Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 4)

Ta có \({u_4} = {u_1} \cdot {q^3} \Leftrightarrow 64 = 1 \cdot {q^3} \Leftrightarrow {q^3} = 64 \Leftrightarrow q = 4.\) Chọn C.

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {{x^{2021}}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{2022}}}}{{2022}} + C\). Chọn C.

Ta có \(AA'{\rm{//}}CC' \Rightarrow \left( {AA',BC'} \right) = \left( {CC',BC'} \right).\)

Mặt khác tam giác \(BCC'\) vuông tại \(C\) có \(CC' = BC\) nên là tam giác vuông cân.

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng \(45^\circ .\) Chọn C.

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0\,;2\,;1} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ \begin{array}{l}x = t\;\\y = - 2 - t\;\\z = 3 - 2t.\end{array} \right.}\end{array}\)

c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1\,;2\,;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0\,;2\,;\,1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2\,;1\,; - 2} \right)\).

d) Sai. Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(2x + y - 2z + 3 = 0.\)

Thay \(x,y,z\) theo \(t\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được: \(2t - t - 2 - 2\left( {3 - 2t} \right) + 3 = 0 \Rightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow I\left( {1\,; - 3\,;1} \right) \Rightarrow a + 2b + 3c = - 2\).

a) Sai. Xác suất để mẫu chọn ra có quá trình tự phân hủy cao là \(\frac{{32}}{{110}} = \frac{{16}}{{55}}\).

b) Sai. Xác suất để mẫu chọn ra có quá trình tự phân hủy cao và độ thối rữa thấp là \(\frac{{18}}{{110}} = \frac{9}{{55}}.\)

c) Đúng. Nếu quá trình tự phân hủy của một mẫu chọn ra là cao thì xác suất để thối rữa thấp là\(\frac{{18}}{{32}} = \frac{9}{{16}}\).

d) Đúng. Nếu độ thối rữa một mẫu chọn ra là cao thì xác suất để quá trình tự phân hủy cao bằng \(\frac{{14}}{{73}}.\)

a) Sai. Vì \(D\left( {0\,;0\,;\,9} \right){\rm{ n\^e n }}\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 20; - 1} \right) \ne \overrightarrow {AB} = \left( {0\,;20\,;\,1} \right)\).

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {DC} = \left( {0;\,20;\,1} \right) = \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có \(M\left( {10\,;10\,;9,5} \right){\rm{ v\`a }}N\left( {0\,;10\,;9,5} \right)\).

Vậy K sẽ là trung điểm của MN và \(K\left( {5\,;10\,;9,5} \right)\).

c) Đúng. Độ dài \(CQ = \sqrt {{{\left( {5 - 0} \right)}^2} + {{\left( {20 - 20} \right)}^2} + {{\left( {7 - 10} \right)}^2}} = \sqrt {34} = DP\).

Ta có \(P\left( {5\,;0\,;c} \right)\) nên \(DP = \sqrt {34} = \sqrt {{{\left( {5 - 0} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( {c - 9} \right)}^2}} \)

\[ \Rightarrow {\left( {c - 9} \right)^2} = 34 - 25 = 9 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c - 9 = 3}\\{c - 9 = - 3}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 12}\\{c = 6}\end{array}} \right.} \right.\].

Mà \(Q\) có cao độ lớn hơn \(P\) nên \(c < 7\).

Vậy \(P\left( {5\,;0\,;6} \right)\), tọa độ trung điểm \(H\) của QP là \(H = \left( {\frac{{5 + 5}}{2};\frac{{20 + 0}}{2};\frac{{7 + 6}}{2}} \right) = \left( {5\,;10\,;6,5} \right)\).

d) Sai. Điểm \(I\) cách đều các điểm A, B, C, D nên nó sẽ nằm trên đường thẳng đi qua tâm hình chữ nhật ABCD, chính là đi qua điểm \(K\) và nó cũng cách điểm \(H\) khoảng cách tương tự.

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0; - 10;200} \right) = 10\left( {0; - 1;20} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) với \({\vec n_{\left( {ABCD} \right)}} = \left( {0\,; - 1\,;20} \right)\) và đi qua điểm \[A\left( {10\,;0\,;9} \right)\] có phương trình là \( - y + 20z - 180 = 0\).

Gọi đường thẳng đi qua \(K\) và vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) là \(d\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{{\vec u}_d} = {{\vec n}_{\left( {ABCD} \right)}} = \left( {0\,; - 1\,;20} \right)\\K\left( {5;10;9,5} \right) \in d\end{array} \right. \Rightarrow d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 10 - t}\\{z = 9,5 + 20t.}\end{array}} \right.\)

Tham số điểm \(I\left( {5;10 - t;9,5 + 20t} \right)\) và \(IA = IH\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {IA} = \left( {5;t - 10; - 0,5 - 20t} \right)}\\{\overrightarrow {IH} = \left( {0;t; - 3 - 20t} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( {t - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 0,5 - 20t} \right)}^2}} }\\{\left| {\overrightarrow {IH} } \right| = \sqrt {{0^2} + {t^2} + {{\left( { - 3 - 20t} \right)}^2}} }\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {5^2} + {\left( {t - 10} \right)^2} + {\left( { - 0,5 - 20t} \right)^2} = {t^2} + {\left( { - 3 - 20t} \right)^2}\)

\( \Rightarrow 25 + {t^2} - 20t + 100 + 0,25 + 20t + 400{t^2} = {t^2} + 9 + 120t + 400{t^2}\) \( \Rightarrow t = 0,96875\).

Vậy \(I\left( {5;9,03125;28,875} \right)\) nên điểm \(I\) cách mặt đất một khoảng 28,875 mét.

a) Đúng. Ta có \(h\left( t \right) = \int v \left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( { - 0,12{t^2} + 1,2t} \right)} \,{\rm{d}}t = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + C\).

Theo đề \(h\left( 5 \right) = 530\) suy ra \(C = 520.\) Vậy \(h\left( t \right) = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + 520\,\,\,\left( {0 \le t \le 29} \right)\).

b) Đúng. Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay chính là giá trị lớn nhất của hàm số \(h\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,29} \right]\).

Ta có \(h'\left( t \right) = v\left( t \right) = - 0,12{t^2} + 1,2t\); \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 10}\\{t = 0}\end{array}} \right.\).

Có \(h\left( 0 \right) = 520;\,\,h\left( {10} \right) = 540;\,\,h\left( {29} \right) = 49,04\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,29} \right]} h\left( t \right) = 540{\rm{ khi }}t = 10.\)

Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là 540 m.

c) Đúng. Khinh khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát tức có \(h\left( t \right) = 520\) với \(t \ne 0.\)

Ta có phương trình \( - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + 520 = 520 \Leftrightarrow - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{t = 15}\end{array}} \right.\).

Vì \(t \ne 0\) nên \(t = 15\).

Vậy sau 15 phút từ khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi bắt đầu xuất phát.

d) Đúng. Khinh khí cầu tiếp đất khi \(h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t \approx 29,7189\).

Tốc độ của khinh khí cầu khi đó là khoảng \(70,3\) mét/phút.

Đáp án: 0,59.

Gọi \(A\) là biến cố: “Máy bay xuất hiện ở vị trí A”; \(B\) là biến cố: “Máy bay bị bắn trúng”.

Khi đó \(\bar A\) là biến cố: “Máy bay xuất hiện ở vị trí B” và \(\bar B\) là biến cố: “Máy bay không bị bắn trúng”.

Cần tính \(P\left( {A\mid B} \right)\).

Vì có 3 khẩu đặt tại \(B\) nên để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng. Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay là \(P\left( {B\mid \bar A} \right) = 1 - {0,3^3} = 0,973\).

Ta có \(P\left( {B|A} \right) = 0,7\); \(P\left( A \right) = \frac{2}{3};P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{3}\).

Suy ra xác suất để máy bay rơi (bị bắn trúng) là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{2}{3} \cdot 0,7 + \frac{1}{3} \cdot 0,973 = 0,791\).

Xác suất cần tìm là \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot 0,7}}{{0,791}} \approx 0,59\).

Đáp án: 0,67.

Kẻ \[B'D{\rm{//}}A'B \Rightarrow A'B{\rm{//}}\left( {B'DC} \right)\]\( \Rightarrow d\left( {A'B,B'C} \right) = d\left( {B,\left( {B'DC} \right)} \right)\).

Vì \(B\) là trung điểm \(AD\)\( \Rightarrow {S_{BCD}} = {S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

\(C{D^2} = A{D^2} + A{C^2} - 2AD \cdot AC \cdot \cos \widehat {DAC}\)

\( = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos 60^\circ = 6 \Rightarrow CD = \sqrt 6 \).

Kẻ \(BH \bot CD \Rightarrow BH = \frac{{2 \cdot {S_{BCD}}}}{{CD}} = \frac{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

\(BB' = AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {6 - 2} = 2.\)

Hạ \(BE \bot B'H\) (1).

Vì \(BB' \bot CD,BH \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {BB'H} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot BE\) (1).

Từ (1) và (2), suy ra \(BE \bot \left( {B'CD} \right)\).

Do đó \(d\left( {A'B,B'C} \right) = d\left( {B,\left( {B'DC} \right)} \right) = BE\).

Xét \(\Delta B'BH\) vuông tại \(B\) có: \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{1}{{B'{B^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = \frac{9}{4}\)\( \Rightarrow BE = \frac{2}{3}{\rm{. }}\)

\( \Rightarrow d\left( {A'B,B'C} \right) = \frac{2}{3} \approx 0,67.\)

Đáp án: 20,7.

Ta có hình vẽ trên thể hiện mặt cắt của đồng hồ cát qua tâm hình trụ theo phương thẳng đứng của chiều cao.

Ta có \(OF = 4,OE = h.\)

Vì ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao của bên đó nên \(OD = \frac{3}{2}h.\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của khối trụ bên ngoài là \(DK = 2OD = 3h.\)

Vì khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \;\,{\rm{cm}}\).

\( \Rightarrow 2\pi \cdot AF = 8\pi \Rightarrow AF = 4 \Rightarrow A\left( { - 4\,;\,4} \right),B\left( {4\,;4} \right)\).

Parabol đi qua gốc tọa độ \(O\) và 2 điểm A, B có dạng \(y = a{x^2}\quad \left( P \right).\)

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình parabol \(\left( P \right)\) ta được:

\(a = \frac{1}{4} \Rightarrow y = \frac{{{x^2}}}{4}.\)

Cát chảy từ trên xuống với tốc độ \(v\left( t \right) = 0,2t + 13\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{/}}\)phút) và sau 20 phút thì các chảy hết xuống phía dưới đồng hồ nên ta có thể tích cát ban đầu dồn hết ở phần trên của đồng hồ là

\(V = \int\limits_0^{20} {\left( {0,2t + 13} \right)} \,{\rm{d}}t = 300\).

Thể tích giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):x = 2\sqrt y \), các đường thẳng \(y = 0,y = h\) khi quay quanh trục Oy chính là thể tích cát ban đầu dồn hết ở phần trên của đồng hồ nên ta có:

\(\pi \int\limits_0^h {{{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}{\rm{d}}y} = 300 \Rightarrow 2{h^2} = \frac{{300}}{\pi } \Rightarrow h = 5\sqrt {\frac{6}{\pi }} \)\( \Rightarrow DK = 15\sqrt {\frac{6}{\pi }} \approx 20,7\).

Đáp án: −4.

Ta có \(\overrightarrow {CD} = \left( {4;2; - 4} \right)\).

Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là \(\left( P \right):x + ay + bz + c = 0.\) Suy ra \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;a;b} \right)\).

Vì \(\left( P \right){\rm{//}}CD\) nên \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\)\( \Leftrightarrow 4 + 2a - 4b = 0\)\( \Leftrightarrow 2 + a - 2b = 0\) (1).

Vì \(\left( P \right)\) tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 3\\d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 + 2a - 3b + c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {a^2} + {b^2}} \\\left| {\frac{3}{2} + \frac{3}{2}a - \frac{1}{2}b + c} \right| = \frac{3}{2}\sqrt {{1^2} + {a^2} + {b^2}} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 + 2a - 3b + c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {a^2} + {b^2}} \\\left| {3 + 3a - b + 2c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {a^2} + {b^2}} \end{array} \right.\) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 + a - 2b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}\left| {1 + 2a - 3b + c} \right| = \left| {3 + 3a - b + 2c} \right|\\\left| {3 + 3a - b + 2c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {a^2} + {b^2}} \end{array}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}\left| {1 + 4b - 4 - 3b + c} \right| = \left| {3 + 6b - 6 - b + 2c} \right|\\\left| {3 + 6b - 6 - b + 2c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}\left| {b + c - 3} \right| = \left| {5b + 2c - 3} \right|\\\left| {3 + 6b - 6 - b + 2c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array}\end{array}} \right.\].

TH1: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}b + c - 3 = 5b + 2c - 3\\\left| {3 + 6b - 6 - b + 2c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}c = - 4b\\\left| {3 + 6b - 6 - b - 8b} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}c = - 4b\\\left| {b + 1} \right| = \sqrt {5{b^2} - 8b + 5} \end{array}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2\\c = - 4b\\4{b^2} - 10b + 4 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2\\c = - 4b\\b = 2\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2}\\\begin{array}{l}c = - 4b\,\,\,\,\,\\b = \frac{1}{2}\end{array}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\c = - 8\\b = 2\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\\begin{array}{l}c = - 2\\b = \frac{1}{2}\end{array}\end{array}} \right.\].

Với \[\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\c = - 8\\b = 2\end{array} \right.\] thì \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 8 = 0\) (thỏa mãn). Suy ra \(a + b + c = - 4.\)

Với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\\begin{array}{l}c = - 2\\b = \frac{1}{2}\end{array}\end{array}} \right.\] thì \(\left( P \right):x - y + \frac{1}{2}z - 2 = 0\) (loại) vì \(C \in \left( P \right)\).

TH2: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}b + c - 3 = - 5b - 2c + 3\\\left| {3 + 6b - 6 - b + 2c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}2b + c = 2\\\left| {3 + 6b - 6 - b + 2c} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}c = 2 - 2b\\\left| {3 + 6b - 6 - b + 4 - 4b} \right| = 3\sqrt {{1^2} + {{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2b - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}c = 2 - 2b\\\left| {b + 1} \right| = 3\sqrt {5{b^2} - 8b + 5} \end{array}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2\\c = 2 - 2b\\44{b^2} - 74b + 44 = 0\end{array} \right.\] (vô nghiệm).

Vậy \(a + b + c = - 4.\)

Đáp án: 0,54.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây.

Khi đó phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow y = \pm \sqrt {25 - {x^2}} \).

Một phần tư đường tròn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sqrt {25 - {x^2}} }\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\) cắt các đường thẳng \(y = 4\) và \(x = 4\) lần lượt tại các điểm \(\left( {3\,;4} \right)\) và \(\left( {4\,;3} \right)\).

Do đó thể tích của mô hình khi quay quanh trục XY là

\(V = 2\pi \left[ {\int\limits_0^3 {\left( {25 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_4^5 {\left( {25 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_3^4 {{4^2}{\rm{d}}x} } \right]\)\( = \frac{{520\pi }}{3}\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \approx 0,54\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\).

Đáp án: 10,9.

Ta có 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là \(x = 1,y = 1.\)

Kẻ đường thẳng \({d_1}\) sao cho \({d_1}\) là đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).

Suy ra \({d_1}\) là trục đối xứng của đồ thị và hình vuông.

Khi đó ta có hình vẽ bên.

Suy ra \(2d\left( {A,{d_1}} \right) = d(A,d).\)

Để tìm khoảng cách từ \(A\) đến \({d_1}\), ta cần tìm được phương trình đường thẳng \({d_1}\).

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận \(x = 1,y = 1 \Rightarrow I\left( {1\,;1} \right)\).

Xét tam giác vuông IPQ, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IP = IQ = 1}\\{\widehat {PIH} = \widehat {HIQ} = 45^\circ }\end{array}} \right.\) (vì \(IH \in {d_1}\) là đường phân giác của \(\widehat {PIQ}\)).

Suy ra \(IH \bot PQ\) hay \({d_1} \bot d\).

Ta có \(d:y = - x + 1\) hay \(d:x + y - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1\,;1} \right)\).

Vì \({d_1} \bot d\) nên tích vô hướng của 2 vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) và \(d\) bằng 0 suy ra vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) là \({\vec n_1} = \left( { - 1;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(I\left( {1\,;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( { - 1;1} \right)\) có phương trình là \({d_1}: - x + y = 0.\)

Vì \(A \in \left( C \right) \Rightarrow A\left( {x;\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right).\)

Ta có \(2d\left( {A,{d_1}} \right) = d(A,d) \Leftrightarrow 2\frac{{\left| { - x + \frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {x + \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( \Leftrightarrow 2\left| { - {x^2} + 2x + 1} \right| = \left| {{x^2} - x + 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = {x^2} - x + 2\\2\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = - {x^2} + x - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 5x = 0\\{x^2} - 3x - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{5}{3}\\x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\). Suy ra \(x = \frac{5}{3} \Rightarrow AD = \frac{{7\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra diện tích mặt sàn nổi hình vuông là \(S = {\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{{98}}{9} \approx 10,9.\)