Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 16)
22 câu hỏi
\(a < b < c.\)
\(b < a < c.\)
\(a < c < b.\)
\(c < a < b.\)
Ta có \(2 < \sqrt 5 < \sqrt 6 \) nên \({3^2} < {3^{\sqrt 5 }} < {3^{\sqrt 6 }}\) hay \(b < a < c\). Chọn B.
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4\,;0\,;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3\,;3\,; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {4\,;1\,;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {4\,; - 1\,;2} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {4\,;1\,;3} \right)\). Chọn C.
\(\;\int\limits_0^\pi {\cos x\,} {\rm{d}}x\).
\(\;{\pi ^2}\int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x\,} {\rm{d}}x\).
\(\;\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|\,} {\rm{d}}x\).
\[\pi \;\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|\,} {\rm{d}}x\].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \pi \) là \(\int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|} \,{\rm{d}}x.\) Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm
\(x = - 1.\)
\(x = 1.\)
\(x = - 4.\)
\(x = 0.\)
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \(x = - 1.\) Chọn A.
2.
6.
8.
4.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(10 - 2 = 8.\) Chọn C.
\( - \frac{{16}}{{15}}.\)
\( - \frac{{17}}{{15}}.\)
\(\frac{8}{{15}}.\)
\(\frac{{14}}{{15}}.\)
Vì tích phân không phụ thuộc vào đối số nên ta có:
\(\int\limits_0^4 {f\left( u \right){\rm{d}}u} = \int\limits_0^3 {f\left( u \right){\rm{d}}u} + \int\limits_3^4 {f\left( u \right){\rm{d}}u} \)\( \Leftrightarrow \frac{3}{5} = \frac{5}{3} + \int\limits_3^4 {f\left( u \right){\rm{d}}u} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_3^4 {f\left( u \right){\rm{d}}u} = - \frac{{16}}{{15}}\). Chọn A.
\(\frac{2}{9}.\)
\(\frac{9}{2}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
\(\frac{3}{2}.\)
Ta có \(\frac{{2a - 1}}{{b - 2}} = {\log _2}3 \Rightarrow a = \frac{{\left( {b - 2} \right){{\log }_2}3 + 1}}{2}\).
Khi đó \(\frac{{{3^b}}}{{{4^a}}} = \frac{{{3^b}}}{{{4^{\frac{{\left( {b - 2} \right){{\log }_2}3 + 1}}{2}}}}} = \frac{{{3^b}}}{{{2^{\left( {b - 2} \right){{\log }_2}3 + 1}}}} = \frac{{{3^b}}}{{2 \cdot {2^{\left( {b - 2} \right){{\log }_2}3}}}}\)\( = \frac{{{3^b}}}{{2 \cdot {{\left( {{2^{{{\log }_2}3}}} \right)}^{b - 2}}}} = \frac{{{3^b}}}{{2 \cdot {3^{b - 2}}}} = \frac{9}{2}\). Chọn B.
\(45^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(60^\circ .\)
Ta có \(\left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}\).
Lại có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1\). Vậy \(\left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA} = 45^\circ \). Chọn A.
10.
8.
−4.
−2.
Ta có \(\vec a\left( {\vec a - \vec b} \right) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\vec a} \right|^2} - \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\,\,\vec b} \right) = {2^2} - 2 \cdot 3 = - 2\). Chọn D.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
\(AM \bot \left( {SAD} \right)\).
\(AM \bot \left( {SBD} \right)\).
\(AM \bot \left( {MAC} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot SB\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\). Chọn A.
2.
5.
3.
6.
Ta có \(F\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên \(f\left( x \right) = {\left[ {F\left( x \right)} \right]^\prime }\) \( = {\left( {4{x^3} + 2x} \right)^\prime } = 12{x^2} + 2.\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = 0,x = 1\) bằng
\(\int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {12{x^2} + 2} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {4{x^3} + 2x} \right)} \right|_0^1 = 6\). Chọn D.
\(H\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 1} \right)\left( {4{x^3} + 2x} \right)\).
\(H\left( x \right) = \left( {{x^3} + x} \right)\left( {{x^4} + {x^2}} \right)\).
\(H\left( x \right) = 6x\left( {12{x^2} + 2} \right)\).
\(H\left( x \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {3{x^2} + 4} \right)\).
Ta có:
\(F\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên \(f\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right)} \right] = {\left( {4{x^3} + 2x} \right)^\prime } = 12{x^2} + 2\).
\(G\left( x \right) = 3{x^2} + 1\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)\) nên \(g\left( x \right) = {\left[ {G\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left( {3{x^2} + 1} \right)^\prime } = 6x\).
Khi đó \(h\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = \left( {12{x^2} + 2} \right) \cdot 6x = 72{x^3} + 12x\).
\(\int h \left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {72{x^3} + 12x} \right)} \,{\rm{d}}x = 18{x^4} + 6{x^2} + C\).
Vậy một nguyên hàm của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right)\) là \(H\left( x \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {3{x^2} + 4} \right)\). Chọn D.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \), chiều cao bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, với gốc toạ độ \(O\), tia \(Ox\) trùng với tia \(OC\), tia \(Oy\) trùng với tia \(OB\) và tia \(Oz\) trùng với tia \(OS\).
\(OA = OB = OC = OD = a\sqrt 2 \).
Toạ độ các điểm \(A\left( { - a\,;0\,;0} \right),B\left( {0\,;a\,;0} \right),S\left( {0\,;0\,;2a} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là \(\vec n = \left( {2; - 2; - 1} \right)\).
Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\frac{{4a\sqrt {17} }}{{17}}.\)
a) Sai. Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(ABCD\) là hình vuông.
Suy ra \(OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = a.\)
b) Đúng. Dựa vào hình vẽ, ta có \(C\left( {a\,;0\,;0} \right),B\left( {0\,;a\,;0} \right),A\left( { - a\,;0\,;0} \right),S\left( {0\,;0\,;2a} \right)\).
c) Đúng. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,\,B,\,S\) là
\(\left( {SAB} \right):\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2x - 2y - z + 2a = 0.\)
Suy ra, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] là \(\vec n = \left( {2\,; - 2\,; - 1} \right)\).
d) Sai. Khoảng cách từ điểm \(C\left( {a\,;0\,;0} \right)\) đến \(\left( {SAB} \right):2x - 2y - z + 2a = 0\) là
\[d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot a - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2a} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{4a}}{3}\].
Xác suất có điều kiện: \(P\left( {A\mid \bar B} \right) = 0,02\).
Xác suất chọn được phế phẩm là 1,75%.
Biết rằng sản phẩm được chọn là phế phẩm. Xác suất để phế phẩm đó do nhà máy hai sản xuất là \(\frac{6}{7}.\)
a) Đúng. Ta có \(\bar B\) là biến cố: “Sản phẩm được chọn thuộc nhà máy hai”.
b) Sai. \(P\left( {A\mid \bar B} \right)\) là xác suất sản phẩm được chọn là phế phẩm khi biết sản phẩm được chọn thuộc nhà máy hai và tỉ lệ này bằng \(0,2\% \) nên \(P\left( {A\mid \bar B} \right) = 0,2\% = 0,002\).
c) Sai. Vì tỉ lệ đóng góp của nhà máy một bằng \(\frac{1}{3}\) sản phẩm đóng góp của nhà máy hai nên suy ra \(P\left( B \right) = 25\% = 0,25;\,\,P\left( {\bar B} \right) = 75\% = 0,75;\,\,P\left( {A\mid B} \right) = 0,1\% = 0,001\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất chọn được phế phẩm là
\(P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A\mid B} \right) + P\left( {\bar B} \right) \cdot P\left( {A\mid \bar B} \right) = 0,25 \cdot 0,001 + 0,75 \cdot 0,002\)\( = \frac{7}{{4000}} = 0,175\% \).
d) Đúng. Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) Tính \(P\left( {\bar B\mid A} \right)\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có: \(P\left( {\bar B\mid A} \right) = \frac{{P\left( {\bar B} \right) \cdot P\left( {A\mid \bar B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,75 \cdot 0,002}}{{\frac{7}{{4000}}}} = \frac{6}{7}.\)
Một ly trà sữa dạng hình nón cụt, có đường kính đáy ly là 6 cm, đường kính miệng ly là 9 cm, chiều cao \(13,4\;{\rm{cm}}\); ở miệng ly có sử dụng một nắp đậy có hình dạng nửa mặt cầu và ở đỉnh của nửa mặt cầu này có một hình tròn có đường kính 2 cm để cắm ống hút, mặt phẳng chứa hình tròn này song song với mặt phẳng chứa miệng ly (tham khảo hình vẽ).
Chọn hệ trục \(Oxy\) (đơn vị trên trục là centimet) với trục \(Ox\) đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ.
Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(y = \frac{{15}}{{134}}x + 4,5.\)
Toạ độ điểm D là \(D\left( {\frac{{\sqrt {77} }}{2};1} \right).\)
Thể tích bên trong của ly không bao gồm nắp là 600 ml (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là \(790,6\,{\rm{ml}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
a) Đúng. Phương trình đường thẳng \(BC\) có dạng \(y = ax + b\) đi qua 2 điểm \(B\left( { - 13,4\,;\,3} \right)\) và \(C\left( {0\,;4,5} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 13,4a + b = 3\\b = 4,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{15}}{{134}}}\\{b = 4,5}\end{array}} \right.\).
Vậy phương trình đường thẳng \(BC\) là \(y = \frac{{15}}{{134}}x + 4,5.\)
b) Đúng. Phương trình đường tròn tâm \(O\left( {0\,;0} \right)\) bán kính \(OC = 4,5\,\;{\rm{cm}}\) là \({x^2} + {y^2} = {4,5^2}\).
Do đường tròn đi qua điểm \(D\left( {{x_0}\,;\,1} \right)\) nên \({x_0}^2 + {1^2} = {4,5^2} \Rightarrow {x_0} = \frac{{\sqrt {77} }}{2}\).
Vậy toạ độ điểm \(D\) là \(D\left( {\frac{{\sqrt {77} }}{2}\,;\,1} \right)\).
c) Đúng. Thể tích bên trong ly không bao gồm nắp là
\(\pi {\int\limits_{ - 13,4}^0 {\left( {\frac{{15}}{{134}}x + 4,5} \right)} ^2}{\rm{d}}x \approx 600\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 600\,\,{\rm{ml}}.\)
d) Đúng. Đường tròn nắp ly có phương trình \({x^2} + {y^2} = {4,5^2} \Rightarrow y = \pm \sqrt {20,25 - {x^2}} .\)
Ta xét phần dương của nắp ly, ta có \(y = \sqrt {20,25 - {x^2}} .\)
Thể tích nắp ly là: \(\pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {20,25 - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x\).
Vậy thể tích bên trong ly bao gồm cả thể tích nắp là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 13,4}^0 {{{\left( {\frac{{15}}{{134}}x + 4,5} \right)}^2}} {\rm{d}}x + \pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {20,25 - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x \approx 790,6\,\,{\rm{ml}}\).
Số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày là \(10 - x\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{72}}{x} + \frac{{32}}{{10 - x}},x \in \left( {0\,;10} \right)\).
Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \in \left( {0\,;10} \right)\).
Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là 20 ngày.
a) Đúng. Do trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít nên số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày là \(10 - x,\,\,x \in \left( {0\,;10} \right)\).
b) Sai. Tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được khoán là
\(f\left( x \right) = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 - x}}\), \(x \in \left( {0\,;10} \right)\).
c) Sai. Ta có \(f'\left( x \right) = - \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 - x} \right)}^2}}}\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 - x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 32{\left( {10 - x} \right)^2} = 72{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( {10 - x} \right) = 3x\\2\left( {10 - x} \right) = - 3x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{x = - 20}\end{array}} \right.\).
Kết hợp điều kiện ta có \(x = 4\).
d) Đúng. Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 - x}}\), \(x \in \left( {0\,;10} \right)\) là
Theo bảng biến thiên, tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là 20 ngày.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Trong một trận chơi Bi-a có 6 lỗ A, B, C, D, E, F và có kích thước \(3\;{\rm{m}} \times 1\;{\rm{m}}\) như hình vẽ, bạn Minh đánh mạnh một viên bi từ điểm sát thành cạnh EF, cách lỗ F một đoạn 10 cm, bật vào thành cạnh CE, rồi bật lần lượt vào các cạnh BD, AB, AC, DF và cuối cùng rơi vào lỗ E. Biết rằng viên bi không rơi vào lỗ nào trước khi đến điểm kết thúc. Quãng đường ngắn nhất mà viên bi có thể di chuyển là bao nhiêu centimét (kết quả được làm tròn đến hàng phần đơn vị)?
Đáp án: 775.
Gọi \(M\) là điểm bắt đầu, quãng đường ngắn nhất là \({d_{{\rm{min }}}}.\)
Lật hình cho từng đoạn di chuyển, ta được:
Vậy \[{d_{\min }} = EM = \sqrt {O{M^2} + O{E^2}} = \sqrt {{{\left( {100 \cdot 4 + 90} \right)}^2} + {{\left( {300 \cdot 2} \right)}^2}} \]\( \approx 775\,\,{\rm{(cm)}}\).
Đáp án: 0,94.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1\,; - 1\,; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1\,; - 1\,; - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {2\,;0\,;0} \right)\)
\( \Rightarrow AB = AC = 3\sqrt 2 ,BC = 2\).
\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A.
Mà \(I\) là trung điểm của BC \( \Rightarrow AI \bot BC\).
Có \(AI \bot BN\)\( \Rightarrow AI \bot \left( {BCNM} \right) \Rightarrow AI \bot MN\).
Kẻ \(IQ \bot MN \Rightarrow MN \bot \left( {AIQ} \right) \Rightarrow MN \bot IH\).
Kẻ \(IH \bot AQ \Rightarrow IH \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow d\left( {I,\left( {AMN} \right)} \right) = IH.\)
Từ \(BN \cdot CM = 1 \Rightarrow \frac{{BN}}{{CI}} = \frac{{BI}}{{CM}}\,\,\left( {BI = CI = 1} \right)\).
Xét \(\Delta BIN\) và \(\Delta CMI\) có: \(\frac{{BN}}{{CI}} = \frac{{BI}}{{CM}},\widehat {IBN} = \widehat {MCI} = 90^\circ \).
\( \Rightarrow \widehat {BNI} = \widehat {CIM}\).
Mà \(\widehat {BNI} + \widehat {BIN} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {CIM} + \widehat {BIN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {MIN} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta MIN\) vuông tại \(I\) có: \(IQ \bot MN\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{I{Q^2}}} = \frac{1}{{I{N^2}}} + \frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{1}{{B{I^2} + B{N^2}}} + \frac{1}{{I{C^2} + C{M^2}}}\)\( = \frac{1}{{1 + B{N^2}}} + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{B{N^2}}}}} = \frac{1}{{B{N^2} + 1}} + \frac{{B{N^2}}}{{1 + B{N^2}}} = 1\).
\( \Rightarrow IQ = 1\).
Xét \(\Delta AIQ\) vuông tại \(I\) có: \(IH \bot AQ\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{A{I^2}}} + \frac{1}{{I{Q^2}}} = \frac{1}{{A{C^2} - C{I^2}}} + 1 = \frac{1}{{18 - 1}} + 1 = \frac{{18}}{{17}}\)\( \Rightarrow IH = \frac{{\sqrt {34} }}{6}\).
\( \Rightarrow H\) thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {3\,;0\,;0} \right)\), bán kính \({R_1} = \frac{{\sqrt {34} }}{6}.\) (1)
Vì \(\Delta AIH\) vuông tại \(H\)\( \Rightarrow H\) thuộc mặt cầu tâm \(P\left( {3;\frac{1}{2};2} \right)\), bán kính \({R_2} = \frac{{AI}}{2} = \frac{{\sqrt {17} }}{2}.\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow H\) thuộc mặt phẳng là giao tuyến của 2 mặt cầu.
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{17}}{{18}}}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2} = \frac{{17}}{4}}\end{array} \Rightarrow y + 4z + \frac{{17}}{{18}} = 0} \right.\,\,\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(H\).
Ta có \(d = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\frac{{17}}{{18}}}}{{\sqrt {17} }} = \frac{{\sqrt {17} }}{{18}}\). Bán kính của đường tròn giao tuyến là \({R_0} = \sqrt {R_1^2 - {d^2}} = \frac{{17}}{{18}}.\)
\( \Rightarrow H\) thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng \(\frac{{17}}{{18}} \approx 0,94\).
Đáp án: 99,9.
Gọi \(A\) là biến cố: “Người đó bị bệnh”; \(B\) là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.
Khi đó \(\bar B\) là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả âm tính”.
YCBT \( \Leftrightarrow \) Tính \(P\left( {\bar A\mid \bar B} \right)\) (dùng công thức Bayes để tính).
Từ dữ kiện đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,02 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,98\).
Giả sử \(P\left( {\bar B\mid A} \right) = x \Rightarrow P\left( {B\mid A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid A} \right) = 1 - x\)
\(P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = y \Rightarrow P\left( {B\mid \bar A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 1 - y\).
Ta có sơ đồ cây sau:
Từ giả thiết, ta có:
+) Tỉ lệ chẩn đoán sai (tức người đó bị bệnh và xét nghiệm cho kết quả âm tính hoặc người đó không bị bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính) bằng 0,197
\( \Leftrightarrow P\left( A \right) \cdot P\left( {\bar B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,197\)
\( \Leftrightarrow 0,02x + 0,98 \cdot \left( {1 - y} \right) = 0,197\)
\( \Leftrightarrow 0,02x - 0,98y = - 0,783\). (1)
+) Số người có kết quả dương tính chiếm \(21,5\% \)
\( \Leftrightarrow P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,215\)
\( \Leftrightarrow 0,02 \cdot \left( {1 - x} \right) + 0,98 \cdot \left( {1 - y} \right) = 0,215\)
\( \Leftrightarrow - 0,02x + 0,02 + 0,98 - 0,98y = 0,215\)
\( \Leftrightarrow 0,02x + 0,98y = 0,785\). (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,02x - 0,98y = - 0,783}\\{0,02x + 0,98y = 0,785}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,05}\\{y = 0,8}\end{array}} \right.} \right..\)
Suy ra \(P\left( {\bar B\mid A} \right) = 0,05;\,\,P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 0,8.\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
\(P\left( {\bar B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\bar B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar B\mid \bar A} \right)\)\( = 0,02 \cdot 0,05 + 0,98 \cdot 0,8 = 0,785.\)
Áp dụng công thức Bayes, suy ra \(P\left( {\bar A\mid \bar B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A} \right)P\left( {\bar B\mid \bar A} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}}\)\( = \frac{{0,98 \cdot 0,8}}{{0,785}} \approx 99,9\% \).
Anh Kiên đổ bê tông một đường đi sân vườn hình tròn bán kính \(\sqrt {10} \;{\rm{m}}\) (phần được tô đậm) trong hình bên dưới. Biết rằng đường cong AB là một phần đồ thị của một hàm số liên tục, đường cong DC nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong AB theo phương thẳng đứng, lên phía trên 2 m. Ngoài ra con đường được đổ lớp bê tông dày 15 cm và giá tiền \(1\;\,{{\rm{m}}^3}\) bê tông là 1 200 000 đồng. Số tiền anh Kiên cần dùng để đổ bê tông con đường đó bằng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án: 2,2.
Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 10\).
Ta có: \(AB = \sqrt {B{D^2} - A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {10} } \right)}^2} - {2^2}} = 6\)
\( \Rightarrow DE = CE = AF = BF = 3\).
Dựa theo hình vẽ ta thấy diện tích giới hạn bởi đường cong DE và đoạn thẳng DE bằng diện tích giới hạn bởi đường cong CE và đoạn thẳng CE.
Tương tự diện tích giới hạn bởi đường cong AF và đoạn thẳng AF bằng diện tích giới hạn bởi đường cong BF và đoạn thẳng BF.
\( \Rightarrow \) Diện tích đường đi bằng diện tích hình chữ nhật ABCD cộng với 2 lần diện tích giới hạn bởi đường tròn \(\left( C \right)\), đường thẳng \(x = - \sqrt {10} ,x = - 3\).
Diện tích giới hạn bởi đường tròn \(\left( C \right)\), đường thẳng \(x = - \sqrt {10} ,x = - 3\) là
\(S = 2\int\limits_{ - \sqrt {10} }^{ - 3} {\sqrt {10 - {x^2}} } {\rm{d}}x \approx 0,2\;\,\,({{\rm{m}}^2})\).
Số tiền anh Kiên cần dùng để đổ bê tông con đường đó là:
\(0,15 \cdot \left( {2 \cdot 6 + 0,2 \cdot 2} \right) \cdot 1,2 \approx 2,2\) (triệu đồng).
Đáp án: 0,6.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Xét \(\Delta ACD\) cân tại \(A\) có: \(AN \bot CD\).
Xét \(\Delta BCD\) cân tại \(B\) có: \(BN \bot CD\).
Mà \(\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD \Rightarrow \left( {\left( {ACD} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = 90^\circ .\)
\( \Rightarrow AB = \sqrt {A{N^2} + B{N^2}} = \sqrt 2 \cdot AN = \sqrt 2 \cdot \sqrt {A{D^2} - D{N^2}} \)
\( = \sqrt {2 - 2{x^2}} \).
\( \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AB = \frac{{\sqrt {2 - 2{x^2}} }}{2}.\)
Xét \(\Delta ABD\) cân tại \(D\) có: \(DM \bot AB\).
Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(C\) có: \(CM \bot AB\).
Mà \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)} \right) = \widehat {CMD}.\)
Để mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) thì \(\widehat {CMD} = 90^\circ .\)
\( \Rightarrow MN = \frac{1}{2}CD \Rightarrow \frac{{\sqrt {2 - 2{x^2}} }}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2x \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \approx 0,6.\)
Đáp án: 4,51.
Ta có \(p'\left( t \right) = \frac{{p\left( {10 - p} \right)}}{{46}} \Rightarrow \frac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{p\left( {10 - p} \right)}}{{46}} \Rightarrow \frac{{46{\rm{d}}p}}{{p\left( {10 - p} \right)}} = {\rm{d}}t\)
\( \Rightarrow \int {\frac{{46}}{{p\left( {10 - p} \right)}}} \,{\rm{d}}p = \int {\rm{d}} t \Rightarrow \frac{{46}}{{10}} \cdot \int {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{{10 - p}}} \right)} \,{\rm{d}}p = t + C\)
\( \Rightarrow \frac{{46}}{{10}} \cdot \left( {\ln \left| p \right| - \ln \left| {10 - p} \right|} \right) = t + C \Rightarrow \frac{{46}}{{10}} \cdot \ln \left| {\frac{p}{{10 - p}}} \right| = t + C\)
Vì tại thời điểm \(t = 0\), miếng thiếc đó có khối lượng 8 kg
\( \Rightarrow \) Miếng thiếc đã mất 2 kg
\( \Rightarrow p = 2 \Rightarrow C = \frac{{46}}{{10}} \cdot \ln \left| {\frac{2}{{10 - 2}}} \right| = \frac{{ - 46}}{{10}} \cdot \ln 4\)
\( \Rightarrow \frac{{46}}{{10}} \cdot \ln \left| {\frac{p}{{10 - p}}} \right| = t - \frac{{46}}{{10}} \cdot \ln 4\).
Khi miếng thiếc còn 6 kg thì miếng thiếc đó đã mất đi \(4\;{\rm{kg}} \Rightarrow p = 4\)
\( \Rightarrow \frac{{46}}{{10}} \cdot \ln \left| {\frac{4}{{10 - 4}}} \right| = t - \frac{{46}}{{10}} \cdot \ln 4\)
\( \Rightarrow t = \frac{{46}}{{10}} \cdot \ln \frac{8}{3} \approx 4,51\) năm.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
Học liệu phổ biến Tốt nghiệp THPT
Tốt nghiệp THPT
Bài tập vừa sức, đúng lớp
Chọn nội dung phù hợp và tạo hoạt động cho lớp của bạn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
