Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 6)
22 câu hỏi
\(a \ge b.\)
\(a \le b.\)
\(a < b.\)
\(a > b.\)
Ta có \({\log _a}2 \le {\log _b}2 \Rightarrow a \ge b.\) Chọn A.
1.
2.
10.
\(\frac{{10}}{3}.\)
Ta có \({9^x} - 10 \cdot {3^x} + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} = 1}\\{{3^x} = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow S = \left\{ {0\,;2} \right\}\).
Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng 2. Chọn B.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_a^b {cf\left( x \right){\rm{d}}x} = - c\int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Dựa vào tính chất \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Suy ra đáp án A sai. Chọn A.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như bên dưới.
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
\(x = 1.\)
\(x = - 2.\)
\(x = 3.\)
\(x = 4.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2\) và đạt cực đại tại \(x = 3.\) Chọn C.
0,5.
0,2.
0,4.
0,3.
Cỡ mẫu \(n = 5 + 12 + 25 + 44 + 14 = 100.\)\(\)
Gọi \({x_1};\,\,{x_2};\, \ldots ;\,\,{x_{100}}\) là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \[{x_1}, \ldots ,{x_5} \in \left[ {8,4;8,6} \right);\,\,{x_6}, \ldots ,{x_{17}} \in \left[ {8,6\,;\,8,8} \right);\,\,{x_{18}}, \ldots ,{x_{42}} \in \left[ {8,8\,;\,9,0} \right);\]
\[{x_{43}}, \ldots ,{x_{86}} \in \left[ {9,0\,;\,9,2} \right);\,\,{x_{87}}, \ldots ,{x_{100}} \in \left[ {9,2\,;\,9,4} \right)\].
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in \left[ {8,8\,;\,9,0} \right)\).
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_1} = 8,8 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 17}}{{25}}\left( {9,0 - 8,8} \right) = 8,864\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {9,0\,;9,2} \right)\).
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_3} = 9,0 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 42}}{{44}}\left( {9,2 - 9,0} \right) = 9,15\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = 9,15 - 8,864 = 0,286 \approx 0,3\). Chọn D.
\(q = 9.\)
\(q = 2.\)
\(q = 3.\)
\(q = 6.\)
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát \({u_n} = {3^{2n}} = {9^n} = 9 \cdot {9^{n - 1}}\,\,\left( {n \ge 2} \right)\) nên công bội của cấp số nhân này là 9. Chọn A.
1.
0.
2.
\( - 1\).
Vì \(F\left( x \right),\,\,G\left( x \right)\) là các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) nên \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + C\).
Ta có \[F\left( 0 \right) = G\left( 0 \right) + C \Rightarrow 1 = 2 + C \Rightarrow C = - 1\]\( \Rightarrow G\left( x \right) = F\left( x \right) + 1 = {2^x}\cos x + 1 \Rightarrow G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Suy ra \[F\left( 0 \right) - G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 - 1 = 0\]. Chọn B.
\({e^{4x + 3}} + C.\)
\(4{e^{4x + 3}} + C.\)
\(\left( {4x + 3} \right){e^{4x + 2}}.\)
\(\frac{1}{4}{e^{4x + 3}} + C.\)
Ta có \(\int {{e^{4x + 3}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{4}{e^{4x + 3}} + C\). Chọn D.
Đường cong ở hình vẽ là đồ thị của hàm số
\(y = {x^3} + {x^2} + 2x + 2.\)
\(y = - {x^3} - 4{x^2} - x + 2.\)
\(y = {x^3} + 3{x^2} - 4x + 2.\)
\(y = {x^3} + 3{x^2} + 4x + 2.\)
Dựa vào đáp án, ta suy ra hàm số là đường: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).
Dựa vào đồ thị ta thấy:
+) Hệ số \(a > 0\) suy ra loại B.
+) Đồ thị đi qua điểm \(( - 2; - 2)\) suy ra loại A.
+) Đồ thị đi qua điểm \(( - 1;0)\) suy ra loại C. Chọn D.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\vec n = \left( { - 2; - 3;1} \right).\)
\(\vec n = \left( { - 2; - 3;0} \right).\)
\(\vec n = \left( {2;3;1} \right).\)
\(\vec n = \left( {2;3;2} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'} = \left( {2;3;0} \right)\) nên cũng nhận \(\vec n = \left( { - 2\,; - 3\,;0} \right)\)làm vectơ pháp tuyến. Chọn B.
3.
8.
15.
6.
Ta có \[\int\limits_1^8 {5f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\int\limits_1^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5 \cdot 3 = 15\]. Chọn C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 8.\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10.\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.\)
Gọi \(M\) là hình chiếu của điểm \(I\) trên trục \(Oy\). Khi đó \(M\left( {0; - 2;0} \right)\).
Vì mặt cầu tâm \(I\), tiếp xúc với trục \(Oy\) nên \(R = IM = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).
Do đó mặt cầu tâm \(I\) có dạng: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10\). Chọn C.
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } p\left( t \right) = 1\).
Tốc độ lan truyền tin đồn là \(p'\left( t \right) = \frac{{10{e^{ - 0,5t}}}}{{{{\left( {1 + 10{e^{ - 0,5t}}} \right)}^2}}}\).
Tốc độ lan truyền tin đồn lớn nhất sau 9,2 giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Tại thời điểm tin đồn lan truyền với tốc độ lớn nhất thì có 50% dân số biết tin đồn (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
a) Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } p\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{1}{{1 + a \cdot {e^{ - kt}}}} = \frac{1}{{1 + 0}} = 1\).
b) Sai. Tốc độ lan truyền tin đồn là:
\(p'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + a \cdot {e^{ - kt}}}}} \right)^\prime } = \frac{{k \cdot a \cdot {e^{ - kt}}}}{{{{\left( {1 + a \cdot {e^{ - kt}}} \right)}^2}}} = \frac{{10 \cdot 0,5 \cdot {e^{ - 0,5t}}}}{{{{\left( {1 + 10 \cdot {e^{ - 0,5t}}} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{5 \cdot {e^{ - 0,5t}}}}{{{{\left( {1 + 10 \cdot {e^{ - 0,5t}}} \right)}^2}}}\).
c) Sai. Đặt \(a = 10 \cdot {e^{ - 0,5t}}\), khi đó
\(p'\left( t \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{{{\left( {1 + a} \right)}^2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{{a^2} + 2a + 1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{a + 2 + \frac{1}{a}}}\)
.
Dấu bằng xảy ra khi: \(a = 1 \Leftrightarrow 10 \cdot {e^{ - 0,5t}} = 1 \Leftrightarrow {e^{ - 0,5t}} = \frac{1}{{10}}\)
\( \Leftrightarrow - 0,5t = \ln \frac{1}{{10}} = - \ln 10 \Leftrightarrow t = 2\ln 10 \approx 4,6\) giờ.
d) Đúng. Tại thời điểm tin đồn lan truyền với tốc độ lớn nhất thì tỉ lệ dân số biết tin đồn là
\(p\left( {2\ln 10} \right) = \frac{1}{2} = 50\% \).
Một chiếc điện thoại Iphone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt \(S\left( {0;0;20} \right)\) và các điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là \(A\left( {0; - 6;0} \right),B\left( {3\sqrt 3 ;3;0} \right)\), \(C\left( { - 3\sqrt 3 ;3;0} \right)\) (đơn vị centimét). Cho biết điện thoại có trọng lượng là 2 N và ba lực tác dụng lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau và đo bằng đơn vị Newton (N).
\(\overrightarrow {SA} = \left( {0; - 6; - 20} \right)\).
\(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec F\left( {0\,;0\,;2} \right)\).
\({\vec F_1} = \frac{1}{{20}}\overrightarrow {SA} \).
Biết tọa độ của lực \({\vec F_1} = \left( {a\,;b\,;c} \right)\), khi đó \(T = 2a + 5b + 6c = - 5.\)
a) Đúng. Ta có: \(S\left( {0\,;0\,;20} \right),A\left( {0\,; - 6\,;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SA} = \left( {0\,; - 6\,; - 20} \right)\).
b) Sai. Gọi \(\overrightarrow F \) là trọng lực tác dụng lên điện thoại \( \Rightarrow \vec F = \left( {0\,;0\,; - 2} \right)\).
Điện thoại có trọng lượng là 2N và ba lực tác dụng lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec F\left( {0\,;0\,; - 2} \right)\).
c) Sai. Ta có:
\(\overrightarrow {{F_1}} = a \cdot \overrightarrow {SA} = \left( {0\,; - 6a\,; - 20a} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 2\sqrt {109} a\)
\(\overrightarrow {{F_2}} = b \cdot \overrightarrow {SB} = \left( {3\sqrt 3 b\,;3b\,; - 20b} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\sqrt {109} b\)
\(\overrightarrow {{F_3}} = c \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - 3\sqrt 3 c\,;3c\,; - 20c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2\sqrt {109} c\)
Ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau nên \(a = b = c.\)
\(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec F\left( {0\,;0\,; - 2} \right) \Leftrightarrow - 20a - 20a - 20a = - 2\)\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{{30}} \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} = \frac{1}{{30}} \cdot \overrightarrow {SA} \).
d) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{1}{{30}} \cdot \overrightarrow {SA} = \left( {0; - \frac{1}{5}; - \frac{2}{3}} \right)\)\( \Rightarrow a = 0,b = - \frac{1}{5},c = - \frac{2}{3} \Rightarrow 2a + 5b + 6c = - 5\).
\(P\left( B \right) = 0,8\).
\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
\(P\left( {\bar AB} \right) = 0,48\).
\(P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,95\).
a) Đúng. Ta có \[P\left( B \right) = 1 - P\left( {\bar B} \right) = 1 - 0,2 = 0,8\].
b) Sai. Ta có \(P\left( {AB} \right) = 0,42 \ne P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,48\) nên hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
c) Sai. Ta có \(P\left( B \right) = P\left( {\bar AB} \right) + P\left( {AB} \right)\)\( \Rightarrow P\left( {\bar AB} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,8 - 0,42 = 0,38\).
d) Đúng. Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có
\(P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{{P\left( {\bar AB} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}}\)\( = \frac{{P\left( {\bar AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,38}}{{0,4}} = 0,95\).
Một chất điểm chuyển động trong 3 giây với vận tốc \(v\left( t \right) = a\cos \left( {\pi t} \right) + b\) (mét/giây) (trong đó, \(t\left( s \right)\) là biến thời gian; \(a,b\) là các hằng số) có đồ thị là một đường hình sin như hình dưới đây:
Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) giây là \(10\;{\rm{m/s}}.\)
Giá trị của \(a\) là 5.
Giá trị của \(b\) là 10.
Tổng quãng đường vật đi được sau 3 giây là \(27,93\;{\rm{m}}.\)
a) Đúng. Dựa vào hình vẽ, ta thấy vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) giây là \(10\;{\rm{m/s}}.\)
b) Đúng. Quan sát hình vẽ, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v\left( 1 \right) = 0}\\{v\left( 2 \right) = 10}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a\cos \pi + b = 0}\\{a\cos 2\pi + b = 10}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + b = 0}\\{a + b = 10}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 5} \right.\).
Suy ra \(v\left( t \right) = 5\cos \left( {\pi t} \right) + 5\).
c) Sai. Giá trị của \(b\) là 5.
d) Sai. Ta có quãng đường vật đi được sau 3 giây là \(s\left( t \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right)\,} {\rm{d}}t\)\( = \int\limits_0^3 {\left[ {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right]} \,{\rm{d}}t = 15\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tổng số tam giác của hình bên dưới là bao nhiêu?
Đáp án: 27.
Số tam giác có cạnh 4 đơn vị là 1.
Số tam giác có cạnh 3 đơn vị là 3.
Số tam giác có cạnh 2 đơn vị là 7.
Số tam giác có cạnh 1 đơn vị là 16.
Tổng có tất cả \(1 + 3 + 7 + 16 = 27\) tam giác.
Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền \(\left( R \right)\) (phần được tô đậm trong hình vẽ) quanh trục \(AB\). Miền \(\left( R \right)\) được giới hạn bởi các cạnh \(AB,AD\) của hình vuông \(ABCD\) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng 1 cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD,AB\). Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét khối.
Đáp án: 12,3.
Chọn trục \(Ox\) chứa điểm \(B\), trục \(Oy\) chứa điểm \(D\), và gốc tọa độ \(O\) trùng điểm \(A\) như hình vẽ.
Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,AB\).
Khi đó \(E\left( {0\,;1} \right),F\left( {1\,;0} \right)\).
Phương trình đường tròn có tâm \(E\left( {0\,;1} \right)\) và đường kính \(AD = 2\) là: \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).
Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm \(E\) là: \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \).
Phương trình đường tròn có tâm \(F\left( {1\,;0} \right)\) và đường kính \(AB = 2\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1\).
Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm \(F\) là: \(y = \sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \).
Vậy, thể tích vật trang trí là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_1^2 {\left[ {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]} \,{\rm{d}}x\)\( \approx 12,3\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\).
Đáp án: 0,18.
Gọi \(A\) là biến cố: “Người tiêm vắc xin có bệnh nền”.
Và \(B\) là biến cố: “Xảy ra phản ứng phụ sau tiêm”.
Ta có \(P\left( A \right) = 0,12 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,88\); \(P\left( {B\mid A} \right) = 0,28\,;\,\,P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,17\).
Xác suất người này có phản ứng phụ là
\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right)\)\( = 0,12 \cdot 0,28 + 0,88 \cdot 0,17 = 0,1832.\)
Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất người này có bệnh nền khi biết người này có phản ứng phụ là \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,12 \cdot 0,28}}{{0,1832}} \approx 0,18\).
Tại sân vận động Quốc Gia Mỹ Đình có kích thước chiều dài là 100 m và chiều rộng là 70 m. Khung thành được đặt chính giữa với chiều rộng là 8 m. Cầu thủ Quang Hải muốn đá vào khung thành với quả bóng đặt ở điểm A cách đường biên dọc một khoảng bằng 20 m.
Tìm khoảng cách \(h\,\,{\rm{(m)}}\) từ vị trí đặt bóng A đến đường biên ngang để góc sút \(\alpha \) (xem hình vẽ) của Quang Hải là lớn nhất. Giả sử sân bóng phẳng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: 14,5.
Ta có \(\alpha = \widehat {DAC}\) và \({\alpha _{\max }} \Rightarrow {\left( {\tan \alpha } \right)_{\max }}\).
\(OM = \frac{{70}}{2} = 35{\rm{m}} \Rightarrow MB + BD + DO = 35\)\( \Rightarrow BD = 35 - MB - DO \Rightarrow BD = 35 - 20 - 4 = 11\;\,\,{\rm{(m)}}\).
\(\tan \alpha = \tan \widehat {DAC} = \tan \left( {\widehat {BAC} - \widehat {BAD}} \right)\)\( = \frac{{\tan \widehat {BAC} - \tan \widehat {BAD}}}{{1 + \tan \widehat {BAC} \cdot \tan \widehat {BAD}}} = \frac{{\frac{{BC}}{{BA}} - \frac{{BD}}{{BA}}}}{{1 + \frac{{BC}}{{BA}} \cdot \frac{{BD}}{{BA}}}} = \frac{{\frac{{19}}{h} - \frac{{11}}{h}}}{{1 + \frac{{19}}{h} \cdot \frac{{11}}{h}}}\)
\( = \frac{{\frac{8}{h}}}{{1 + \frac{{209}}{{{h^2}}}}} = \frac{{8h}}{{209 + {h^2}}} = \frac{8}{{\frac{{209}}{h} + h}} \le \frac{8}{{2\sqrt {\frac{{209}}{h}} \cdot h}} = \frac{{4\sqrt {209} }}{{209}}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(h = \frac{{209}}{h} \Leftrightarrow h = \sqrt {209} \approx 14,5\).
Cấu trúc tổ ong là một cấu trúc đặc biệt, mỗi lỗ ong là một lăng kính hình lục giác, một đầu hở còn một đầu tạo thành một góc tam diện. Ong đã xây các lỗ này với một cách làm tối ưu về diện tích bề mặt (đã sử dụng lượng sáp ong ít nhất để xây tổ). Người ta đã quan sát, nghiên cứu thì thấy rằng góc \(\theta \,({\rm{rad}})\) ở đỉnh nhất quán một cách đáng kinh ngạc, dựa trên cấu trúc hình học của lỗ ong người ta đã chứng minh được diện tích bề mặt \(S\) của lỗ ong là \(S = 6s \cdot h - \frac{3}{2}{s^2} \cdot \cot \theta + \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{s^2} \cdot \frac{1}{{\sin \theta }}\) (\(s\) là chiều dài các cạnh của lỗ ong, h là chiều cao, \(s\) và h đều là hằng số). Vậy để tối thiểu hoá diện tích bề mặt con ong đã xây một góc \(\theta \) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,96.
Ta có \(\theta \in \left( {0;\pi } \right)\).
\(S'\left( \theta \right) = \frac{3}{2}{s^2} \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\theta }} - 3{s^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\cos \theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}\)\( = \frac{3}{2}{s^2} \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\theta }}\left( {1 - \sqrt 3 \cos \theta } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \theta \approx 0,96\).
Bảng biến thiên \(S\left( \theta \right)\) như sau:
Vậy \({S_{\min }} = 6s\left( {h + \frac{{\sqrt 2 }}{4}s} \right)\) khi \(\theta = 0,96.\)
Đáp án: 5.
Gọi \(B\left( {2t\,;2t\,;2t} \right) \in d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\), \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right) \in \left( P \right):2x + y - z - 2 = 0\).
Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \left( {2 - 2t\,; - 2t;\,4 - 2t} \right),\overrightarrow {MC} = \left( {{x_C} - 2;{y_C};{z_C} - 4} \right)\).
Tam giác \(ABC\) có đường phân giác trong AM với \(M \in BC\)\( \Rightarrow \frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BM} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} - 2 = \frac{1}{2}\left( {2 - 2t} \right) = 1 - t}\\{{y_C} = \frac{1}{2}\left( { - 2t} \right) = - t}\\{{z_C} - 4 = \frac{1}{2}\left( {4 - 2t} \right) = 2 - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 3 - t}\\{{y_C} = - t}\\{{z_C} = 6 - t}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {3 - t; - t;6 - t} \right)\).
Ta có \(C\left( {3 - t; - t;6 - t} \right) \in \left( P \right):2x + y - z - 2 = 0\)
\( \Rightarrow 2\left( {3 - t} \right) - t - \left( {6 - t} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow - 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Khi đó \(B\left( { - 2; - 2; - 2} \right),C\left( {4\,;1\,;7} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {6\,;3\,;\,9} \right)\)\( \Rightarrow {\vec u_{BC}} = \left( {2\,;1\,;3} \right) \Rightarrow a = 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 5\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Tốt nghiệp THPT
Tốt nghiệp THPT
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
