Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 9)
22 câu hỏi
3.
2.
1.
0.
Xét \(f'\left( x \right) = 3\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 1}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Ta có trục xét dấu \(f'\left( x \right)\) như sau:
Từ trục xét dấu ta thấy hàm số có 1 điểm cực đại. Chọn C.
\(\tan x + C.\)
\( - \cot x + C.\)
\(\cot x + C.\)
\( - \tan x + C.\)
Ta có \(\int {\left( { - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\,} {\rm{d}}x = \cot x + C.\) Chọn C.
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( {0\,;3} \right)\).
\(\left[ {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
Điều kiện xác định: \(3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3.\) Chọn D.
167,8.
167,1.
170,0.
168,2.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(\bar x = \frac{{5 \cdot 162 + 6 \cdot 166 + 8 \cdot 170 + 2 \cdot 174 + 1 \cdot 178}}{{5 + 6 + 8 + 2 + 1}} = \frac{{1846}}{{11}} \approx 167,8\). Chọn A.
3.
\(\frac{3}{2}.\)
\( - \frac{3}{2}.\)
\(\frac{9}{2}.\)
Ta có \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \int\limits_0^a {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x + \int\limits_a^4 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = - {S_1} + {S_2} = - \frac{3}{2}\). Chọn C.
\(SC\).
\(SB\).
\(BC\).
\(CD\).
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD.\)
Lại có \(CD \bot AD\). Mà \(SA,AD \subset \left( {SAD} \right)\).
\( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\). Chọn D.
\(\overrightarrow {BO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BF} .\)
\(\overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BF} .\)
\(\overrightarrow {BO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BF} .\)
\(\overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BF} .\)
Ta có
\[\overrightarrow {BO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BH} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BF} } \right)\]
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BF} \). Chọn A.
\(\left( P \right):x + y - z = 0\).
\(\left( \beta \right):x + z = 0\).
\[\left( Q \right):x + y + 2z = 0\].
\(\left( \alpha \right):x - y + 1 = 0\).
Ta có \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}} \Leftrightarrow \Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\).
\( \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left( {1\,;1\,; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Xét lần lượt các mặt phẳng với đường thẳng \(\Delta \) ta được:
+ \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;1\,; - 1} \right) = {\vec u_\Delta } \Rightarrow \Delta \bot \left( P \right)\).
+ \({\vec n_{\left( \beta \right)}} = \left( {1\,;0\,;1} \right) \Rightarrow {\vec n_{\left( \beta \right)}} \cdot {\vec u_\Delta } = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) = 0\).
Mặt khác \(M\left( {t\,;1 + t\,; - t} \right) \in \Delta \) ta thay điểm \(M\left( {t\,;1 + t\,; - t} \right)\) vào mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) ta có:
\( \Rightarrow t + - t = 0 \Rightarrow M\left( {t\,;1 + t\,; - t} \right) \in \left( \beta \right)\). Suy ra \(\Delta \subset \left( \beta \right)\).
+ \({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;1\,;2} \right) \Rightarrow {\vec n_{\left( Q \right)}} \cdot {\vec u_\Delta } = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 0\).
Mà \(M\left( {t\,;1 + t\,; - t} \right) \notin \left( Q \right)\). Suy ra \(\Delta \,{\rm{//}}\,\left( Q \right)\).
+ \({\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left( {1\,; - 1\,;0} \right) \Rightarrow {\vec n_{\left( \alpha \right)}} \cdot {\vec u_\Delta } = 1 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 0 \cdot \left( { - 1} \right) = 0\).
Mặt khác \(M\left( {t\,;1 + t\,; - t} \right) \in \Delta \) ta thay điểm \(M\left( {t\,;1 + t\,; - t} \right)\) vào mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta có:
\[t - \left( {1 + t} \right) + 1 = 0 \Rightarrow M\left( {t\,;1 + t\,; - t} \right) \in \left( \alpha \right)\]. Suy ra \[\Delta \subset \left( \alpha \right)\]. Chọn C.
\(3\sqrt 3 .\)
3.
\(\sqrt 3 .\)
9.
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\) có tâm \(I\left( {1\,; - 2\,; - 1} \right)\) và bán kính
\(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 3} \right)} = 3\). Chọn B.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
6.
3.
−3.
−6.
Theo bài cho ta có bốn số \( - 2\,;x\,;4\,;y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có hệ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = - 2 + 4}\\{x + y = 2 \cdot 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{1 + y = 2 \cdot 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 7}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)\( \Rightarrow x - y = 1 - 7 = - 6\). Chọn D.
4.
2.
6.
8.
Ta có \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} + 4x}} > \frac{1}{{32}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} + 4x}} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} \Leftrightarrow {x^2} + 4x < 5\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 1\).
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - 5\,;1} \right)\).
Khi đó \(b = 1,a = - 5\)\( \Rightarrow b - a = 1 + 5 = 6\). Chọn C.
\( - \frac{1}{{\ln 3}}.\)
\(\frac{1}{{\ln 3}}.\)
−1.
1.
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}} \,{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{3^x}} \;{\rm{d}}x = \left. {\frac{1}{2} \cdot \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^1\)\( = \frac{3}{{2\ln 3}} - \frac{1}{{2\ln 3}} = \frac{1}{{\ln 3}}.\) Chọn B.
Xác suất để linh kiện điện tử đó do nhà máy II sản xuất là \(\frac{1}{4}.\)
Xác suất có điều kiện \(P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,2\).
Xác suất để linh kiện ấy hỏng là 0,175%.
a) Sai. Ta có \(P\left( A \right) = \frac{1}{4};\,\,P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{3}{4}\).
Xác suất để linh kiện điện tử đó do nhà máy II sản xuất là \(P\left( {\bar A} \right) = \frac{3}{4}\).
b) Sai. Từ dữ kiện đề bài, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( {B|A} \right) = 0,001}\\{P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,002.}\end{array}} \right.\)
c) Đúng. Xác suất linh kiện bán ra là một linh kiện bị hỏng là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right)\)\( = \frac{1}{4} \cdot 0,001 + \frac{3}{4} \cdot 0,002 = 0,00175 = 0,175\% \).
d) Sai. Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{4} \cdot 0,001}}{{0,00175}} = \frac{1}{7}\);
\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{3}{4} \cdot 0,002}}{{0,00175}} = \frac{6}{7}\).
Do đó khi mua linh kiện và thấy linh kiện bị hỏng thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\left( {2\,;1\,; - 3} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2\,;1\,; - 3} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng \(ax + by + cz + 9 = 0\). Khi đó \(a + b + c = - 10.\)
Khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng \(\frac{{15\sqrt {38} }}{{38}}.\)
a) Đúng. Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 3z + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {2\,;1\,; - 3} \right)\).
b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1\,; - 1\,;1} \right),\,\,{\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2\,;1\,; - 3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(A,B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right] = \left( {2\,;5\,;3} \right)\).
c) Đúng. Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1\,;2\,; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến
\({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {2\,;5\,;3} \right){\rm{ l\`a : }}2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 1} \right) = 0\) hay \( - 2x - 5y - 3z + 9 = 0.\)
Vậy \(a = - 2,b = - 5,c = - 3 \Rightarrow a + b + c = - 10.\)
d) Sai. Khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( Q \right)\) bằng: \(d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 9} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{9\sqrt {38} }}{{38}}\).
Hai nhà máy được đặt tại các vị trí \(A\) và \(B\) cách nhau 8 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí \(C\) trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng là 3 km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy \(A\), \(B\) đến nhà máy xử lí nước thải \(C\) gồm các đoạn thẳng \(AI\), \(BI\) và \(IC\), với \(I\) là vị trí nằm giữa \(M\) và \(C\). Đặt \(IM = x\;{\rm{(km)}}\,\,\left( {0 < x < 3} \right)\).
\(IA = IB = \sqrt {{x^2} + 9} \,\,{\rm{(km)}}\).
Tổng độ dài đường ống được biểu diễn qua hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {{x^2} + 9} + 3 - x\,\,{\rm{(km)}}\).
Tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng \(9,9\,\,{\rm{(km)}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Khi tổng độ dài đường ống nhỏ nhất thì góc \(\widehat {AIB} = 120^\circ .\)
a) Sai. Ta có \(AM = MB = \frac{{AB}}{2} = 4\).
\( \Rightarrow IA = IB = \sqrt {A{M^2} + I{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 16} \).
b) Sai. Tổng độ dài đường ống được biểu diễn qua hàm số \(f\left( x \right)\) là:
\(f\left( x \right) = AI + BI + CI = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} + 16} + 3 - x\)\( = 2\sqrt {{x^2} + 16} + 3 - x\,\,{\rm{(km)}}\).
c) Đúng. Ta có \(f\left( x \right) = 2\sqrt {{x^2} + 16} + 3 - x \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} - 1\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = 2x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 16 = 4{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Bảng biến thiên hàm số \(y = f\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {0\,;3} \right]\):
Dựa vào bảng biến thiên ta có: \({y_{\min }} = 3 + 4\sqrt 3 \approx 9,9.\)
Vậy tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng \(9,9\,\,{\rm{(km)}}\).
d) Đúng. Khi tổng độ dài đường ống nhỏ nhất thì \(IM = x = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow \tan \widehat {AIM} = \frac{{AM}}{{IM}} = \frac{4}{{\frac{{4\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {AIM} = 60^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {AIB} = 120^\circ .\)
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), giả sử một chiếc thuyền vào sông tại điểm \(\left( {1;0} \right)\) và giữ hướng về phía gốc tọa độ \(O\). Do dòng chảy mạnh, thuyền đi theo đường cong có phương trình \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}\), trong đó \(x\) và \(y\) tính bằng kilômét \(({\rm{km}})\) (như hình vẽ bên dưới).
Nếu duy trì hướng đi, thuyền sẽ đến được gốc toạ độ \(O\).
Trên hướng chuyển động, con tàu đi qua điểm \(N\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right).\)
Trên hướng chuyển động, tại một vị trí \(M\left( {a;\frac{{{a^2} - 1}}{{2a}}} \right)\) bất kì, khoảng cách giữa thuyền đến gốc tọa độ bằng \(OM = {a^2} + {\left( {\frac{{{a^2} - 1}}{{2a}}} \right)^2}(\;{\rm{km}}).\)
Chiếc thuyền gần gốc tọa độ nhất một khoảng bằng \(\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}(\;{\rm{km}}).\)
a) Sai. Nếu duy trì hướng đi, thuyền sẽ đến được gốc tọa độ tức điểm \(O\left( {0\,;0} \right)\) phải nằm trên phương trình đường đi của con thuyền.
Vì hàm số không xác định tại điểm có toạ độ \(x = 0\) do đó hàm số sẽ không đi qua gốc toạ độ.
b) Sai. Thay toạ độ của điểm \(N\) vào phương trình \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}\), ta thấy không thoả mãn.
Do đó con tàu không đi qua điểm \(N\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right).\)
c) Sai. Khoảng cách giữa con thuyền tại vị trí \(M\) bất kì so với gốc toạ độ là
\(OM = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{{a^2} - 1}}{{2a}}} \right)}^2}} .\)
d) Sai. Khoảng cách gần nhất giữa chiếc thuyền và gốc toạ độ bằng minOM.
\(OM = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{{a^2} - 1}}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{4{a^2}}}} \)\( = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^4} - 2{a^2} + 1}}{{4{a^2}}}} = \sqrt {{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{{4{a^2}}}} \)
\( = \sqrt {\frac{5}{4}{a^2} + \frac{1}{{4{a^2}}} - \frac{1}{2}} \ge \sqrt {2\sqrt {\frac{5}{4}{a^2} \cdot \frac{1}{{4{a^2}}}} - \frac{1}{2}} = \sqrt {2\sqrt {\frac{5}{{16}}} - \frac{1}{2}} \)\( = \sqrt {\frac{{\sqrt 5 }}{2} - \frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} .\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{5}{4}{a^2} = \frac{1}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow 5{a^4} = 1 \Leftrightarrow {a^4} = \frac{1}{5}\)\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{{\sqrt[4]{5}}}\).
Vậy chiếc thuyền gần gốc toạ độ nhất một khoảng \(\sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} .\)
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Giá đỡ ba chân ở hình vẽ đang được mở sao cho ba góc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 112.
Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(D\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(E = AH \cap BC\).
Vì \(\Delta ABC\) đều các cạnh bên của tứ diện đều bằng nhau nên \(H\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC.\)
Xét \(\Delta ABC\) đều có: \(AE = AB \cdot \sin 60^\circ = 110 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 55\sqrt 3 .\)
Do \(H\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC \Rightarrow AH = \frac{2}{3}AE = \frac{{110\sqrt 3 }}{3}.\)
Chiều cao của giá đỡ là \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{129}^2} - {{\left( {\frac{{110\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} \approx 112\).
Đáp án: 53.
Gọi \(x\,\,\left( {x > 3,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) là số lon nước Hoà mua được.
Khi đó, ta có: \(9\,000 + 8\,500 + 0,9 \cdot 9\,000 + 98\% \left( {0,9 \cdot 9\,000} \right)\left( {x - 3} \right) = 422\,500\)
\( \Leftrightarrow 25\,600 + 7\,938\left( {x - 3} \right) = 422\,500 \Leftrightarrow 7\,938x = 420\,714\)\( \Leftrightarrow x = 53\).
Vậy Hoà mua được 53 lon nước.
Đáp án: 16.
Gọi \(A\) là biến cố: “Người đó bị mắc bệnh sốt rét”; \(B\) là biến cố: “Người đó lách to”.
Từ giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = 0,2;\,\,P\left( B \right) = 0,3\).
Trong số người bị sốt rét thì tỷ lệ lách to chiếm 80 % nên \(P\left( {B\mid A} \right) = 0,8\).
Khi đó, \(P\left( {AB} \right) = P\left( {B\mid A} \right) \cdot P\left( A \right) = 0,8 \cdot 0,2 = 0,16\).
Suy ra \(P\left( {\bar AB} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,14\).
Gọi \(X\) là biến cố: “Khám \(n\) người có ít nhất 1 người có lách to và không sốt rét”.
Khi đó \(\bar X\) là biến cố: “Khám \(n\) người không có ai có lách to và không sốt rét”.
\( \Rightarrow P\left( {\bar X} \right) = {\left( {1 - 0,14} \right)^n} = {0,86^n}\).
Suy ra \(P\left( X \right) = 1 - {0,86^n} \ge 0,9\)\( \Leftrightarrow {0,86^n} \le 0,1 \Leftrightarrow n \ge {\log _{0,86}}0,1 \approx 15,27\).
Vậy cần khám ít nhất 16 người.
Đáp án: 422.
Lợi nhuận của một khoản đầu tư chính là sự chênh lệch giữa thu nhập và chi phí.
Xét lợi nhuận của khoản đầu tư thứ nhất:
\({L_1} = \int\limits_0^5 {\left( {3000 \cdot {e^{0,03t}} \cdot {e^{ - 0,05t}}} \right)\,} {\rm{d}}t - 1000 = \int\limits_0^5 {3000\,} {e^{ - 0,02t}}{\rm{d}}t - 1000\)\( \approx 13274,387\).
Xét lợi nhuận của khoản đầu tư thứ hai: \({L_2} = \int\limits_0^5 {4000{e^{ - 0,05t}}{\rm{d}}t} - 4\,000 \approx 13\,695,937\).
Sự chênh lệch lợi nhuận giữa hai khoản đầu tư là: \(\left| {{L_1} - {L_2}} \right| = 421,55 \approx 422\).
Đáp án: 2.
Ta có \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{2}\) đi qua \(M\left( {1\,; - 2\,;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2\,;1\,;2} \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\) có tâm \(I\left( {3\,;2\,; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).
Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le d\left( {A\,,d} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d\).
Suy ra \(AH \le AK\). Dấu “=” xảy ra khi \(H\) trùng với \(K\).
Khi đó \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(K\) và vuông góc với \(AK\).
Vì \(K \in d\) nên \(K\left( {1 + 2t; - 2 + t;2t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {2t - 1;t + 1;2t - 4} \right)\).
Vì \(AK \bot d\) nên \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot \left( {2t - 1} \right) + \left( {t + 1} \right) + 2 \cdot \left( {2t - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\).
Suy ra \(K\left( {3\,; - 1\,;2} \right),\,\,\overrightarrow {AK} = \left( {1\,;2\,; - 2} \right)\).
Khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(K\left( {3\,; - 1\,;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AK} = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Ta có \(d = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 4\).
Vậy bán kính đường tròn cần tìm là: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {20 - {4^2}} = 2\).
Đáp án: 20.
Ta có \(c\left( t \right) = {\left( {\frac{{40 + 3t + {t^2}}}{{5000}} - 0,1} \right)^2} + 0,15 = \frac{{{{\left( {{t^2} + 3t - 460} \right)}^2}}}{{{{5000}^2}}} + 0,15\).
Để tìm thời điểm mà xe chạy tiết kiệm nhiên liệu nhất, ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(c\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;24} \right].\)
Ta có \(c'\left( t \right) = \frac{{2\left( {{t^2} + 3t - 460} \right)\left( {2t + 3} \right)}}{{{{5000}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {{t^2} + 3t - 460} \right)\left( {2t + 3} \right)}}{{12\,500\,000}}\).
\(c'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {{t^2} + 3t - 460} \right)\left( {2t + 3} \right)}}{{12\,500\,000}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 20}\\{t = - \frac{3}{2} \notin [0;24]}\\{t = - 23 \notin [0;24]}\end{array}} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy xe chạy tiết kiệm nhiên liệu nhất là thời điểm \(t = 20\) giờ.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Tốt nghiệp THPT
Tốt nghiệp THPT
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
