Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 44)

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 6\\{u_3} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u_1}{q^2} = 12\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Lấy \(\left( 2 \right)\) chia \(\left( 1 \right)\)vế theo vế ta được \(q = 2\). Chọn C.

Ta có \(y = {x^3} + 3x\) suy ra \(y' = 3{x^2} + 3\). Do đó Hệ số góc của \(\Delta \) là \(y'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} + 3 = 6\). Chọn B.

\[\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 + f\left( x \right)} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {1dx} + \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = \left. x \right|_{ - 2}^1 + 2 = 1 - \left( { - 2} \right) + 2 = 5\]. Chọn D.

a) Đúng. Khoảng cách từ vị trí ban đầu đến điểm nhập làn là 210 m.

Tốc độ tại thời điểm cách điểm nhập làn 210 m là \[{v_0} = 36{\rm{ km/h}}\] hay \[{v_0} = 10{\rm{ m/s}}\].

Thay vào công thức \[v\left( 0 \right) = a \cdot 0 + b = 10 \Rightarrow b = 10\].

b) Sai. \[S\left( t \right) = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} \].

c) Đúng. Sau 3 giây duy trì tốc độ này, ô tô mới bắt đầu tăng tốc.

Quãng đường đi được trong 3 giây đầu: \[{S_1} = 10 \cdot 3 = 30{\rm{ m}}\].

Quãng đường còn lại từ khi bắt đầu tăng tốc đến điểm nhập làn \[{S_{tt}} = 210 - 30 = 180{\rm{ m}}\].

d) Sai. Thời gian từ lúc tăng tốc đến khi nhập làn là 12 giây.

Quãng đường đi được trong 12 giây này là 180 m: \(\int\limits_0^{12} {\left( {at + 10} \right)dt} = 180\)\[ \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{1}{2}a{t^2} + 10t} \right)} \right|_0^{12} = 180\]

\[ \Leftrightarrow 72a + 120 = 180 \Leftrightarrow 72a = 60 \Leftrightarrow a = \frac{5}{6}{\rm{ m/}}{{\rm{s}}^2}\].

Tốc độ tại thời điểm \(t = 24\) giây là \[v\left( {24} \right) = \frac{5}{6} \cdot 24 + 10 = 20 + 10 = 30{\rm{ m/s}}\] \( = 108\;{\rm{km/h}}\).

Gọi biến cố \(A:\) “Bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(A\)”;

      biến cố \(B:\) “Bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ \(B\)”;

       biến cố \(K:\) “Bệnh nhân được chữa khỏi bệnh”;

       biến cố \(T:\) “Bệnh nhân gặp tác dụng phụ nghiêm trọng”.

Vì phác đồ \(A\) có xác suất chữa khỏi bệnh là \(55\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(8\% \) nên \(P\left( {K\left| A \right.} \right) = 55\% = 0,55\) và \(P\left( {T\left| A \right.} \right) = 8\% = 0,08.\)

Vì phác đồ \(B\) có xác suất chữa khỏi bệnh là \(75\% \) và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là \(12\% \) nên \(P\left( {K\left| B \right.} \right) = 75\% = 0,75\) và \(P\left( {T\left| B \right.} \right) = 12\% = 0,12.\)

Vì xác suất chọn mỗi phác đồ là \(50\% \) nên \(P\left( A \right) = P\left( B \right) = 50\% = 0,5.\)

a) Sai. Xác suất bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\(P\left( T \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {T\left| A \right.} \right) + P\left( B \right) \cdot \,P\left( {T\left| B \right.} \right) = 0,5 \cdot 0,08 + 0,5 \cdot 0,12 = 0,1.\)

Áp dụng công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B\left| T \right.} \right) = \frac{{P\left( B \right) \cdot \,P\left( {T\left| B \right.} \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,5 \cdot 0,12}}{{0,1}} = 0,6.\)

b) Đúng. Xác suất bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:

\(P\left( T \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {T\left| A \right.} \right) + P\left( B \right) \cdot \,P\left( {T\left| B \right.} \right) = 0,5 \cdot 0,08 + 0,5 \cdot 0,12 = 0,1.\)

c) Sai. Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ \(A\) và được chữa khỏi bệnh là

\(P\left( {A \cap K} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {K\left| A \right.} \right) = 0,5 \cdot 0,55 = 0,275.\)

d) Sai. Trong phác đồ \(A:\) \(P\left( {K \cap \overline {T\,} \left| A \right.} \right) = P\left( {K\left| A \right.} \right) \cdot \left[ {1 - P\left( {T\left| A \right.} \right)} \right] = 0,55 \cdot \left( {1 - 0,08} \right) = 0,506.\)

Trong phác đồ \(B:\) \(P\left( {K \cap \overline {T\,} \left| B \right.} \right) = P\left( {K\left| B \right.} \right) \cdot \,\left[ {1 - P\left( {T\left| B \right.} \right)} \right] = 0,75 \cdot \left( {1 - 0,12} \right) = 0,66.\)

Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là

\(P\left( {K \cap \overline {T\,} } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {K \cap \overline {T\,} \left| A \right.} \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {K \cap \left. {\overline {T\,} } \right|B} \right) = 0,5 \cdot 0,506 + 0,5 \cdot 0,66 = 0,583.\)

a) Đúng. Điều kiện: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\). Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Đúng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\), nên đường thẳng \(y = x - 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\).

c) Đúng. Tiệm cận đứng là \(x = 1\), tiệm cận xiên là \(y = x - 3\).

Thay \(x = 1\) vào phương trình tiệm cận xiên ta được \(y = 1 - 3 = - 2\).

Vậy tâm đối xứng là \(I\left( {1; - 2} \right)\).

d) Sai. Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow A\left( {0; - 4} \right)}\\{x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B\left( {2;0} \right).}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị\(A,B\) có phương trình là \(y = 2x - 4\).

Thay tọa độ điểm \(M\left( {3; - 2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(AB\): \( - 2 = 2 \cdot 3 - 4 \Leftrightarrow - 2 = 2\) (vô lý).

Vậy ba điểm \(A,B,M\) không thẳng hàng.

a) Đúng. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 10\sqrt 3 ;0;30} \right)\) và bán kính \(R = 10\) (m).

b) Đúng. Đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu \(I\left( { - 10\sqrt 3 ;0;30} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - \sqrt 3 } \right)\) có phương trình là :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 10\sqrt 3 + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

c) Sai.\(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân.

Mặt sân trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có phương trình \(z = 0\).

Thay\(z = 0\) vào phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua \(I\): \(30 - \sqrt 3 t = 0 \Rightarrow t = 10\sqrt 3 \).

Khi đó:\(K\left( {0;0;0} \right)\).

d) Đúng. Hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân (mặt phẳng \(Oxy\)) theo phương tia nắng \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - \sqrt 3 } \right)\) là một elip.

Gọi \(\phi \) là góc giữa \(\overrightarrow u \) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).

Góc \(\theta \) giữa \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow n \) được tính bởi \(\cos \theta = \frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \theta = 30^\circ \).

Góc \(\phi \) giữa \(\overrightarrow u \) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\phi = 90^\circ - \theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Hình chiếu của mặt cầu là một elip có bán trục nhỏ \(b = R = 10\).

Bán trục lớn \(a = \frac{R}{{\sin \phi }} = \frac{{10}}{{\sin 60^\circ }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Tiêu cự của elip là \(2c\), với \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)\( = {\left( {\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {10^2} = \frac{{100}}{3}\)\( \Rightarrow c = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\).

Tiêu cự \(2c = 2 \cdot \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án: 111

Do \[\Delta \,{\rm{//}}\,Oz\] nên phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(P = \Delta \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right)\).

Ta có: \(A,\,B \in Ox \Rightarrow AP \bot \Delta ,\,BP \bot \Delta \);

\(d\left( {A,\Delta } \right) = AP = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {b^2}} \); \(d\left( {B,\Delta } \right) = BP = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {b^2}} \)

Theo đề bài: \(\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {b^2}} = 2\sqrt {34} {\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có \(P\left( {a;b} \right)\). Khi đó: \(PA + PB = 2\sqrt {34} \) với \(A\left( {3;0} \right),B\left( { - 3;0} \right)\).

Suy ra \(P\)nằm trên đường elip có hai tiêu điểm \(A,B\)với \(2{a_{{\rm{elip}}}} = 2\sqrt {34} \Rightarrow {a_{{\rm{elip}}}} = \sqrt {34} \).

Khoảng cách hai tiêu điểm: \(2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3\).

Suy ra: \[b_{{\rm{elip}}}^2 = {a_{elip}}^2 - {c^2} = 34 - 9 = 25\] nên \({b_{{\rm{elip}}}} = 5\).

Ta có phương trình elip: $\left(E\right):\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ dạng: \(M\left( {a;b;{z_M}} \right)\).

Để \(MC\) nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\Delta \), suy ra \({z_M} = 1\)(vì \(0 \le 1 \le 10\), thỏa điều kiện).

Khi đó \(M{C^2} = {a^2} + {\left( {b - 6} \right)^2}\) nhỏ nhất với điều kiện: \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\).

Ta có \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\)\( \Rightarrow {a^2} = 34\left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{25}}} \right) = 34 - \frac{{34{b^2}}}{{25}},b \in \left[ { - 5;5} \right]\).

Khi đó \(M{C^2} = 34 - \frac{{34{b^2}}}{{25}} + {\left( {b - 6} \right)^2} = - \frac{9}{{25}}{b^2} - 12b + 70 = f\left( b \right)\).

Có \(f'\left( b \right) = - \frac{{18}}{{25}}b - 12 < 0,\forall b \in \left[ { - 5;5} \right]\). Do đó \(f\left( b \right)\) luôn nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\).

Do đó \(f\left( b \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(b = 5\). Suy ra: \(a = 0,\,b = 5\).

Vậy trong hệ toạ độ không gian, ta có  $M_0=\left(0;5;1\right)$

\(S = {x_0} + 20{y_0} + 11{z_0}\)\( = 0 + 20 \cdot 5 + 11 \cdot 1\)\( = 100 + 11 = 111\).

Đáp án: 196

Ta có lợi nhuận của xưởng một tháng là \(L\left( x \right) = 12x - 150{e^{0,005x}} - 450\)

Để xưởng đạt lợi nhuận tối thiểu \(1,5\) tỷ đồng mỗi tháng thì ta cần có

\(L\left( x \right) \ge 1500\)\( \Leftrightarrow 12x - 150{e^{0,005x}} - 450 \ge 1500\)\( \Leftrightarrow 12x - 150{e^{0,005x}} - 1950 \ge 0\).

Đặt \(f\left( x \right) = 12x - 150{e^{0,005x}} - 1950\). Ta có \(f'\left( x \right) = 12 - 0,75{e^{0,005x}}\).

Với \(10 \le x \le 500\) ta có \(0,005x \le 2,5\)\( \Rightarrow {e^{0,005x}} \le {e^{2,5}} \approx 12,182\)

Suy ra \(f'\left( x \right) \ge 12 - 0,75 \cdot 12,182 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {10;500} \right]\)

Ta có đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại điểm duy nhất có hoành độ \(x \approx 195,7669\)

Tính \(f\left( {196} \right) \approx 2,332 > 0\) , vì hàm số đồng biến nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là \(x = 196\).

Vậy xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất \(196\) robot mỗi tháng.

Đáp án: 305

Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).

Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Vì \(A\) là trung điểm của đoạn OB, suy ra\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} = 2{x_1}}\\{{y_2} = 2{y_1}}\end{array}} \right.\).

Do \(A\) và \(B\) cùng nằm trên đồ thị hàm số \(y = {\log _3}(5x - 3)\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = {{\log }_3}\left( {5{x_1} - 3} \right)}\\{{y_2} = {{\log }_3}\left( {5{x_2} - 3} \right)}\end{array}} \right.\).

Thay \({x_2} = 2{x_1}\) và \({y_2} = 2{y_1}\) vào phương trình thứ hai, ta được:

\(2{\log _3}\left( {5{x_1} - 3} \right) = {\log _3}\left( {10{x_1} - 3} \right) \Leftrightarrow 25x_1^2 - 40{x_1} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{2}{5}\\{x_1} = \frac{6}{5}\end{array} \right.\).

Vì \(x > \frac{3}{5}\) nên \({x_1} = \frac{6}{5}\).

Với \({x_1} = \frac{6}{5} \Rightarrow {y_1} = {\log _3}\left( {5 \cdot \frac{6}{5} - 3} \right) = {\log _3}3 = 1\). Vậy tọa độ điểm \(A\) là \(A\left( {\frac{6}{5};1} \right)\).

Vì \(A\) là trung điểm của OB nên độ dài đoạn AB bằng độ dài đoạn OA:

\(AB = OA = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} = \sqrt {{{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {\frac{{36}}{{25}} + 1} = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\).

Đối chiếu với dạng bài cho \(AB = \frac{{\sqrt a }}{b}\), ta xác định được: \(a = 61\) và \(b = 5\). Suy ra \[ab = 305\].

Đáp án: 6000

Gọi parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\) đi qua điểm \(\left( {30;20} \right)\). Khi đó \(60p = 400 \Leftrightarrow p = \frac{{20}}{3}\)\( \Rightarrow {y^2} = \frac{{40}}{3}x\).

Thể tích cối là: \(V = \pi \int\limits_0^{30} {\left( {\frac{{40}}{3}x} \right)} dx = 6000\pi \Rightarrow a = 6000\).

Công thức tính nhanh: \(V = \frac{1}{2}\pi {R^2}h = \frac{1}{2} \cdot {20^2} \cdot 30 = 6000\pi \;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \Rightarrow a = 6000\).

Đáp án: −4

Hàm số xác định trên \[\left[ {0;9} \right]\].

Ta có \(y' = 1 - \frac{2}{{\sqrt x }}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 4\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0\); \(f\left( 9 \right) = - 3\); \(f\left( 4 \right) = - 4\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x - 4\sqrt x \) trên đoạn \[\left[ {0;9} \right]\] bằng \( - 4\) khi \(x = 4\).

Đáp án: 20

Gắn hệ trục \(O\,xyz\) như hình vẽ, ta có toạ độ các điểm là:

\(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {9;0;0} \right),D\left( {0;12;0} \right),C\left( {9;12;0} \right),A'\left( {0;0;11} \right),C'\left( {9;12;11} \right).\)

Gọi \(E\) là điểm sao cho \(AMNE\) là hình bình hành. Khi đó \(AE = MN = 9 - 6 = 3 \Rightarrow E\left( {0;0;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {EC'} = \left( {9;12;8} \right) \Rightarrow EC' = 17\).

Độ dài ống giải nhiệt là: \(l = AM + MN + NC' = AM + 3 + NC' = EN + NC' + 3 \ge EC' + 3 = 20\).

Vậy \({l_{\min }} = 20\).