Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Có \(OM//SC\) mà \(SC \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(OM//\left( {SCD} \right)\). Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\). Chọn B.

Có \({u_3} = {u_1}{q^2} = 2 \cdot {3^2} = 18\). Chọn A.

a) Đúng. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - x + 7}}{{x + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 7}}{{x + 1}} = + \infty \) nên \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.\(\)

b) Đúng. Ta có \(y = x - 2 + \frac{9}{{x + 1}}\), \(y' = 1 - \frac{9}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

c) Sai. Có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right.\). Bảng biến thiên của hàm số:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\).

d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) bằng \( - 9\).

a) Đúng. \[P\left( A \right) = 0,7\].

b) Sai. Ta có \(P\left( {B|A} \right) = 0,2\).

Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( A \right) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14\).

c) Đúng. Ta có \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,3\).

Do đó \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).

d) Sai. Xác suất để ngày chủ nhật trời nắng là \(P\left( {\overline B } \right)\).

Ta có: \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline A } \right) = 0,2 \cdot 0,7 + 0,3 \cdot 0,3 = 0,23\).

\( \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,23 = 0,77\).

b) Sai. Ta có: \[{S_A} = \int\limits_0^5 {{v_A}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^5 {\left( {{t^2} - t + 20} \right){\rm{d}}t} = \frac{{775}}{6} \approx 129,167\left( {\rm{m}} \right)\];

\[{S_B} = \int\limits_0^5 {{v_B}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^5 {\left( {{t^3} - 6{t^2} + 9t + 20} \right){\rm{d}}t} = \frac{{475}}{4} \approx 118,75\left( {\rm{m}} \right)\].

Vì \({S_A} > {S_B}\) nên xe \(A\) đi được quãng đường lớn hơn.

c) Sai. Có \({v_A}\left( t \right) = {v_B}\left( t \right) \Leftrightarrow {t^2} - t + 20 = {t^3} - 6{t^2} + 9t + 20\)\( \Leftrightarrow {t^3} - 7{t^2} + 10t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\\t = 5\end{array} \right.\).

Mà \(0 < t < 5\) nên \(t = 2\).

d) Đúng. Ta có: \({v_A}\left( t \right) < {v_B}\left( t \right) \Leftrightarrow {t^2} - t + 20 < {t^3} - 6{t^2} + 9t + 20\)

\( \Leftrightarrow {t^3} - 7{t^2} + 10t > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < t < 2\\t > 5\end{array} \right.\).

Do đó

Dẫn tới \[{S_C} = \int\limits_0^2 {\left( {{t^3} - 6{t^2} + 9t + 20} \right){\rm{d}}t} + \int\limits_2^5 {\left( {{t^2} - t + 20} \right){\rm{d}}t} = \frac{{269}}{2}\].

Suy ra \(\Delta S = {S_C} - {S_A} = \frac{{16}}{3} > 5,3\).

b) Đúng. Phương trình mặt cầu tâm \(O\) bán kính \[250\,{\rm{km}}\] là \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 62500\).

Kiểm tra được \(OA > 250\) nên điểm xuất phát nằm ngoài tầm phủ sóng của radar.

Giao điểm của đường thẳng \(AB\) với mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) là 2 điểm \(M\left( {232\,;\, - 90\,;\,24} \right)\) và \(N\left( { - 216\,;\,120\,;\,38} \right)\).

Vì \(AM < AN\) nên vị trí đầu tiên UAV bị phát hiện bởi radar là \(M\left( {232\,;\, - 90\,;\,24} \right)\).

c) Sai. Phương trình mặt cầu tâm \(O\) bán kính \[50\,{\rm{km}}\] là \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2500\).

Giao điểm của đường thẳng \(AB\) với mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) là 2 điểm \(P\left( {40\,;\,0\,;\,30} \right)\) và \(Q\left( { - 24\,;\,30\,;\,32} \right)\).

Vị trí đầu tiên UAV gây nhiễu được radar là \(P\left( {40\,;\,0\,;\,30} \right)\) và ta có \(AP \approx 1060,6\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

d) Sai. Thời gian radar theo dõi được UAV là

\(\frac{{MN - PQ}}{v} = \frac{{\sqrt {245000} - \sqrt {5000} }}{{800}} \approx 0,5303300859\) (giờ) \[ \approx 31,81980516\] (phút).

Đáp án: 2,1

Gọi \(x,y\) lần lượt là số chiếc bánh kem và chiếc bánh bông lan mà cửa hàng làm mỗi ngày, với \(x \ge 0,y \ge 0\).

Số túi bột cần dùng là \(x + y\) (túi).

Lượng đường cần dùng là \(30x + 10y\) (gam).

Lượng hương liệu cần dùng là \(x + 4y\) (gam).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array}} \right.} \right.\).                           (*)

Số tiền cửa hàng nhận được mỗi ngày là \(F\left( {x;y} \right) = 0,25x + 0,2y\) (triệu đồng)

Ta tìm giá trị lớn nhất của \(F\left( {x\,;\,y} \right)\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \((*)\).

Miền nghiệm của \((*)\) là miền ngũ giác \(OABCD\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {7;0} \right),\,B\left( {6;3} \right),\,C\left( {4;5} \right),\,D\left( {0;6} \right)\).

Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0\), \(F\left( {7;0} \right) = 1,75\), \(F\left( {6;3} \right) = 2,1\), \(F\left( {4;5} \right) = 2\), \(F\left( {0;6} \right) = 1,2\).

So sánh kết quả tìm được ta thấy doanh thu lớn nhất đạt được là 2,1 triệu đồng.

Chọn đơn vị độ dài là \({\rm{km}}\). Đổi \(400\,{\rm{m}} = 0,4\,{\rm{km}}\) và \(500\,{\rm{m}} = 0,5\,{\rm{km}}\).

Dựng hình chữ nhật \(DCBH\), khi đó \(DC = HB = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {1 - 0,4} \right)}^2}} = 0,8\).

Đặt \(DE = x\) và \(FC = y\). Khi đó \[x + y = DE + FC = DC - EF = 0,8 - 0,5 = 0,3\].

Ta có đoạn đường thầy Hùng sẽ đi là \(S = AE + EF + FB + BA = \sqrt {{x^2} + {1^2}} + \sqrt {{y^2} + {{0,4}^2}} + 1,5\).

Mà \(y = 0,3 - x\) nên \(S = \sqrt {{x^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( {0,3 - x} \right)}^2} + {{0,4}^2}} + 1,5\).

Từ đó khảo sát \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( {0,3 - x} \right)}^2} + {{0,4}^2}} + 1,5\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,0,3} \right]\) ta được \(\min S = \frac{{\sqrt {205} }}{{10}} + 1,5 \approx 2,932\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Vậy quãng đường ngắn nhất thầy Hùng đi trong buổi sáng là \(2932\,{\rm{m}}\).

Gọi \[H,\,M\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,CD\].

Tam giác \[SAB\] đều, suy ra \[SH \bot AB\], mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]\[ \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\].

Gọi \[E\] là hình chiếu của \[H\] trên \[SM\].

Suy ra: \[HE \bot SM\] và \[HE \bot CD\](do \[CD \bot \left( {SHM} \right)\] vì \[CD \bot SH,\,HM\]). Do đó: \[HE \bot \left( {SCD} \right)\].

Vậy \[d\left( {H,\,\left( {SCD} \right)} \right) = HE = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\].

Xét tam giác \[SHM\] vuông tại \[H\], có \[MH = AB,\,SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\].

Suy ra: \[\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}} = \frac{7}{{3A{B^2}}} = \frac{7}{9}\]\[ \Rightarrow AB = \sqrt 3 ,\,SH = \frac{3}{2}\].

Vậy \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1,5\].

Đáp án: 0,64

Có \(n\left( \Omega \right) = A_{10}^7\).

Gọi \(A\) là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(\overline A \) là biến cố “có ít nhất 2 bạn cùng lớp ngồi cạnh nhau”. Ta sẽ tính \(P\left( {\overline A } \right)\).

+) Đếm số cách xếp để 2 bạn lớp 12A ngồi cạnh nhau:

- Hai bạn lớp 12A ngồi cạnh nhau xem như một phần tử X, phần tử này có \(2!\) cách chọn.

- Xếp X với 5 bạn còn lại và 3 ghế trống: có \(C_9^3 \cdot 6!\) cách (chọn vị trí cho 3 ghế trống, xếp chỗ cho X và 5 bạn).

Do đó số cách xếp để 2 bạn lớp 12A ngồi cạnh nhau là \(2! \cdot C_9^3 \cdot 6!\).

+) Tương tự, số cách xếp 2 bạn lớp 12B ngồi cạnh nhau là \(2! \cdot C_9^3 \cdot 6!\).

+) Tuy nhiên trong các cách xếp ở trên, số cách xếp để 2 bạn 12A ngồi cạnh nhau và 2 bạn 12B ngồi cạnh nhau được tính 2 lần.

Số cách sắp xếp như trên là \(2! \cdot 2! \cdot C_8^3 \cdot 5!\).

Từ đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{2! \cdot C_9^3 \cdot 6! + 2! \cdot C_9^3 \cdot 6! - 2! \cdot 2! \cdot C_8^3 \cdot 5!}}{{A_{10}^7}} = \frac{{16}}{{45}}\). Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{29}}{{45}} \approx 0,64\).

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là \[1{\rm{ cm}}.\] Khi đó \(K\left( {3\,;\,0} \right),\,\,B\left( {5\,;\,0} \right).\)

Có \(OD = \frac{1}{2}AB = 5 \Rightarrow DK = \sqrt {O{D^2} - O{K^2}} = 4.\)

Dẫn tới \(BC = BD = \sqrt {B{K^2} + K{D^2}} = 2\sqrt 5 \) nên \(OC = 5 - 2\sqrt 5 \)\( \Rightarrow C\left( {5 - 2\sqrt 5 \,;\,0} \right).\)

Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là \({x^2} + {y^2} = 25.\)

Phương trình đường tròn tâm \(B\), bán kính \(BD\) là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = 20.\)

Gọi \[\left( {{C_1}} \right):y = \sqrt {25 - {x^2}} \] và \(\left( {{C_2}} \right):y = \sqrt {20 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} .\)

Gọi \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\left( {{C_1}} \right),\,\,Ox,\,\,Oy,\,\,x = 3.\) Thể tích khối tròn xoay sinh bởi \(\left( {{H_1}} \right)\) khi quay quanh trục \(Ox\) là: \[{V_1} = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} .\]

Gọi \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\left( {{C_2}} \right),\,\,Ox,\,\,x = 5 - 2\sqrt 5 ,\,\,x = 3.\) Thể tích khối tròn xoay sinh bởi \(\left( {{H_2}} \right)\) khi quay quanh trục \(Ox\) là: \[{V_2} = \pi \int\limits_{5 - 2\sqrt 5 }^3 {{{\left( {\sqrt {20 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} .\]

Thể tích cần tìm là \(V = 2\left( {{V_1} - {V_2}} \right) \approx 275\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}\)

Gọi số ở ô giữa là \(b\). Mỗi đường chéo là một cấp số nhân \(\left( {x\,;\,b\,;\,z} \right) \Rightarrow xz = {b^2}\).

+) Trong tập \(S\), xét các cặp có tích bằng \({b^2}\):

- Với \(b = 4\): Có các cặp \(\left( {1\,;\,16} \right),\,\,\left( {2\,;\,8} \right)\).

- Với \(b = 6\): Có các cặp \[\left( {2\,;\,18} \right),\,\,\left( {3\,;\,12} \right),\,\,\left( {4\,;\,9} \right)\] \( \Rightarrow \) có 3 cách chọn hai cặp rời nhau.

- Với \(b = 12\): Có các cặp \(\left( {8\,;\,18} \right),\left( {9\,;\,16} \right)\).

\( \Rightarrow \) Tổng số cách chọn hai cặp rời nhau cho hai đường chéo là: \(1 + 3 + 1 = 5\) cách.

+) Với mỗi lựa chọn:

- Gán hai cặp cho hai đường chéo và chọn thứ tự tăng/giảm: \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) cách.

- Điền 4 ô còn lại: chọn tùy ý 4 trong 10 số còn lại: \(A_{10}^4 = \frac{{10!}}{{6!}}\) cách.

Vậy số cách xếp là \(T = 5 \cdot 8 \cdot A_{10}^4\) nên \(\frac{T}{{80}} = 2520\).