Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 THCS Giảng Võ (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án
12 câu hỏi
I. TRẮC NGHIỆM
Khai triển \[{\left( {x - 3} \right)^3}\] ta được kết quả là:
\[{x^3} - 3{x^2} + 3x - 27\].
\[{x^3} - 3{x^2} + 27x - 27\].
\[{x^3} - 9{x^2} + 27x - 27\].
\[{x^3} - 6{x^2} + 9x + 27\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{\left( {x - 3} \right)^3} = {x^3} - 9{x^2} + 27x - 27.\]
Các giá trị của \[x\] thỏa mãn \[{x^3} - 81x = 0\] là
\(0\).
\(0;\,\,9\).
\(0;\,\, \pm 9\).
\( \pm 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{x^3} - 81x = 0\]
\[x\left( {{x^2} - 81} \right) = 0\]
Suy ra \[x = 0\] hoặc \[x = \pm 9\].
Đa thức \[P\] thỏa mãn \[P + \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {x^3}\] là
\(1\).
\( - 1\).
\(2{x^3} + 1\).
\(2{x^3} - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[P + \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {x^3}\]
Suy ra \[P + {x^3} - 1 = {x^3}\]
Do đó \(P = 1.\)
Phân tích đa thức \[{x^2} - 4{y^2}\] thành nhân tử được kết quả là
\[\left( {x - 4y} \right)\left( {x + 4y} \right)\].
\[\left( {x - 2y} \right)\left( {x + y} \right)\].
\[\left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right)\].
\[\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({x^2} - 4{y^2} = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right).\)
Cho tứ giác \[ABCD\] có \[M,N,P,Q\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,BC,CD,AD\]. Tứ giác \[MNPQ\] là hình gì?
Hình thang cân.
Hình bình hành.
Hình thoi.
Hình vuông.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nối \[BD.\]
Xét \(\Delta ABD\) có: \(M,Q\) là trung điểm của \(AB,\,\,AD\) (gt) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(MQ = \frac{{BD}}{2};MQ\,{\rm{//}}\,BD\) (định lí).
Xét \(\Delta CBD\) có: \(N,P\) là trung điểm của \(BC,\,\,CD\) (gt) nên \(NP\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(NP = \frac{{BD}}{2};NP\,{\rm{//}}\,BD\) (định lí).
Xét tứ giác \(MNPQ\) có: \[MQ = NP;MQ\,{\rm{//}}\,NP\] nên \(MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Cho \[\Delta ABC\] vuông tại đỉnh \[A\] và \[\widehat {B\,} = 58^\circ .\] Trên cạnh \[AB\] lấy điểm \[M\] sao cho \[AB = 3MB\]. Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[N\] sao cho \[AN = 2NC\]. Số đo \[\widehat {ANM}\] là
\(32^\circ \).
\(90^\circ \).
\(58^\circ \).
\(29^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có: \[AB = 3MB\] (giả thiết) nên \[\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{3}.\]
Lại có: \[AN = 2NC\] và \(N \in AC\) (giả thiết) nên \(\frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).
Do đó \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có:
⦁ \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\) (cmt) và \(N \in AC;\,\,M \in AB\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) (định lí Thalès đảo)
Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {NMA}\) (hai góc đồng vị)
⦁ \(\widehat {ANM} + \widehat {BMN} = 90^\circ \) (định lí)
Thay số: \(\widehat {ANM} + 58^\circ = 90^\circ ,\) suy ra \(\widehat {ANM} = 32^\circ .\)
Dữ liệu nào sau đây là số liệu liên tục?
Dữ liệu về số báo danh các bạn tham gia kỳ thi học sinh giỏi thành phố môn Toán.
Dữ liệu về chiều cao học sinh lớp 8A.
Dữ liệu về đánh giá chất lượng của một sản phẩm mới ra của một hãng công nghệ.
Dữ liệu về số học sinh đến trường bằng xe đạp của các lớp trong khối 8.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Trong các phương pháp thu thập dữ liệu sau, phương pháp nào là thu thập trực tiếp?
Linh vào website và ghi lại dân số các nước trong khối ASEAN năm 2022.
Dương vào thư viện nhà trường và ghi lại số lượng học sinh giỏi thành phố của trường trong 10 năm gần đây.
Hạnh vào mạng và ghi lại chỉ số chất lượng không khí của Hà Nội trong 30 ngày gần nhất.
Cô Mai ghi lại chiều cao của các cây giống sau 3 tháng trồng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
II. TỰ LUẬN
1) Rút gọn biểu thức \(A = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) + x\left( {1 - {x^2}} \right).\)
2) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(B = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8,\)với \(x = - 102.\)
b) \(C = 4{x^2} - 4xy + {y^2} + 12x - 6y + 9,\) với \(2x - y = 5.\)
Hướng dẫn giải
1) Ta có: \(A = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) + x\left( {1 - {x^2}} \right) = {x^3} + 1 + x - {x^3} = 1 + x\).
2)
a) Ta có\(B = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = {\left( {x + 2} \right)^3}\)
Thay \(x = - 102\) vào biểu thức \(B\) ta được: \(B = {\left( { - 102 + 2} \right)^2} = 10\,\,000\).
Vậy \(B = 10\,\,000\) khi \(x = - 102\).
b) Ta có \(C = 4{x^2} - 4xy + {y^2} + 12x - 6y + 9 = {\left( {2x - y} \right)^2} + 6\left( {2x - y} \right) + 9 = {\left( {2x - y + 3} \right)^2}.\)
Thay \(2x - y = 5\) vào biểu thức \(C\) ta được \(C = {\left( {5 + 3} \right)^2} = 64\).
Vậy \(C = 64\) khi \(2x - y = 5\).
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \({x^2} - {y^2} + 2x + 1\).
b) \({a^3} - 4{a^2} + 4a\).
2) Tìm các giá trị của \(x\), biết:
a) \(\left( {{x^2} - 3x} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\).
b) \({x^2} - 2x - 3 = 0\).
Hướng dẫn giải
1)
a) \({x^2} - {y^2} + 2x + 1\)\[ = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - {y^2}\]\[ = {\left( {x + 1} \right)^2} - {y^2}\]\[ = \left( {x + 1 + y} \right)\left( {x + 1 - y} \right).\]
b) \({a^3} - 4{a^2} + 4a\)\( = a\left( {{a^2} - 4a + 4} \right)\)\( = a{\left( {a - 2} \right)^2}.\)
2)
a) \(\left( {{x^2} - 3x} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) | b) \({x^2} - 2x - 3 = 0\) | |
Trường hợp 1: \({x^2} - 3x = 0\) \(x\left( {x - 3} \right) = 0\) Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\) Do đó \(x = 0\) hoặc \(x = 3.\) Vậy \(x \in \left\{ { - 1;0;3} \right\}.\) | Trường hợp 2: \(x + 1 = 0\) \(x = - 1.\) | \({x^2} + x - 3x - 3 = 0\) \(x\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x + 1} \right) = 0\) \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\) Suy ra \(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\) Do đó \(x = - 1\) hoặc \(x = 3.\) Vậy \(x \in \left\{ { - 1;3} \right\}\). |
1) Cho hình vẽ bên. Tính khoảng cách giữa hai điểm \[B\] và \[C\], biết \[DE = 21,3{\rm{\;m}}.\]
2) Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Trên đoạn thẳng \(AM\) lấy điểm \(G\) sao cho \(GA = 2GM.\) Kẻ đường thẳng \(d\) bất kì đi qua điểm \(G,\) cắt các đoạn thẳng \(AB,AC\) lần lượt tại các điểm \(E\) và \(F\left( {E \ne A,B} \right).\) Qua các điểm \[B,{\rm{ }}C\] vẽ các đường thẳng song song với đường thẳng \[EF\] cắt đường thẳng \(AM\) lần lượt tại các điểm \(H,K.\)
a) Chứng minh \(BH = CK.\)
b) Chứng minh \(GH + GK = 2GM\) và \[\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.\]
c) Nếu cho biết \[\frac{{BE}}{{AE}}.\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{4},\] chứng minh khi đó đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \[BC.\]
Hướng dẫn giải
1) Xét \(\Delta ABC\) có: \(D,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) (gt) nên \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC,\) do đó \(DE = \frac{{BC}}{2}\) (định lí).
Thay số: \(21,3 = \frac{{BC}}{2},\) suy ra \(BC = 21,3.2 = 42,6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \[B\] và \[C\] là \(42,6{\rm{\;cm}}.\)
2)
a) Ta có \(BH\,{\rm{//}}\,d,\,\,CK\,{\rm{//}}\,d\) nên \(BH\,{\rm{//}}\,CK,\) suy ra \(\widehat {HBM} = \widehat {KCM}\) (hai góc so le trong).
\(\Delta BHM\) và \(\Delta CKM\) có:
\(\widehat {HBM} = \widehat {KCM};\)
\(BM = CM;\)
\(\widehat {BMH} = \widehat {CMK}\)
Do đó \(\Delta BHM = \Delta CKM\) (g.c.g).
Suy ra \(BH = CK\) (hai cạnh tương ứng).
b) ⦁ Ta có \(GH + GK = GH + (GH + HK) = 2GH + HK\)
\( = 2GH + 2HM = 2\left( {GH + HM} \right) = 2GM\).
⦁ Vì \(\Delta BHM = \Delta CKM\) nên \(HM = KM\) (hai cạnh tương ứng) suy ra \(HK = 2HM.\)
\(\Delta ABH\)có \(EG\,{\rm{//}}\,BH\) nên \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{GH}}{{GA}}\) (định lí Thalès) ;
\(\Delta AKC\)có \[CK\,{\rm{//}}\,GF\] nên \[\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GK}}{{GA}}\] (định lí Thalès).
Do đó \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GH}}{{GA}} + \frac{{GK}}{{GA}} = \frac{{GH + GK}}{{GA}} = \frac{{2GM}}{{GA}} = \frac{{GA}}{{GA}} = 1.\)
c) Ta có \[\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1\] nên \[\frac{{BE}}{{AE}} = 1 - \frac{{CF}}{{AF}}\]
Mà \[\frac{{BE}}{{AE}} \cdot \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{4}\] nên \[\left( {1 - \frac{{CF}}{{AF}}} \right) \cdot \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{4}\] suy ra \[\frac{{CF}}{{AF}} - {\left( {\frac{{CF}}{{AF}}} \right)^2} = \frac{1}{4}\]
Khi đó \[{\left( {\frac{{CF}}{{AF}}} \right)^2} - \frac{{CF}}{{AF}} + \frac{1}{4} = 0\] hay \[{\left( {\frac{{CF}}{{AF}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\] do đó \[\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{2}\]
Suy ra \[\frac{{BE}}{{AE}} = 1 - \frac{{CF}}{{AF}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\]
Xét \(\Delta ABC\) có \[\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{2}\] nên \[EF\,{\rm{//}}\,BC\] hay \(d\,{\rm{//}}\,BC.\)
1) Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1.\) Tìm các số \(a,\,\,b,\,\,c\) sao cho \(P\left( {x + 1} \right) - P\left( x \right) = {x^2},\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
2) Áp dụng: tính tổng \(A = {1^2} + {2^2} + {3^2} + \ldots + {n^2}\), với \(n\) là số nguyên dương.
Hướng dẫn giải
1) Ta có:\(P\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\)
Suy ra \(P\left( {x + 1} \right) = a{\left( {x + 1} \right)^3} + b{\left( {x + 1} \right)^2} + c\left( {x + 1} \right) + 1\)
\(P\left( {x + 1} \right) - P\left( x \right) = a\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} - {x^3}} \right] + b\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} \right] + c\left[ {x + 1 - x} \right]\)
\( = a\left[ {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3}} \right] + b\left( {{x^2} + 2x + 1 - {x^2}} \right) + c\)
\( = a\left( {3{x^2} + 3x + 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right) + c\)
\( = 3a{x^2} + 3ax + a + 2bx + b + c\)
\( = 3a{x^2} + \left( {3a + 2b} \right)x + a + b + c\)
Đồng nhất hệ số: \(3a{x^2} + \left( {3a + 2b} \right)x + a + b + c = {x^2}\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}3a = 1\\3a + 2b = 0\\a + b + c = 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{{ - 1}}{2}\\c = \frac{1}{6}\end{array} \right..\)
Vậy \(P\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{6}x + 1.\)
2) Ta có:
\(A = {1^2} + {2^2} + {3^2} + \ldots + {n^2}\)\( = P\left( 2 \right) - P\left( 1 \right) + P\left( 3 \right) - P\left( 2 \right) + ..... + P\left( {n + 1} \right) - P\left( n \right)\)
\( = P\left( {n + 1} \right) - P\left( 1 \right) = \frac{1}{3}{n^3} + \frac{1}{2}{n^2} + \frac{1}{6}n\)
\( = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}\)\( = \frac{{n\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{6}.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
