d) Ta có: $6=2.3$ ,$8=2^3$ ,$10=2.5$ .

Ta có BCNN$\left(8,10\right)=40$

Vậy BC$\left(8,10\right)=\left\{0;40;80;\mathrm{120...}\right\}$

Ta có BCNN$\left(8,12,15\right)=120$

Vậy BC$\left(8,12,15\right)=\left\{0;120;240;\mathrm{360...}\right\}$

Vì $x⋮4$ ; $x⋮6$  nên $x\in$ BC$\left(4,6\right)=\left\{0;12;24;36;48;60;\mathrm{...}\right\}$

Mà $0<x<50$  nên  $x\in$$\left\{0;12;24;36;48\right\}$

Vì  $x⋮20$ ; $x⋮35$  nên $x\in$  BC $\left(20,35\right)=\left\{0;140;280;420;560;\mathrm{...}\right\}$

Mà $x<500$  nên $x\in$$\left\{0;140;280;420\right\}$

Ta có BCNN $\left(7,9,6\right)=122$

Vậy BC$\left(7,9,6\right)=\left\{0;122;244;\mathrm{366...}\right\}$

a) BCNN$\left(a,b\right)=60$  $\Rightarrow 60⋮a,60⋮b$ . Hay a, b là ước tự nhiên của 60.

Các ước tự nhiên của 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Vì  a-b = 5 nên a>b  .

Ta xét bảng sau

Vậy cặp số tự nhiên cần tìm là 20 và 15.

b) ƯCLN$\left(a,b\right)=5$ => $a=5a_1;b=5b_1$  và $\left(a_1,b_1\right)=1$

 Ta có 

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp số tự nhiên $\left(a,b\right)$  cần tìm là: $\left(5,60\right);\left(60,5\right);\left(15,20\right);\left(20,15\right)$

a) BCNN$\left(a,b\right)=60$$\Rightarrow 60⋮a,60⋮b$ . Hay a, b là ước tự nhiên của 60.

Các ước tự nhiên của 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Vì a-b=4 nên a>b.

Ta xét bảng sau

Vậy không tìm được cặp số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

b) ƯCLN$\left(a,b\right)=5$ => $a=5a_1;b=5b_1$  và $\left(a_1,b_1\right)=1$

 Ta có $a.b=5.150=750\Rightarrow a_1.b_1=30$

Ta có bảng sau:

Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có các cặ đảo ngược vị trí. Vậy các cặp số tự nhiên $\left(a,b\right)$  cần tìm là: $\left(5,150\right);\left(150,5\right);\left(10,75\right);\left(75,10\right);\left(15,50\right);\left(50,15\right);\left(25,30\right);\left(30,25\right)$

a) Gọi ƯCLN$\left(a,b\right)=k$$\Rightarrow a=k{a}_1;b=k{b}_1$  với $\left(a_1,b_1\right)=1$

Ta có: $ab=k^2{a}_1{b}_1=180$  . Mà BCNN $\left(a,b\right)=k{a}_1{b}_1=60$

Suy ra $k=3;a_1{b}_1=20$

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp số tự nhiên $\left(a,b\right)$  cần tìm là: $\left(3;60\right),\left(60;3\right),\left(12;15\right),\left(15;12\right)$

b) Gọi ƯCLN$\left(a,b\right)=k$ . Vì $\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$  mà $\left(4,5\right)=1$  nên $a=4k,b=5k$ .

BCNN$\left(a,b\right)=\mathrm{4.5.}k=140\Rightarrow k=7$

Vậy $a=28,b=35$

Gọi ƯCLN$\left(a,b\right)=k$ . Nên $a=k{a}_1,b=k{b}_1$

Ta có $a+b=42\Rightarrow k\left(a_1+b_1\right)=42$  (1)

BCNN $\left(a,b\right)=k{a}_1{b}_1=72$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $42⋮k,72⋮k$  hay $k\in$ ƯC$\left(42,72\right)$ $\Rightarrow k\in \left\{1;2;3;6\right\}$

Thay k lần lượt các trường hợp trên ta thấy k = 3 hoăc k = 6

Khi đó: tìm được các cặp $\left(a,b\right)$  là $\left(6,36\right)$ , $\left(18,24\right)$ .

Gọi số sách cần tìm là x quyển, ( $x\in \mathbb{N},200\le x\le 500$)

Vì khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên $x⋮10$ , $x⋮12$ , $x⋮18$  suy ra .

BCNN $\left(10,12,18\right)=360$

BC$\left(10,12,18\right)=\left\{0;360;720;\mathrm{...}\right\}$

Suy ra $x\in \left\{0;360;720;\mathrm{...}\right\}$ , mà $200\le x\le 500$  nên $x=360$  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số quyển sách cần tìm là 360 quyển.

Do cứ 10 ngày A trực nhật một lần nên ngày trực của A là B$\left(10\right)$ .

Do cứ 12 ngày B trực nhật một lần nên ngày trực của B là B$\left(12\right)$ .

Lần đầu tiên hai bạn trực cùng 1 ngày, để đến lần gần nhất trực cùng nhau thì sẽ là BCNN$\left(10,12\right)=60$

Vậy sau ít nhất 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

Gọi số học sinh khối 6 của trường cần tìm là x học sinh, ($x\in \mathbb{N},300\le x\le 400$ )

Vì khi xếp thành 5, 8, 12 thì thiếu 1 em nên $x=5k-1$  ,$x=8t-1$ , $x=12m-1$  suy ra x là 1 bôi chung của 5, 8, 12 trừ 1.

BCNN$\left(5,8,12\right)=120$

BC$\left(5,8,12\right)=\left\{0;120;240;360;480;\mathrm{600...}\right\}$

Suy ra $x+1\in \left\{0;120;240;360;480;\mathrm{600...}\right\}$ , mà $300\le x\le 400\Rightarrow 301\le x+1\le 401$  nên $x+1=360\Rightarrow x=359$  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh khối 6 là 359 học sinh.

Gọi chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là x (cm).

Ta có: x= BCNN $\left(7,8,12\right)=2^3\mathrm{.3.7}=168$

Vậy chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là 168 (cm)

Ta có: x-1=  BC$\left(2,3,4,5,6\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x-1\in \left\{60;120;180;240;300;360\right\}\\ \Rightarrow x\in \left\{61;121;181;241;301;361\right\}\end{array}$

Do x chia hết cho 7 nên x = 301.

Gọi số đội viên của liên đội là x (đội viên).

Vì xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 ngươi nên: $x-1\in$ BC$\left(2,3,4,5\right)$.

BCNN$\left(2,3,4,5\right)=2^2\mathrm{.3.5}=60$

BC$\left(2,3,4,5\right)=\left\{0;60;120;180;240;\mathrm{...}\right\}$

Mà số đội viên trong khoảng từ 100 đến 150.

Nên $x-1=120\Rightarrow x=121$  đội viên.

Gọi số răng cưa phải tìm là x (răng).

Ta có $x⋮12;x⋮8$ . Vì x nhỏ nhất nên x là BCNN$\left(8,12\right)=2^2{3}^2=36$ .

Vậy mỗi bánh xe phải quay ít nhất 36 răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước.

Khi đó: Bánh xe thứ nhất quay được 36 : 18 = 2 vòng

             Bánh xe thứ hai quay được 36 : 12 = 3 vòng.