Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Lê Hồng Phong (Thái Nguyên)

Điều kiện \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)

\({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x - 1} \right) > - 1 \Leftrightarrow 2x - 1 < 3 \Leftrightarrow x < 2\). Kết hợp điều kiện \(\frac{1}{2} < x < 2\). Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GD} \). Chọn A.

Ta có\(AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\).

\({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48\). Chọn C.

a) Sai. Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 3x + 2}}{{x + 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 4x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\];

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 4x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2} \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right]\\x = \frac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{2} \notin \left[ { - \frac{1}{2};0} \right]\end{array} \right.\]

Khi đó \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 2,f\left( 0 \right) = 2,f\left( {\frac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2}} \right) = - 1 + 2\sqrt 2 \]. \(\)

Vậy \[\mathop {Min}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};0} \right]} f\left( x \right) = \mathop {Min}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};0} \right]} f\left( {\frac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2}} \right) = - 1 + 2\sqrt 2 \].

b) Đúng. Bảng biến thiên

Hàm số có hai điểm cực trị.

c) Đúng. \[f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 3x + 2}}{{x + 1}} = 2x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\].

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\frac{{2{x^2} + 3x + 2}}{{x + 1}} - \left( {2x + 1} \right)} \right] = 0\]

 Nên \[y = 2x + 1\] là tiệm cận xiên của hàm số.

d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực đại của hàm số là \[ - 2\sqrt 2 - 1\].

a) Đúng. \(\overrightarrow {AI} = \left( { - 1;1;1} \right) \Rightarrow AI = \left| {\overrightarrow {AI} } \right| = \sqrt 3 < 3\)\( \Rightarrow \) Ra đa có thể phát hiện.

b) Sai. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;3;7} \right)\),\(R = 3\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\).

c) Đúng. \(IB = \left| {\overrightarrow {IB} } \right| = \sqrt {{5^2} + {1^2} + {1^2}} \) \( = 3\sqrt 3 > 3\) nên điểm B nằm ngoài vùng phát hiện của ra đa.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;2;2} \right)\).

Phương trình đoạn thẳng \(AB\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 2 + 2t\\z = 6 + 2t\end{array} \right.,0 \le t \le 1\).

Gọi \(M\)là giao điểm của đoạn\(AB\) và \(\left( S \right)\).

Xét phương trình \({\left( {2 + 4t - 1} \right)^2} + {\left( {2 + 2t - 3} \right)^2} + {\left( {6 + 2t - 7} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 4t} \right)^2} + {\left( {2t - 1} \right)^2} + {\left( {2t - 1} \right)^2} = 9\) \( \Leftrightarrow 24{t^2} + 3 = 9 \Rightarrow {t^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2} \in \left[ {0;1} \right]\\t = - \frac{1}{2} \notin \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\).

Với \(t = \frac{1}{2} \Rightarrow {M_1}\left( {4;3;7} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}B} = \left( {2;1;1} \right)\); \(\overrightarrow {{M_1}A} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\)

Vật di chuyển từ \(B\) đến \(A\) nên \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MA} \) ngược chiều\( \Rightarrow M \equiv {M_1}\left( {4;3;7} \right)\).

Độ dài đoạn đường MA là \(MA = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 \) \({\rm{km}}\) \( \approx 2449,490\) \({\rm{m}}\)

Thời gian (làm tròn đến hàng đơn vị) ra đa phát hiện ra vật đó đến khi vật đến \(A\)là \(t = \frac{{2449,490}}{{400}} \approx 6\)(giây).

d) Đúng.\(\overrightarrow {IB} = \left( {5;1;1} \right)\) \( \Rightarrow IB = \left| {\overrightarrow {IB} } \right| = \sqrt {{5^2} + {1^2} + {1^2}} \) \( = 3\sqrt 3 > 3\) nên không phát hiện ra vật.

Từ phương trình\[f'\left( t \right) = kf\left( t \right)\], ta có nghiệm của phương trình tổng quát dạng\(f\left( t \right) = C{e^{kt}}.\)

a) Đúng. Với thời điểm ban đầu \(t = 0,\) số lượng vi khuẩn là 2000 con

Ta có: \(f\left( 0 \right) = C \cdot {e^{k \cdot 0}} = 2000 \Rightarrow C = 2000\).

Do đó, công thức biểu thị số lượng vi khuẩn tại thời điểm \(t\) giờ là: \(f\left( t \right) = 2000{e^{kt}}\).

b) Đúng. Ta có: \(f\left( 2 \right) = 2000{e^{2k}} = 32000\)\( \Rightarrow {e^{2k}} = \frac{{32000}}{{2000}} = 16\)

\( \Rightarrow 2k = \ln 16 = 4\ln 2\)\( \Rightarrow k = 2\ln 2 = \ln 4\).

Do đó để số lượng vi khuẩn đạt 1024000 con, cần thời gian là:

\(2000{\left( {{e^{\ln 4}}} \right)^t} = 2000 \cdot {4^t} = 1024000\)\( \Rightarrow {4^t} = \frac{{1024000}}{{2000}} = 512 \Rightarrow {2^{2t}} = {2^9} \Rightarrow 2t = 9 \Rightarrow t = 4,5\)(giờ)

c) Đúng. Tại thời điểm \(t = 3,5\) giờ , ta được: \(f\left( {3,5} \right) = 2000 \cdot {4^{3,5}} = 2000 \cdot 128 = 256000\);

\(f'\left( {3,5} \right) = \left( {2\ln 2} \right) \cdot 256000 \approx 354891\).\(\)

d) Sai. Theo câu b) ta có \(k = \ln 4\).

+ Khu I có \(180\) công nhân:

Số công nhân nhận lương \(A:\,\,180 \cdot \,30\% = 54\) (người).

Số công nhân nhận lương \[B:\,\,180 - 54 = 126\] (người).

+ Khu II có \(120\) công nhân:

Số công nhân nhận lương \(A:\,\,120 \cdot 25\% = 30\) (người).

Số công nhân nhận lương \[B:\,\,120 - 30 = 90\] (người).

Gọi các biến cố:

\({V_1}:\) “Công nhân được chọn làm việc tại khu I”.

\({V_2}:\) “Công nhân được chọn làm việc tại khu II”.

\(A:\) “Công nhân được chọn nhận mức lương A”.

\(B:\;\) “Công nhân được chọn nhận mức lương B”.

Xác suất một công nhân thuộc khu I là: \(P\left( {{V_1}} \right) = \frac{{180}}{{300}} = 0,6\).

Xác suất một công nhân thuộc khu II là: \(P\left( {{V_2}} \right) = \frac{{120}}{{300}} = 0,4\).

a) Đúng. Khu II có \(25\% \) công nhân nhận lương \(A,\) nghĩa là xác suất nhận lương \(A\) trong khu II là:

\(P\left( {A\left| {{V_2}} \right.} \right) = 25\% = 0,25\)\( \Rightarrow P\left( {B\left| {{V_2}} \right.} \right) = 1 - P\left( {A\left| {{V_2}} \right.} \right) = 1 - 0,25 = 0,75\).

b) Đúng. Gặp một công nhân không đeo thẻ. Xác suất để công nhân này thuộc khu II là

\(P\left( {{V_2}} \right) = \frac{{120}}{{300}} = 0,4\).

c) Sai. Xác suất chọn được công nhân vừa ở khu I vừa nhận lương B là:

\(P\left( {{V_1} \cap B} \right) = \frac{{126}}{{300}} = 0,42\).

Xác suất chọn được công nhân nhận mức lương B là: \(P\left( B \right) = \frac{{216}}{{300}} = 0,72\).

Gặp một công nhân không đeo thẻ và được biết công nhân này nhận lương công \(B.\)

Xác suất công nhân này thuộc khu I là \(P({V_1}\mid B) = \frac{{0,42}}{{0,72}} = \frac{7}{{12}} \approx 0,5833\).

d) Sai. Gặp một công nhân không đeo thẻ. Xác suất để công nhân này thuộc khu I và nhận lương công \(A\) là \(P\left( {{V_I} \cap A} \right) = P\left( {{V_1}} \right) \cdot P\left( {A\left| {{V_1}} \right.} \right) = 0,6 \cdot 0,3 = 0,18.\)

Đáp án: 130

Gọi \(x\) là số sản phẩm được sản xuất trong một chu kì (\(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Chi phí hao mòn (cần bảo dưỡng) sau khi sản xuất \(x\) sản phẩm là \(C\left( x \right) = 20\ln x + 50\) (triệu đồng).

Do mỗi sản phẩm sau khi trừ đi các chi phí về vật liệu sản xuất và chi phí bán hàng thu về 5 triệu đồng, nên tổng doanh thu \(R\left( x \right)\) khi sản xuất \(x\) sản phẩm là:\(R\left( x \right) = 5x\) (triệu đồng).

Tổng lợi nhuận \(P\left( x \right)\) sau mỗi chu kì sản xuất là hiệu của tổng doanh thu và chi phí hao mòn:

\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 5x - \left( {20\ln x + 50} \right) = 5x - 20\ln x - 50\) (triệu đồng).

Theo yêu cầu đề bài, tổng lợi nhuận sau mỗi chu kì không nhỏ hơn 500 triệu đồng, tức là:

\(P\left( x \right) \ge 500\)\( \Leftrightarrow 5x - 20\ln x - 50 \ge 500\)\( \Leftrightarrow 5x - 20\ln x - 550 \ge 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 5x - 20\ln x - 550\) với \(x > 0\).

Có \(f'\left( x \right) = 5 - \frac{{20}}{x}\); \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Rightarrow x = 4\).

Bảng biến thiên

Giá trị cực tiểu của hàm số tại \(x = 4\) là: \(f\left( 4 \right) = 5 \cdot 4 - 20\ln 4 - 550 = - 530 - 20\ln 4 \approx - 557,72\).

Vì \(f\left( x \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\), \(f\left( 4 \right) < 0\), và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {5x - 20\ln x - 550} \right) = + \infty \], nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \({x_0} > 4\).

Ta cần tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của \(x\) sao cho \(f\left( x \right) \ge 0\).

Thử các giá trị của \(x\):

Với \(x = 129\): \(f\left( {129} \right) \approx - 2,196\) (triệu đồng).

Với \(x = 130\): \(f\left( {130} \right) \approx 2,65\) (triệu đồng).

Vì \(f\left( {129} \right) < 0\) và \(f\left( {130} \right) > 0\), và hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\), nên giá trị nguyên nhỏ nhất của \(x\) để \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(x = 130\).

Vậy, mỗi chu kì sản xuất dây chuyền cần sản xuất ít nhất 130 sản phẩm để tổng lợi nhuận không nhỏ hơn 500 triệu đồng.

Đáp án: \[8\]  

Đi từ \[A\] đến \[D\] theo hướng của mũi tên có \(3\) con đường, đó là \[ACD,\;AD,\;AGD\].

Đi từ \[A\] đến \[E\] theo hướng của mũi tên có \(5\) con đường, đó là

\[ACDE,\;ADE,\;AGDE,\;AGE,\;AGHE.\]

Tương tự đi từ \[A\] đến \[F\] theo hướng của mũi tên có \(7\) con đường, \[A\] đến \[B\] theo hướng của mũi tên có \(8\) con đường (do không có mũi tên hướng từ \(J\) đến \[B\] nên phải bỏ đi 1 con đường).

Đáp án: \(498\)

       

Giả sử mặt cắt cách mặt đáy một đoạn bằng \(a\)\({\rm{cm}}\).

Ta có: \(OQ = \frac{{OI}}{{II'}} \cdot A'I' + \frac{{OI'}}{{II'}} \cdot AI\)\( = \frac{a}{{10}} \cdot 4\sqrt 2 + \frac{{10 - a}}{{10}} \cdot 8\sqrt 2 \)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\left( {40 - 2a} \right)\).

Suy ra \(OM = ON = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\left( {40 - 2a} \right)\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, suy ra: \(M\left( { - \frac{{40 - 2a}}{5};\frac{{40 - 2a}}{5}} \right)\), \(N\left( {\frac{{40 - 2a}}{5};\frac{{40 - 2a}}{5}} \right)\).

Parabol chứa cung \(MN\) có dạng: \(y = p{x^2} + q\).

Đường thẳng \(ON\) là phân giác góc phần tư thứ nhất, có hệ số góc bằng \(1\) và parabol đi qua \(N\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40 - 2a}}{5} = p{\left( {\frac{{40 - 2a}}{5}} \right)^2} + q\\2p\left( {\frac{{40 - 2a}}{5}} \right) = 1\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{{20 - a}}{5}\\p = \frac{5}{{2\left( {40 - 2a} \right)}}\end{array} \right.\]

Parabol có phương trình: \[y = \frac{5}{{2\left( {40 - 2a} \right)}}{x^2} + \frac{{20 - a}}{5}\].

Diện tích tứ giác cong \(MNPQ\) bằng:

\(S\left( a \right) = 8\int\limits_0^{\frac{{40 - 2a}}{5}} {\left( {\frac{5}{{2\left( {40 - 2a} \right)}}{x^2} + \frac{{20 - a}}{5} - x} \right){\rm{d}}x} \)\( = 8\left. {\left( {\frac{5}{{6\left( {40 - 2a} \right)}}{x^3} + \frac{{20 - a}}{5}x - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{{40 - 2a}}{5}}\)

\( = \frac{{4{{\left( {40 - 2a} \right)}^2}}}{{75}}\).

Vậy thể tích khối \(H\) bằng: \({V_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^{10} {S\left( a \right){\rm{d}}a} \)\( = \frac{4}{{75}}\int\limits_0^{10} {{{\left( {40 - 2a} \right)}^2}{\rm{d}}a} \)\( = \frac{{4480}}{9} \approx 498\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Đáp án: \(1,59\)

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}DM \bot CN\\DM \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow DM \bot \left( {SCN} \right)\]

Trong \[\left( {SCN} \right)\]dựng \(HQ \bot SC \Rightarrow HQ \bot DM\)

Suy ra \(HQ\) là đoạn vuông góc chung của \(DM\) và \(SC\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông\(\Delta CDN\): \(C{D^2} = CH \cdot CN \Rightarrow CH = \frac{{C{D^2}}}{{CN}} = \frac{{{2^2}}}{{\sqrt 5 }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}.\)

\[\frac{1}{{H{Q^2}}} = \frac{1}{{C{H^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{{19}}{{48}} \Rightarrow HQ = \sqrt {\frac{{48}}{{19}}} = 4\sqrt {\frac{3}{{19}}} \approx 1,59.\]

Đáp án: 15,6

Vị trí xuất phát \(A\left( {4;8;0} \right)\)

VTCP \(\overrightarrow u = \left( {3;2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {22} \)

Vì Flycam xuất phát từ điểm \(A\left( {4;8;0} \right)\)bay thẳng theo hướng \(\overrightarrow u = \left( {3;2;3} \right)\) với vận tốc \(\overrightarrow v = \frac{6}{{\sqrt {22} }}\overrightarrow u = \left( {\frac{{18}}{{\sqrt {22} }};\frac{{12}}{{\sqrt {22} }};\frac{{18}}{{\sqrt {22} }}} \right)\).

Tọa độ Flycam tại thời điểm \(t:M\left( t \right) = \left( {4 + \frac{{18}}{{\sqrt {22} }}t;8 + \frac{{12}}{{\sqrt {22} }}t;\frac{{18}}{{\sqrt {22} }}t} \right)\)

Yêu cầu bài toán: \({\left( {4 + \frac{{18}}{{\sqrt {22} }}t} \right)^2} + {\left( {8 + \frac{{12}}{{\sqrt {22} }}t} \right)^2} + {\left( {\frac{{18}}{{\sqrt {22} }}t} \right)^2} > {100^2}\)

\( \Leftrightarrow 36{t^2} + \frac{{336}}{{\sqrt {22} }}t - 9920 > 0\)\( \Leftrightarrow t > 15,6\).

Đáp án: 9271

Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = {3^{18}}\).

Có 9 vị trí chẵn và 9 vị trí lẻ, để tổng vị trí chẵn bằng 0 và tổng vị trí lẻ bằng 0 nên:

Với 9 vị trí chẵn: chọn \(2k\) vị trí khác 0, sau đó chọn \(k\) vị trí đặt số 1 có\(\sum\limits_{k = 0}^4 {C_9^{2k} \cdot C_{2k}^k} = 3139\) cách.

Với 9 vị trí lẻ, vì \({a_1} \ne 0\) nên \({a_1} = \pm 1\).

Hai trường hợp \[{a_1} = 1\] hoặc \({a_1} = - 1\) có tính đối xứng nhau nên ta chỉ cần tính cho một trường hợp rồi nhân 2.

Nếu \({a_1} = 1\), tổng của 8 vị trí lẻ còn lại phải bằng \( - 1\), gọi k là số lần xuất hiện số 1\( \Rightarrow \) số lần xuất hiện số \( - 1\) là \(k + 1\)

\( \Rightarrow \) số lần xuất hiện số 0 là \(8 - k - \left( {k + 1} \right) = 7 - 2k \ge 0 \Rightarrow k = \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

- Nếu \(k = 0 \Rightarrow \) 8 vị trí lẻ có không số 1, có một số −1 và 7 số 0: \(C_8^0 \cdot C_8^1 = 8\).

- Nếu \(k = 1 \Rightarrow \) 8 vị trí lẻ có một số 1, có hai số −1 và có năm số 0: \(C_8^1 \cdot C_7^2 = 168\).

- Nếu \(k = 2 \Rightarrow \) 8 vị trí lẻ có hai số 1, có ba số −1 và có ba số 0: \(C_8^2 \cdot C_6^3 = 560\).

- Nếu \(k = 3 \Rightarrow \) 8 vị trí lẻ có ba số 1, có bốn số −1 và có một số 0: \(C_8^3 \cdot C_5^4 = 280\).

\( \Rightarrow \) số cách lập \(8 + 168 + 560 + 280 = 1016\).

Số cách lập các vị trí lẻ là\(2 \cdot 1016 = 2032\).

Xác suất \(p = \frac{{3139 \cdot 2032}}{{{3^{18}}}} \Rightarrow \frac{{{3^{18}}p}}{{688}} = 9271\).