Dạng 1.3: Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số có đáp án

a) A chia hết cho 2 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 2.

b) Ta tách ghép các số hạng của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 3. Khi đó: $A=2+2^2+2^3+\mathrm{...}+2^{20}$

$=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+\mathrm{...}+\left(2^{19}+2^{20}\right)$

$=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+\mathrm{...}+2^{19}\left(1+2\right)$

$=3.\left(2+2^3+\mathrm{...}+2^{19}\right)$

Từ đó A chia hết cho 3.

c) Ta có:$A=2+2^2+2^3+\mathrm{...}+2^{20}$

    $=\left(2+2^3\right)+\left(2^2+2^4\right)+\left(2^5+2^7\right)+\mathrm{...}+\left(2^{17}+2^{19}\right)+ \left(2^{18}+2^{20}\right)$            

     $=5.\left(2+2^2+2^5+\dots +2^{17}+2^{18}\right)$

Từ đó A chia hết cho 5.

a) B chia hết cho 3 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 3.

b) Ta tách ghép các số hạng của B thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 4. Khi đó: $B=3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^{120}$

$=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+\mathrm{...}+\left(3^{19}+3^{120}\right)$

$=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+\mathrm{...}+3^{119}\left(1+3\right)$

$=4.\left(\text{3 }+3^3+\mathrm{...}+3^{119}\right)$

Từ đó B chia hết cho 4.

c) Ta có:$B=3+3^2+3^3+\mathrm{...}+{\text{ 3}}^{120}$

$=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+\left(3^7+3^8+3^9\right)+\mathrm{...}+\left(3^{115}+3^{116}+3^{117}\right)+ \left(3^{118}+3^{119}+3^{120}\right)$

$=13.\left(3+3^4+3^7+\dots +2^{115}+2^{117}\right)$

Từ đó B chia hết cho 13.

a) C chia hết cho 5 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 5.

b) Ta tách ghép các số hạng của C thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 6. Khi đó: $C=5+5^2+5^3+\mathrm{...}+5^{20}$

$=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\mathrm{...}+\left(5^{19}+5^{20}\right)$

$=5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+\mathrm{...}+5^{19}\left(1+5\right)$

$=6.\left(\text{5 }+5^3+\mathrm{...}+5^{19}\right)$

Từ đó C chia hết cho 6.

c) Ta có: $C=5+5^2+5^3+\mathrm{...}+5^{20}$            

$=\left(5+5^3\right)+\left(5^2+5^4\right)+\mathrm{...}+\left(5^{18}+5^{20}\right)$

$=5.\left(1+25\right)+5^2\left(1+25\right)+\mathrm{....}+5^{18}\left(1+25\right)$

$=26.\left(5+5^2+5^5+\dots +5^{17}+5^{18}\right)$

Từ đó C chia hết cho 13

a) Tổng $24+36$ chia hết cho 12  vì  $24⋮12$; $36⋮12$.

b) Hiệu $120-48$ chia hết cho 12 vì $120⋮12$ ; $48⋮12$

c) Vì $120⋮12$; $72⋮12$ nhưng $255\cancel{⋮}12$. Từ đó suy ra $255+120+72\cancel{⋮}12$.

d) Hiệu $\left(723-123\right)⋮12$; $48⋮12$. Từ đó suy ra $723-123+48⋮12$.

a) Ta có nhận xét để A chia hết cho 5 thì $x⋮5$

Vậy x có dạng: $x=5k\left(k\in N\right)$

b) Để A không chia hết cho 5 thì $x\cancel{⋮}5$

Vậy x có dạng: $x=5k+1$ hoặc $5k+2;5k+3;5k+4\left(k\in N\right)$

a) Tích $396.11$ chia hết cho 9 vì $369⋮9$

b) Tích $\mathrm{2.4.6...12}$ chia hết cho 9 vì $12.6⋮9$.

c) Tích  $\mathrm{38.127.26}$ không chia hết cho 9 vì không có thừa số nào chia hết cho 9.

d) Tích 1.3.5.7 không chia hết cho 9 vì $105\cancel{⋮}9$

A chia hết cho 2 và 5

B chia hết cho 2

C chia hết cho 2; 3 và 5

Ta tách ghép các số hạng của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 3. Khi đó:

$A=2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{...}+2^{19}+2^{20}$

$=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+\mathrm{...}+\left(2^{19}+2^{20}\right)$

$=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+\mathrm{...}+2^{19}\left(1+2\right)$

$=3.\left(\text{2 }+2^3+\mathrm{...}+2^{19}\right)$

Từ đó A chia hết cho 3.

Ta nhóm các số hạng của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 4. Khi đó:

$A=1+3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^{98}+3^{99}$

$=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+\mathrm{...}+\left(3^{98}+3^{99}\right)$

$=4+3^2\left(1+3\right)+\mathrm{...}+3^{98}\left(1+3\right)$ $=4.\left(\text{1 }+3^2+\mathrm{...}+3^{98}\right)$

Từ đó A chia hết cho 4.

+ Xét $A ⋮5$

Tương tự bài 6: Ta nhóm 2 số hạng liên tiếp của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 5.

+ Xét $A ⋮21$

Tương tự bài 6: Ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 21.

Ta nhóm 2 số hạng liên tiếp của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số 6 chia hết cho cả 2 và 3.