Dạng 3: Bội chung nhỏ nhất có đáp án

a) Ta có: $15=3.5$; $18={2.3}^2$.

BCNN$\left(15,18\right)={2.3}^2.5=90$.

b) Ta có: $84=2^2\mathrm{.3.7}$; $108=2^2{.3}^3$

BCNN$\left(84,108\right)=2^2{.3}^3.7=756$

c) Ta có: $33=3.11$; $44=4.11$;$55=5.11$

BCNN$\left(33,44,55\right)=\mathrm{3.4.5.11}=660$

d) Ta có: $8=2^3$,$18={2.3}^2$ ,$30=\mathrm{2.3.5}$ .

BCNN$\left(8,18,30\right)=2^3{.3}^2.5=240$

a) Ta có: $10=2.5$;$12=2^2.3$ .

BCNN$\left(10,12\right)$$=2^3\mathrm{.3.5}=60$

b) Ta có: $24=2^3.3$;$10=2.5$

BCNN$\left(24,10\right)$$=2^3\mathrm{.3.5}=120$

c) Ta có: $4=2^2$; $14=2.7$; $26=2.13$

BCNN$\left(4,14,26\right)$$=2^2\mathrm{.7.13}=364$

d) Ta có: $6=2.3$,$8=2^3$ ,$10=2.5$ .

BCNN$\left(6,8,10\right)$$=2^3\mathrm{.3.5}=120$

Ta có BCNN$\left(8,10\right)=40$

Vậy BC$\left(8,10\right)=\left\{0;40;80;\mathrm{120...}\right\}$

Ta có BCNN$\left(8,12,15\right)=120$

Vậy BC$\left(8,12,15\right)=\left\{0;120;240;\mathrm{360...}\right\}$

Vì $x⋮4$; $x⋮6$ nên $x\in$BC$\left(4,6\right)=\left\{0;12;24;36;48;60;\mathrm{...}\right\}$

Mà $0<x<50$ nên  $x\in$$\left\{0;12;24;36;48\right\}$

Vì  $x⋮20$; $x⋮35$ nên $x\in$ BC $\left(20,35\right)=\left\{0;140;280;420;560;\mathrm{...}\right\}$

Mà $x<500$ nên $x\in$$\left\{0;140;280;420\right\}$

Ta có BCNN$\left(7,9,6\right)=122$

Vậy BC$\left(7,9,6\right)=\left\{0;122;244;\mathrm{366...}\right\}$

a) BCNN$\left(a,b\right)=60$  $\Rightarrow 60⋮a,60⋮b$ . Hay a, b là ước tự nhiên của 60.

Các ước tự nhiên của 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Vì  a-b = 5 nên a>b .

Ta xét bảng sau

Vậy cặp số tự nhiên cần tìm là 20 và 15.

b) ƯCLN$\left(a,b\right)=5$ => $a=5a_1;b=5b_1$ và $\left(a_1,b_1\right)=1$

 Ta có 

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp số tự nhiên $\left(a,b\right)$ cần tìm là: $\left(5,60\right);\left(60,5\right);\left(15,20\right);\left(20,15\right)$

a) BCNN$\left(a,b\right)=60$$\Rightarrow 60⋮a,60⋮b$. Hay a, b là ước tự nhiên của 60.

Các ước tự nhiên của 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Vì a-b=4 nên a>b.

Ta xét bảng sau

Vậy không tìm được cặp số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

b) ƯCLN$\left(a,b\right)=5$ => $a=5a_1;b=5b_1$ và $\left(a_1,b_1\right)=1$

 Ta có $a.b=5.150=750\Rightarrow a_1.b_1=30$

Ta có bảng sau:

Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có các cặ đảo ngược vị trí. Vậy các cặp số tự nhiên $\left(a,b\right)$ cần tìm là: $\left(5,150\right);\left(150,5\right);\left(10,75\right);\left(75,10\right);\left(15,50\right);\left(50,15\right);\left(25,30\right);\left(30,25\right)$

a) Gọi ƯCLN$\left(a,b\right)=k$$\Rightarrow a=k{a}_1;b=k{b}_1$ với $\left(a_1,b_1\right)=1$

Ta có: $ab=k^2{a}_1{b}_1=180$ . Mà BCNN$\left(a,b\right)=k{a}_1{b}_1=60$

Suy ra $k=3;a_1{b}_1=20$

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp số tự nhiên $\left(a,b\right)$ cần tìm là: $\left(3;60\right),\left(60;3\right),\left(12;15\right),\left(15;12\right)$

b) Gọi ƯCLN$\left(a,b\right)=k$. Vì $\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$ mà $\left(4,5\right)=1$ nên $a=4k,b=5k$.

BCNN$\left(a,b\right)=\mathrm{4.5.}k=140\Rightarrow k=7$

Vậy $a=28,b=35$

Gọi ƯCLN$\left(a,b\right)=k$. Nên $a=k{a}_1,b=k{b}_1$

Ta có $a+b=42\Rightarrow k\left(a_1+b_1\right)=42$ (1)

BCNN $\left(a,b\right)=k{a}_1{b}_1=72$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $42⋮k,72⋮k$ hay $k\in$ƯC$\left(42,72\right)$ $\Rightarrow k\in \left\{1;2;3;6\right\}$

Thay k lần lượt các trường hợp trên ta thấy k = 3 hoăc k = 6

Khi đó: tìm được các cặp $\left(a,b\right)$ là $\left(6,36\right)$, $\left(18,24\right)$.

Gọi số sách cần tìm là x quyển, ( $x\in \mathbb{N},200\le x\le 500$)

Vì khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên $x⋮10$, $x⋮12$, $x⋮18$ suy ra .

BCNN$\left(10,12,18\right)=360$

BC$\left(10,12,18\right)=\left\{0;360;720;\mathrm{...}\right\}$

Suy ra $x\in \left\{0;360;720;\mathrm{...}\right\}$, mà $200\le x\le 500$ nên $x=360$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số quyển sách cần tìm là 360 quyển.

Do cứ 10 ngày A trực nhật một lần nên ngày trực của A là B$\left(10\right)$.

Do cứ 12 ngày B trực nhật một lần nên ngày trực của B là B$\left(12\right)$.

Lần đầu tiên hai bạn trực cùng 1 ngày, để đến lần gần nhất trực cùng nhau thì sẽ là BCNN$\left(10,12\right)=60$

Vậy sau ít nhất 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Gọi số học sinh khối 6 của trường cần tìm là x học sinh, ($x\in \mathbb{N},300\le x\le 400$)

Vì khi xếp thành 5, 8, 12 thì thiếu 1 em nên $x=5k-1$ ,$x=8t-1$ , $x=12m-1$ suy ra x là 1 bôi chung của 5, 8, 12 trừ 1.

BCNN$\left(5,8,12\right)=120$

BC$\left(5,8,12\right)=\left\{0;120;240;360;480;\mathrm{600...}\right\}$

Suy ra $x+1\in \left\{0;120;240;360;480;\mathrm{600...}\right\}$, mà $300\le x\le 400\Rightarrow 301\le x+1\le 401$ nên $x+1=360\Rightarrow x=359$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh khối 6 là 359 học sinh.

Gọi x là số cần tìm.

Vì x chia 3 dư 2, chia cho 7 thì dư 6, chia cho 25 thì dư 24. Nên x+1 chia hết cho 2, 7, 25.

Do đó x+1= BCNN$\left(3,7,25\right)=525$

Vậy số cần tìm là 525 – 1 = 524.

Gọi chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là x (cm).

Ta có: x= BCNN$\left(7,8,12\right)=2^3\mathrm{.3.7}=168$

Vậy chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là 168 (cm)

Ta có: x-1= BC$\left(2,3,4,5,6\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x-1\in \left\{60;120;180;240;300;360\right\}\\ \Rightarrow x\in \left\{61;121;181;241;301;361\right\}\end{array}$

Do x chia hết cho 7 nên x = 301.

Gọi số đội viên của liên đội là x (đội viên).

Vì xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 ngươi nên: $x-1\in$BC$\left(2,3,4,5\right)$.

BCNN$\left(2,3,4,5\right)=2^2\mathrm{.3.5}=60$

BC$\left(2,3,4,5\right)=\left\{0;60;120;180;240;\mathrm{...}\right\}$

Mà số đội viên trong khoảng từ 100 đến 150.

Nên $x-1=120\Rightarrow x=121$ đội viên.

Gọi số răng cưa phải tìm là x (răng).

Ta có $x⋮12;x⋮8$. Vì x nhỏ nhất nên x là BCNN$\left(8,12\right)=2^2{3}^2=36$.

Vậy mỗi bánh xe phải quay ít nhất 36 răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước.

Khi đó: Bánh xe thứ nhất quay được 36 : 18 = 2 vòng

             Bánh xe thứ hai quay được 36 : 12 = 3 vòng.