ độ của vectơ \[\overrightarrow {BA} \] là \(\left( { - 2;2 - 4} \right)\).

Chọn B

Ta có

\(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {PC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {PD} } \right) = 2\overrightarrow {MP}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {PD}  + \overrightarrow {PC} } \right) = 2\overrightarrow {MP} \)

Suy ra \[\overrightarrow {MP}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c  + \overrightarrow b  + \overrightarrow d } \right)\].

a) Đúng

Điều kiện: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\). Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Đúng

\(f'\left( x \right) = \frac{{(2x - 1)(x - 1) - ({x^2} - x + 4).1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2{x^2} - 2x - x + 1 - \left( {{x^2} - x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

c) Sai

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)Þ \(x =  - 1\); \(x = 3\).

Vậy điểm \(A\left( { - 1; - 3} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

d) Sai

Giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) với trục tung Oy có hoành độ \({x_0} = 0\) \( \Rightarrow {y_0} = \frac{{{0^2} - 0 + 4}}{{0 - 1}} =  - 4\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\): \(k = f'\left( 0 \right) = \frac{{{0^2} - 2.00 - 3}}{{{{\left( {0 - 1} \right)}^2}}} =  - 3\).

Phương trình tiếp tuyến \(y =  - 3(x - 0) - 4 \Rightarrow y =  - 3x - 4\).

a) Đúng. Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] mô phỏng lớp mây là \[\frac{x}{5} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{{10}} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + z - 10 = 0\].

b) Đúng. Mặt cầu \[\left( S \right)\] mô phỏng vùng phủ sóng của radar là \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\].

c) Sai. Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 3; - 4} \right)\]

Phương trình đường thẳng \[AB\] mô tả đường bay của máy bay là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3\,\,\,}\\{y =  - 3t}\\{z =  - 4t}\end{array}} \right.\].

Gọi \[C\left( {3; - 3t; - 4t} \right) = AB \cap \left( \alpha  \right)\]. Do \[C \in \left( \alpha  \right)\] nên ta có

\[2.3 - 3t - 4t - 10 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{4}{7} \Rightarrow C\left( {3;\frac{{12}}{7};\frac{{16}}{7}} \right)\].

Ta có: \[OC = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16}}{7}} \right)}^2}}  = \frac{{29}}{7} < R\] nên điểm \[C\] nằm trong vùng phủ sóng hiệu quả của radar.

d) Đúng. Gọi \[K\left( {3; - 3k; - 4k} \right) = AB \cap \left( S \right)\].

Do \[K \in \left( S \right)\] nên ta có \[{3^2} + {\left( { - 3k} \right)^2} + {\left( { - 4k} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{4}{5}}\\{k =  - \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_1}\left( {3; - \frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)}\\{{K_2}\left( {3;\frac{{12}}{5};\frac{{16}}{5}} \right)}\end{array}} \right.\].

Dựa vào tọa độ của \[A,B\] suy ra \[{K_2}\left( {3;\frac{{12}}{5};\frac{{16}}{5}} \right)\] là điểm bắt đầu khi máy bay đi vào vùng phủ sóng. Ta có: \[\overrightarrow {{K_2}B}  = \left( {0; - \frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right) \Rightarrow {K_2}B = 4\].

Vậy quãng đường mà máy bay di chuyển trong vùng phủ sóng là 4km.

a) Xác suất \[P(\bar A) = 0,5\] nên a) Đúng.

b) Xác suất \[P(B|A) = 0,7\] nên b) Đúng.

c) Xác suất \[P(B|\bar A) = 0,6 \in (0,4;0,9)\]nên c) Đúng.

d) Ta có: \[P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar A) \cdot P(B|\bar A) = 0,5 \cdot 0,7 + 0,5 \cdot 0,6 = 0,35 + 0,30 = 0,65\]

\[P(A|B) = \frac{{P(A) \cdot P(B|A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,7}}{{0,65}} = \frac{{0,35}}{{0,65}} = \frac{7}{{13}} \approx 0,538\]

Lập tỉ số: \[\frac{{P(A|B)}}{{P(B|A)}} = \frac{{7/13}}{{0,7}} = \frac{{7/13}}{{7/10}} = \frac{{10}}{{13}} \approx 0,769\] nên d) Sai.

a) Đúng.

\(g(t) = \ln y(t) \Rightarrow g'(t) = \frac{{y'(t)}}{{y(t)}} = k \Rightarrow g(t) = kt + C.\)

b) Đúng.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y(10) = 40\\y(20) = 10\end{array} \right.\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}g(10) = \ln y(10) = \ln 40\\g(20) = \ln y(20) = \ln 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10k + C = \ln 40\\20k + C = \ln 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{ - \ln 4}}{{10}}\\C = 5\ln 2 + \ln 5\end{array} \right.\].

c) Sai.

\[C = 5\ln 2 + \ln 5\].

d) Sai.

Ta có \(g(t) = \frac{{ - \ln 4}}{{10}}.t + 5\ln 2 + \ln 5\)

Do đó \(y(t) = {e^{g(t)}} < 1 \Leftrightarrow g(t) < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - \ln 4}}{{10}}.t + 5\ln 2 + \ln 5 < 0 \Rightarrow t > \frac{{10(5\ln 2 + \ln 5)}}{{\ln 4}} \approx 36,6\).

Đáp án: 0,46.

Gọi A: ‘Chọn được vận động viên đội I’;

B: ‘Vận động viên được chọn đạt huy chương vàng’.

Xác suất cần tính là

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{0,65.\frac{5}{{12}}}}{{\frac{5}{{12}}.0,65 + \frac{7}{{12}}.0,55}} = \frac{{65}}{{142}} \approx 0,46\].

Đáp số: 36.

Giá gói cước hàng tháng là \(x\) (triệu đồng)\( = 0,001x\)tỷ đồng.

Số lượng doanh nghiệp \(S\left( x \right) = \sqrt {45 - x} \) nghìn \( = 1000\sqrt {45 - x} \) doanh nghiệp.

Doanh thu \(R\left( x \right) = 0,001x.1000\sqrt {45 - x}  = x\sqrt {45 - x} \)

Chi phí \({C_v}\left( x \right) = 10 + 3{S^2} = 10 + 3\left( {45 - x} \right) = 145 - 3x\).

Lợi nhuận \(L\left( x \right) = R\left( x \right) - {C_v}\left( x \right) = x\sqrt {45 - x}  + 3x - 145\).

\( \Rightarrow L'\left( x \right) = \sqrt {45 - x}  - \frac{x}{{2\sqrt {45 - x} }} + 3 = \frac{{90 - 3x}}{{2\sqrt {45 - x} }} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 36\).

Từ BBT: GigaCloud cần niêm yết giá cước là 36 (triệu đồng) để lợ nhuận ròng hàng tháng là cao nhất.

Đáp án: 0,97

Cách 1. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung \(EF.\)

Cách 2. Tính gián tiếp

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD;\) \(M\) là trung điểm của \(CD;\) \(H\) là chân đường cao của tam giác \(SOM\) kẻ từ \(O.\)

Ta có,

$\left.\begin{array}{l}CD\subset \left(SCD\right)\\ AB\Vert CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \text{d}(AB,CD)=\text{d}(AB,(SCD\left)\right)=\text{d}(B,(SCD\left)\right)=2\text{d}(O,(SCD\left)\right).$

Mặt khác

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow CD \bot SO\\CD \bot OM;SO \cap OM = O\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SOM)\\OH \subset (SOM)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot CD\\OH \bot SM;CD \cap SM = M\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot (SCD)\\ \Rightarrow {\rm{d}}(O,(SCD)) = OH \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = 2OH.\end{array}\)

Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) có \(S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {2^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(O{H^2} = \frac{{S{O^2}.O{M^2}}}{{S{O^2} + O{M^2}}} = \frac{{\frac{7}{2}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{7}{{30}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {210} }}{{30}}.\)

Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = 2.\frac{{\sqrt {210} }}{{30}} \approx 0,97.\)

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có: \(A\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right);\overrightarrow {DS}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\\{\rm{d}}(AB,SD) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right]} \right|}} \approx 0,97.\end{array}\).

Đáp án: 270.

Ta có diện tích một cánh hoa \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - {x^2} + 2x} \right|} dx = 9\)

Vậy diện tích cả bông hoa là \(S = 5{S_1} = 45\,\,{m^2}\)

Thể tích cả bông hoa là \(V = 45 \times 0,15 = 6,75\,\,{m^3}\)

Vậy chi phí vật liệu để đúc cả 5 cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là \(6,75 \times 40 = 270\) triệu đồng.

Đáp án: 5,66

Tiêu điểm là \[A\left( {3;0;0} \right)\]và \[B\left( { - 3;0;0} \right)\] suy ra \[c = 3\]

Tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát \[A\]và \[B\] cố định bằng 10km suy ra \[MA + MB = 2a = 10 \Rightarrow a = 5\].

Suy ra \[{b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b = 4\].

Phương trình Elip của quỹ đạo vệ tinh \[M\] là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\],

\[C{M^2} = {x^2} + {y^2} + 16 = {x^2} + 16\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \right) + 16 = \frac{{9{x^2}}}{{25}} + 32 \ge 32\].

Vậy \[CM\] đạt GTNN là \[\sqrt {32}  \approx 5,66{\rm{ khi }}x = 0\].

Đáp án: 469

Số phần tử của không gian mẫu:

Chọn \(5\) số khác nhau từ \(30\) số và xếp vào \(5\) vị trí có thứ tự \(A,B,C,D,E\). Số cách là:

\(n(\Omega ) = A_{30}^5 = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 = 17.100.720\)

Phân tích điều kiện thuận lợi:

Gọi các số tại các vị trí là \({x_A},{x_B},{x_C},{x_D},{x_E} \in \{ 1;2; \ldots ;30\} \) và đôi một khác nhau.

\(({x_A},{x_B},{x_C})\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng \( \Rightarrow {x_A} + {x_C} = 2{x_B}\). Điều này kéo theo \({x_A},{x_C}\) phải cùng tính chẵn lẻ.

\(({x_C},{x_D},{x_E})\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng \( \Rightarrow {x_C} + {x_E} = 2{x_D}\). Điều này kéo theo \({x_C},{x_E}\) phải cùng tính chẵn lẻ.

\( \Rightarrow {x_A},{x_C},{x_E}\) phải cùng tính chẵn lẻ.

\(({x_A},{x_C},{x_E})\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân \( \Rightarrow {x_A} \cdot {x_E} = x_C^2\).

Liệt kê các bộ \(({x_A},{x_C},{x_E})\) thỏa mãn (Cùng chẵn lẻ, tích \({x_A}{x_E} = x_C^2\), đôi một khác nhau):

o Cùng chẵn:

\((2,4,8);(8,4,2)\)

\((4,8,16);(16,8,4)\)

\((6,12,24);(24,12,6)\)

\((2,6,18);(18,6,2)\)

\((8,12,18);(18,12,8)\)

o Cùng lẻ:

\((1,3,9);(9,3,1)\)

\((1,5,25);(25,5,1)\)

\((3,9,27);(27,9,3)\)

\[(9,15,25);(25,15,9)\]

Tổng cộng có 18 bộ \(({x_A},{x_C},{x_E})\) thỏa mãn. Với mỗi bộ này, \({x_B}\) và \({x_D}\) được xác định duy nhất.

Ví dụ: Bộ \((1,3,9) \Rightarrow {x_B} = 2,{x_D} = 6\). Tập số \(\{ 1,2,3,6,9\} \) đôi một khác nhau (Thỏa mãn).

Kiểm tra tất cả 18 bộ, các giá trị \({x_B},{x_D}\) sinh ra đều nguyên, thuộc \(S\) và làm cho 5 số đôi một khác nhau.

Số kết quả thuận lợi là: \(n(A) = 18\).

Xác suất: \(a = \frac{{18}}{{17.100.720}}\).

Tính giá trị biểu thức:

\(\frac{1}{{2026a}} = \frac{1}{{2026 \cdot \frac{{18}}{{17.100.720}}}} \approx 468,92\).