Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 38)
22 câu hỏi
\(\frac{{13}}{{15}}\).
\(\frac{2}{{15}}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{{11}}{{15}}\).
Do \(A,B\) độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{{15}}\). Chọn B.
\(y = 2\).
\(x = 1\).
\(y = 4\).
\(x = 4\).
Điều kiện xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = 4,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = 4\).
Vậy đường thẳng \(y = 4\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn C.
\(I\left( {2;3;0} \right)\).
\(I\left( {10; - 5; - 16} \right)\).
\(I\left( { - 7;5;2} \right)\).
\(I\left( {1; - 2;1} \right)\).
Thay \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 + t\\z = 2t\end{array} \right.\) vào \(\left( \alpha \right):x - 2y + z - 4 = 0\), ta được:
\(2 - t - 2\left( {3 + t} \right) + 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - 8\).
Thay \(t = - 8\) vào \(\Delta \) ta được \(I\left( {10; - 5; - 16} \right)\). Chọn B.
\(5 - \ln 2\).
\(\frac{7}{3} - \ln 2\).
\(5\).
\(\frac{7}{3}\).
Ta có \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 2 - \left( { - 3} \right) = 5\). Chọn C.
\(\int\limits_1^3 {{2^x}dx} \).
\(\int\limits_1^3 {\left( {{2^x} + 2} \right)dx} \).
\(\int\limits_1^3 {\left( {{2^x} - 2} \right)dx} \).
\(\int\limits_1^3 {\left( {2 - {2^x}} \right)dx} \).
\(\int\limits_1^3 {\left( {{2^x} - 2} \right)dx} \). Chọn C.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)(tham khảo hình bên). Giá trị \(\sin \) của góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)có cạnh là \(a\). Khi đó: \(CC' = a\), \(AC' = a\sqrt 3 \).
Ta có \(CC' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\widehat {C'AC}\).
Xét \(\Delta ACC'\)có \(\sin \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC'}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f'\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( { - 1;2} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\):
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\). Chọn C.
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OA'} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC'} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC'} = \overrightarrow 0 \). Chọn B.
8.
9.
16.
10.
\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x - 1}} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - \left( {x - 1} \right)}} \le {3^1} \Leftrightarrow - \left( {x - 1} \right) \le 1 \Leftrightarrow - x + 1 \le 1 \Leftrightarrow x \ge 0.\)
Vì \(x \in \left[ { - 8;8} \right]\) và \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;8} \right\}\).
Vậy bất phương trình có \(9\) nghiệm nguyên trong đoạn \(\left[ { - 8;8} \right]\). Chọn B.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(210\).
\(90\).
\(150\).
\(120\).
Tổng số khách hàng: \(n = 20 + 65 + 40 + 25 + 12 + 10 + 8 + 5 = 185\).
Gọi \({x_1};...;{x_{185}}\) là mức giá của 185 khách hàng dự định mua được sắp theo thứ tự không giảm.
Khi đó \({Q_1} = \frac{{{x_{46}} + {x_{47}}}}{2}\) mà \({x_{46}};{x_{47}} \in \left[ {90;120} \right)\). Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {90;120} \right)\).
Suy ra \(a = 90\) và \(b = 120\).
Vậy \(S = a + b = 90 + 120 = 210\). Chọn A.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ và \(a,b,c,d\) là các số thực. Khẳng định nào sau đây là đúng
\(ad > 0\).
\(a + d < 0\).
\(a + d > 0\).
\(ad < 0\).
Xét hệ số \(a\): Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow a > 0\).
Xét hệ số \(d\): Ta thấy giao điểm của hàm số với trục \(Oy\) tại điểm \(O\)\( \Rightarrow d = 0\).
\( \Rightarrow a + d > 0\). Chọn C.
\(x - 3y - 2z + 13 = 0\).
\(x - 3y - 2z + 11 = 0\).
\(x - 3y + 2z - 1 = 0\).
\(x + 3y - 2z + 1 = 0\).
Gọi mặt phẳng cần tìm là \(\left( P \right)\).
Ta có: \(\left( P \right) \bot AB \Rightarrow \vec n = \overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\, - 3\,;\, - 2} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) có phương trình là:\(1\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 2z + 11 = 0\). Chọn B.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng với vận tốc \(v\left( t \right)\), \(0 \le t \le 5\) (\(t\) có đơn vị là giây và \(v\left( t \right)\) có đơn vị mét/giây). Hàm số \(v\left( t \right)\) có đồ thị gồm hai đoạn thẳng \(OB\), \(BC\) và đường cong \(CD\) là một phần parabol \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\) \(\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có đỉnh \(C\) (như hình vẽ).
Trong một giây đầu tiên, vận tốc của chất điểm là \(v\left( t \right) = 2t\), \(0 \le t \le 1\).
Quãng đường chất điểm đi được trong hai giây đầu tiên là \(3\) m.
Giá trị của \(a\) là \(a = - \frac{5}{2}\).
Quãng đường chất điểm đi được trong bốn giây đầu tiên là \(7,7\) m (làm tròn đến hàng phần mười).
a) Đúng. Trong một giây đầu tiên, đồ thị hàm số \(v\left( t \right)\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm \(B\left( {1;2} \right)\).
Vậy vận tốc của chất điểm là \(v\left( t \right) = 2t\), \(0 \le t \le 1\).
b) Đúng. Đồ thị hàm số \(v\left( t \right)\) là đường thẳng \(v\left( t \right) = 2\), \(1 \le t \le 3\).
Quãng đường chất điểm đi được trong hai giây đầu tiên là \(\int\limits_0^1 {2t{\rm{d}}t} + \int\limits_1^2 {2{\rm{d}}t} = 3\) (m).
c) Sai. Parabol \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\) có đỉnh \(C\left( {3;2} \right)\) và đi qua điểm \(D\left( {5;0} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 3\\9a + 3b + c = 2\\25a + 5b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 3\\c = - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{2} + 3t - \frac{5}{2}\), \(3 \le t \le 5\).
d) Sai. Quãng đường chất điểm đi được trong bốn giây đầu tiên là
\(\int\limits_0^1 {2t{\rm{d}}t} + \int\limits_1^3 {{\rm{2d}}t} + \int\limits_3^4 {\left( { - \frac{{{t^2}}}{2} + 3t - \frac{5}{2}} \right){\rm{d}}t} \approx 6,8\) (m).
Hộp X có 5 bi đen và 5 bi trắng, hộp Y có 6 bi đen và 8 bi trắng. Bạn H lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp X bỏ sang hộp Y, sau đó tiếp tục lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp Y.
Xác suất để lấy được 2 viên bi trắng từ hộp X bằng \[\frac{1}{3}\].
Xác suất để lấy được 3 viên bi đen từ hộp Y bằng \[\frac{{109}}{{1680}}\].
Xác suất lấy được 2 viên bi đen và 1 viên bi trắng từ hộp Y bằng \[\frac{{1693}}{{5040}}\].
Biết rằng bạn H đã lấy được 2 viên bi đen và 1 viên bi trắng từ hộp Y, xác suất để 2 viên bi đen ấy là từ hộp X chuyển qua bằng \[\frac{{448}}{{1693}}\].
Gọi các biến cố khi chuyển 2 bi từ hộp X sang hộp Y:
\[{A_1}\]: Chuyển 2 bi đen. \[P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\];
\[{A_2}\]: Chuyển 1 bi đen, 1 bi trắng. \[P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_5^1 \cdot C_5^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{{25}}{{45}} = \frac{5}{9}\];
\[{A_3}\]: Chuyển 2 bi trắng. \[P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\].
Sau khi chuyển, hộp Y có tổng cộng 14 + 2 = 16 viên bi.
a) Sai. Xác suất lấy được 2 viên bi trắng từ hộp X là: \[P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\].
b) Đúng. Gọi B là biến cố lấy được 3 bi đen từ hộp Y.
Nếu \[{A_1}\] xảy ra: Hộp Y có 8 đen, 8 trắng. \[P\left( {B|{A_1}} \right) = \frac{{C_8^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{56}}{{560}} = \frac{1}{{10}}\];
Nếu \[{A_2}\] xảy ra: Hộp Y có 7 đen, 9 trắng. \[P\left( {B|{A_2}} \right) = \frac{{C_7^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{35}}{{560}} = \frac{1}{{16}}\];
Nếu \[{A_3}\] xảy ra: Hộp Y có 6 đen, 10 trắng. \[P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{{C_6^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{20}}{{560}} = \frac{1}{{28}}\].
\[P\left( B \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{10}} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{{16}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{28}} = \frac{1}{{45}} + \frac{5}{{144}} + \frac{1}{{126}} = \frac{{109}}{{1680}}\].
c) Đúng. Gọi C là biến cố lấy được 2 bi đen, 1 bi trắng từ hộp Y.
Nếu \[{A_1}\] xảy ra: Hộp Y có 8 đen, 8 trắng. \[P\left( {C|{A_1}} \right) = \frac{{C_8^2 \cdot C_8^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{28 \cdot 8}}{{560}} = \frac{{224}}{{560}} = \frac{2}{5}\];
Nếu \[{A_2}\] xảy ra: Hộp Y có 7 đen, 9 trắng. \[P(C|{A_2}) = \frac{{C_7^2 \cdot C_9^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{21 \cdot 9}}{{560}} = \frac{{189}}{{560}}\];
Nếu \[{A_3}\] xảy ra: Hộp Y có 6 đen, 10 trắng. \[P\left( {C|{A_3}} \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_{10}^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{15 \cdot 10}}{{560}} = \frac{{150}}{{560}} = \frac{{15}}{{56}}\];
\[P\left( C \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{{224}}{{560}} + \frac{5}{9} \cdot \frac{{189}}{{560}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{{150}}{{560}} = \frac{{448 + 945 + 300}}{{9 \cdot 560}} = \frac{{1693}}{{5040}}\].
d) Sai. Gọi D là biến cố: “H lấy được 2 viên bi đen trong hộp Y là 2 bi đen từ hộp X chuyển qua”.
\[P\left( {CD} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {BC|{A_1}} \right) = \frac{2}{9}.\frac{{C_2^2 \cdot C_8^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{1}{{315}}\]
\[P\left( {D|C} \right) = \frac{{P\left( {CD} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{1}{{315}}}}{{\frac{{1693}}{{5040}}}} = \frac{{16}}{{1693}}\].
Hàm số có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Gọi \(A\), \(B\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\). Khi đó độ dài \(AB\) bằng \(\sqrt 5 \).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^4} - 2{x^3}}}{{f\left( x \right) - 4}}\) có tất cả hai đường tiệm cận.
a) Đúng. \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).
b) Đúng. \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\). Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
c) Sai. Ta có \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;0} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).
d) Đúng. Ta có \(f\left( x \right) - 4 = {x^3} - 3{x^2}\).
Khi đó \(y = \frac{{{x^4} - 2{x^3}}}{{f\left( x \right) - 4}} = \frac{{{x^3}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 3}} = x + 1 + \frac{3}{{x - 3}}\).
Khi đó \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và \(y = x + 1\) là tiện cận xiên của đồ thị hàm số.
Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 0,1} \right)^2} = 36\).
Phương trình đường thẳng AC là: \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{1}\).
Khi ô tô đang ở vị trí cách nút giao C \(60\;{\rm{m}}\) trên đoạn đường từ chân trạm A tới nút giao C thì ô tô không nằm trong vùng phát sóng của trạm B.
Do thời tiết xấu, trạm A giảm công suất phát làm giảm bán kính phủ sóng xuống còn \(4\;{\rm{km}}\). Biết rằng flycam \({F_2}\) luôn bay ở độ cao \(50\;{\rm{m}}\)so với mặt đất và cách trạm B một khoảng không đổi là \(3\;{\rm{km}}\). Tổng khoảng cách lớn nhất giữa ô tô và flycam có thể đạt được là \(21\;{\rm{km}}\)(làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Đúng. Ta có \(A\left( {0;0;0,1} \right)\) và \({R_1} = 6\); \(B\left( {10;0;0,1} \right)\) và \({R_2} = 8\).
Gọi \(O,\,B'\) lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.
Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 0,1} \right)^2} = 36\).
b) Sai. Gọi \(H;\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung
Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất \((Oxy)\), có tung độ dương nên tọa độ \(C(x;y;0)\).
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {6^2}\\{\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = {8^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3,6\\y = 4,8\end{array} \right.\). Vậy \(C(3,6;4,8;0)\).
Một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là \(\overrightarrow n = \left( {36;48; - 1} \right)\)
Vậy phương trình đường thẳng AC là \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{{ - 1}}\).
c) Đúng. Ta có \(OC = 6\;{\rm{km}};\,CD = 60\;{\rm{m}} = 0,06\;{\rm{km}}\)\( \Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0,06 = 5,94\)
Có \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \cdot OD}}{{OC}} = 3,564\)
Có \(\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \cdot OD}}{{OC}} = 4,752\), vậy \(D\left( {3,564;\,4752;\,0} \right)\)
\( \Rightarrow BD = \sqrt {{{\left( {10 - 3,564} \right)}^2} + {{\left( {4,752} \right)}^2} + {{0,1}^2}} = 8,00085 > 8\).
d) Đúng.
Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên \(BB'\)
\( \Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0,05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - {{0,05}^2}} = 2,999583304\)
Gọi G là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên mặt phẳng \(Oxy\)
\({F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}} \), nên \({F_2}D\) đạt lớn nhất khi \(DG\) lớn nhất, khi đó \(D,\,\,B',\,\,G\)thẳng hàng
\( \Rightarrow DG = DB' + B'G\) \( = \sqrt {{{\left( {10 - 3,564} \right)}^2} + {{4,752}^2}} + 2,999583304 \approx 10,9998083\).
\( \Rightarrow D{F_2} = \sqrt {{{0,05}^2} + D{G^2}} = 10,99992194\)
Lại có \(D{F_1}\) lớn nhất khi \(D,\,\,A,\,\,{F_1}\) thẳng hàng\( \Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 4 + 5,94 = 9,94\)
Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 20,93992194 \approx 21\) km.
Đáp án: 50.
Chiều dài tuyến là \(100\) km, vận tốc khai thác là \(v\) km/h, nên thời gian một chuyến là:
\(t = \frac{{100}}{v}\) (giờ).
Doanh thu
Số khách: \(N\left( v \right) = \frac{v}{5} + 20\).
Giá vé bình quân \(500000\) đồng/khách nên doanh thu:
\(R\left( v \right) = 500000\left( {\frac{v}{5} + 20} \right) = 100000v + 10000000\).
Chi phí điện
Công suất: \(P\left( v \right) = 10{v^3}\) (W) \( = 0,01{v^3}\) (kW).
Điện lượng tiêu thụ: \(A = P\left( v \right) \cdot t = 0,01{v^3} \cdot \frac{{100}}{v} = {v^2}\) (kWh).
Tiền điện: \({C_1}\left( v \right) = 2000{v^2}\).
Chi phí vận hành cố định: \({C_2}\left( v \right) = 2500000 \cdot \frac{{100}}{v} = \frac{{250000000}}{v}\).
Lợi nhuận ròng: \(L\left( v \right) = R\left( v \right) - {C_1}\left( v \right) - {C_2}\left( v \right)\)\( = 100000v + 10000000 - 2000{v^2} - \frac{{250000000}}{v}\).
Xét đạo hàm: \(L'\left( v \right) = 100000 - 4000v + \frac{{250000000}}{{{v^2}}}\).
Giải \(L'\left( v \right) = 0\), hay \(100000 - 4000v + \frac{{250000000}}{{{v^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {v^3} - 25{v^2} - 62500 = 0\)\( \Leftrightarrow v = 50\).
Lại có \(L'\left( v \right) > 0\) khi \(v < 50\) và \(L'\left( v \right) < 0\) khi \(v > 50\), nên lợi nhuận lớn nhất tại \(v = 50{\rm{ km/h}}\).
Đáp án: 13.
Gọi \(A\) là biến cố: “Số ghế của Tâm, Vy, Tuệ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng”.
Ta có \[n\left( \Omega \right) = 27!\].
Gọi số ghế của Tâm, Vy, Tuệ là \[a,\,b,\,c\]. Vì \[a,\,b,\,c\] theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \[a + c = 2b\] nên \[a,\,c\] cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Chọn \[a,\,c\] có \[C_{13}^2 + C_{14}^2\] cách. Khi đó \[b\] có \[1\] cách chọn.
\[24\] bạn còn lại có \[24!\] cách chọn. Khi đó \[P\left( A \right) = \frac{{\left( {C_{13}^2 + C_{14}^2} \right) \cdot 24!}}{{27!}} \cdot 2 = \frac{{13}}{{675}}\].
Vậy \(P = 13\).
Đáp án: 379.
Gọi số tiền anh An vay ngân hàng là \(A = 1\)tỷ với lãi suất \(r = 10,5\% /\)năm.
Số tiền nợ sau một năm: \({A_1} = A + Ar = A\left( {1 + r} \right)\)
Số tiền nợ sau hai năm: \({A_2} = {A_1} + {A_1}r = {A_1}\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2} = 1221,025\) triệu đồng.
Anh An dùng 2 tỷ mua căn hộ với giá 40 triệu đồng/\({{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Nên căn hộ có diện tích \(50\;{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Sau 2 năm, anh An bán với giá 52 triệu đồng/\({{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)\( \Rightarrow \)số tiền anh thu được là \(52 \cdot 50 = 2600\) triệu đồng.
Số tiền lãi của anh An sau 2 năm: \(2600 - 1000 - 1221,025 = 378,975 \approx 379\) triệu đồng.
Đáp án: 0,7.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.
\(H \equiv O(0;0;0)\), tia \(HB\) trùng với tia \(Ox\), tia \(HA\prime \) trùng với tia \(Oz\), và trục \(Oy\) song song với \(AD\).
\(d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {AD,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\,\left( {A'BC} \right)} \right)\).
Kẻ \(HI \bot A'B\) suy ra \(d\left( {H,\left( {A'BC} \right)} \right) = HI\).
Theo giả thiết: \(d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{3}{4}\) hay \(2HI = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \)\(HI = \frac{3}{8}\).
\(\frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow H{A'^2} = \frac{9}{{28}} = {h^2}\).
Ta có: \(A\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(B\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(C\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\);\(D\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)\); \(A\prime \left( {0\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,h} \right)\).
Đường thẳng \(A\prime B\) đi qua \(B\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \overrightarrow {BA\prime } = \left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,h} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \overrightarrow {AC} = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 2\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)\).
Ta có: \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 2h\,;{\mkern 1mu} \,h\,;{\mkern 1mu} - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)\).
Khoảng cách giữa \(A\prime B\) và \(AC\) là:
\[d\left( {A\prime B,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{| - 2h|}}{{\sqrt {4{h^2} + {h^2} + 1} }} = \frac{{2h}}{{\sqrt {5{h^2} + 1} }}\]
Thay \({h^2} = \frac{9}{{28}}\) vào ta được:
\(d = \sqrt {\frac{{4{h^2}}}{{5{h^2} + 1}}} = \sqrt {\frac{{4 \cdot \frac{9}{{28}}}}{{5 \cdot \frac{9}{{28}} + 1}}} = \sqrt {\frac{{\frac{9}{7}}}{{\frac{{45 + 28}}{{28}}}}} = \sqrt {\frac{9}{{73}}} = \frac{3}{{\sqrt {73} }} \approx 0,7\).
Đáp án: 12.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; - 2} \right) \Rightarrow AB = 3\). Vì \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) nên \(AB \bot \left( P \right)\).
Ta tính được \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4\) và \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 7\]. Gọi \(I\) là hình chiếu của \[A\] lên \[\left( P \right)\].
Do \[I \in AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 5 + t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2 + 2t;5 + t; - 1 - 2t} \right) \in \left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\]
\[ \Rightarrow 2\left( {2 + 2t} \right) + 5 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\].
Gọi \[E\] là tâm mặt cầu và \[M\] là trung điểm \[AB\], ta có: \[MA = MB = \frac{{AB}}{2} = \frac{3}{2}\].
Với \[C\] là tiếp điểm của mặt cầu và \[\left( P \right)\], \[{R_{mc}} = EC = MA + d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{3}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}\]
\[ \Rightarrow CI = \sqrt {R_{mc}^2 - M{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = 2\sqrt 7 \].
Vậy tiếp điểm \[C\] chuyển động trên đường tròn tâm \[I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\], bán kính \[2\sqrt 7 \].
Gọi \[H\] là hình chiếu của \[O\] lên \[\left( P \right)\], suy ra \[OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{3}\].
Lại có: \[OI = \frac{{5\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow IH = \sqrt {O{I^2} - O{H^2}} = \frac{{\sqrt {149} }}{3} < 2\sqrt 7 \].
Do đó, \[O{C_{\min }} = O{C_1} = \sqrt {O{H^2} + {C_1}{H^2}} \] với \[{C_1}H = CI - IH = 2\sqrt 7 - \frac{{\sqrt {149} }}{3} = \frac{{ - \sqrt {149} + 6\sqrt 7 }}{3}\]
\[ \Rightarrow O{C_{\min }} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - \sqrt {149} + 6\sqrt 7 }}{3}} \right)}^2}} \approx 1,2673\] (chục mét).
Khoảng cách thực tế ngắn nhất từ \(O\) tới \(C\) là \(L = 1,2673 \cdot 10 = 12,673\).
Tổng chi phí thấp nhất là \(T = 12,673 \cdot 950000 = 12039350\) đồng ≈ 12 triệu đồng.
Đáp án: 446.
Ta có lợi nhuận của doanh nghiệp là
\(R\left( x \right) = F\left( x \right) - xG\left( x \right) = - 0,03{x^2} + 800x - 450x - 50000\)\( = - 0,03{x^2} + 350x - 50000\)
Để lợi nhuận lớn hơn \(100\) triệu đồng ta có
\( - 0,03{x^2} + 350x - 50000 > 100000\)\( \Leftrightarrow - 0,03{x^2} + 350x - 150000 > 0\)
\( \Leftrightarrow \)\(445,59 < x < 11221,07\), \(x \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(446\) sản phẩm.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Tốt nghiệp THPT
Tốt nghiệp THPT
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
