$83\in P$,  $91\in P$   , $15\in N$ , $P\subset N$ .

Vì $302;150;826$  đều chia hết cho 2 nên $A⋮2$ .

Mà A>2 nên A có nhiều hơn hai ưóc. Vậy A là hợp số

B  là hợp số vì $B⋮5;B>5$ .

C  là hợp số vì $C⋮ 13;C>13$ .

 D là hợp số vì $D ⋮3;D>3$ .

a) 53 là số nguyên tố                                         

b) $45+56+729$  là hợp số

c) 151 là số nguyên tố                                      

d) 5.7.8.11-132 là hợp số

a) Mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 3. Tổng chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số.

b) Mỗi số hạng của hiệu đều chia hết cho 7. Hiệu chia hết cho 7 và lớn hơn 7 nên là hợp số.

c) Mỗi số hạng của tổng đều là số lẻ nên tổng là số chẵn. Tổng chia hết cho 2 và lớn hơn 2 nên là hợp số.

d) Tổng tận cùng bằng 5 nên chia hết cho 5. Tổng này lại lớn hơn 5 nên là hợp số.

a) Đúng, ví dụ: 2 và 3.

b) Đúng, ví dụ: 3, 5 và 7.

c) Sai, ví dụ: 2 là số nguyên tố chẵn.

Bổ sung thêm điều kiện để câu sau trở thành câu đúng :

Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.

d) Sai, ví dụ 5 là số nguyên tố tận cùng là 5.

Bổ sung : Mọi số nguyên tố lớn hơn 5 đều tận cùng bởi một trong các chữ số 1;3;7;9

Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn.

Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2.

Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3.

Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố.

Tích của hai số nguyên tố giống nhau p.p có ba ước là $1,p$  và $p^2$ . Tích của hai số nguyên tố khác nhau $p_1.p_2$  có bốn ước là $1,p_1,p_2$  và $p_1.p_2$

Vậy tích của hai số nguyên tố là một hợp số.

Vì p là số nguyên tố và p>3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: $3k+1,3k+2$  với $k\in N*$ .

- Nếu $p=3k+2$  thì $p+4=3k+6=3\left(k+2\right)$ => $p+4 ⋮3$và $p+4>3$

Do đó p+4 là hợp số (Trái với đề bài p+4 là số nguyên tố).

- Nếu $p=3k+1$  thì  $p+8=3k+9=3\left(k+3\right)$=> $p+8⋮ 3$  và $p+8>3$ . Do đó $p+8$  là hợp số.

Vậy số nguyên tố p có dạng: $p=3k+1$  thì p+8 là hợp số.

Vì p là số nguyên tố và p>3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: $3k+1,3k+2$  với $k\in N*$ .

- Nếu $p=3k+2$  thì $p+4=3k+6=3\left(k+2\right)$ => $p+4 ⋮3$và $p+4>3$

Do đó p+4 là hợp số (Trái với đề bài p+4 là số nguyên tố).

- Nếu $p=3k+1$  thì  $p+8=3k+9=3\left(k+3\right)$=> $p+8⋮ 3$  và $p+8>3$ . Do đó $p+8$  là hợp số.

Vậy số nguyên tố p có dạng: $p=3k+1$  thì p+8 là hợp số.

Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số dư: 0;1;2;3. Do đó mọi số tự nhiên n  đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng: $4k,4k+1,4k+2,4k+3$  với $k\in N*$

- Nếu $n=4k$ => $n⋮4$ => n là hợp số.

- Nếu $n=4k+2$=> $n⋮2$ => n   là hợp số.

Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng $4k+1$  hoặc $4k-1$ . Hay mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng $4n+1$  hoặc $4n–1$  với $n\in N*.$

Vì p là số nguyên tố và p>3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: $3k+1,3k+2$ với k $\in$ N*.

- Nếu $p=3k+1$  thì $p+2=3k+3=3\left(k+1\right)$=> $p+2 ⋮3$   và  $p+2>3$

$=> p+2$ là hợp số ( Trái với đề bài p+2 là số nguyên tố).

- Nếu $p=3k+2$  thì $p+1\text{=}3k+3=3\left(k+1\right)$  (1).

Do p là số nguyên tố và p>3 => p  lẻ -> k lẻ => k+1 chẵn  => k+12 (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow p+1⋮6$