Số tự nhiên x thõa mãn $90⋮x;150⋮x$  nên $x\in$  ƯCLN$\left(90,150\right)$

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

$90={2.3}^2.5,$$150={\mathrm{2.3.5}}^2$

Từ đó ƯCLN$\left(90,150\right)=\mathrm{2.3.5}=30$

Mà Ư(30)={1;2;3;5;6;10;15;30}

Vì $5<x<30$ nên $x\in \left\{6;10;15\right\}$

Ta có ƯCLN$\left(a,b\right)=3$  nên $a=3k,b=3m$  và ƯCLN$\left(k,m\right)=1$

Giả sử $a>b\Rightarrow k>m$ . Ta có $a.b=891$$\Rightarrow 3k.3m=891\Rightarrow k.m=3^2.11$

TH1: $k=11,m=9$$\Rightarrow a=33;b=27$

TH2: $k=99,m=1$$\Rightarrow a=297;b=3$

Để A là một số tự nhiên thì 2n+1 phải là ước của 15

Ta có Ư$\left(15\right)=\left\{1;3;5;15\right\}$

Do đó:

+ Với  $2n+1=1$ $\Rightarrow n=0,A=15$

+ Với  $2n+1=3$$\Rightarrow n=1,A=5$

+ Với  $2n+1=5$$\Rightarrow n=2,A=3$

+ Với  $2n+1=15$$\Rightarrow n=7,A=1$

a) $\left(x+1\right)\left(y-5\right)$=6=2.3=3.2=6.1=1.6

Ta có bảng sau:

Vậy $\left(x;y\right)=\left\{\left(1;8\right),\left(2;7\right),\left(5;6\right),\left(0;11\right)\right\}$

b) $\left(2x+1\right)\left(2y-1\right)=15$

=1.15=3.5=5.3=15.1

Ta có bảng sau:

Vậy $\left(x;y\right)=\left\{\left(0;8\right),\left(1;3\right),\left(2;2\right),\left(7;1\right)\right\}$

Gọi a là số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì $(a\in {{\rm N}}^{*};a<24)$

Để số phần thưởng là nhiều nhất thì a phải là số lớn nhất sao cho $24⋮a;48⋮a;36⋮a$

Tức là $a=$ ƯCLN$\left(24,48,36\right)$

Ta có $24=2^3.3,48=2^4.3,36=2^2{.3}^2$

Từ đó ƯCLN  $\left(24,48,36\right)=2^2.3=12$$\Rightarrow a=12$

Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 phần thưởng.

Trong đó có 2 quyển vở, 4 bút bi, 3 gói bánh.

Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh hình vuông phải là ước chung của 150 và 90

Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN $\left(90,150\right)=30$

Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là 30m

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

$22=\mathrm{2.11.1},$$5=1.5$

Từ đó ƯCLN$\left(22,5\right)=1$

Vậy 22 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Gọi d= ƯCLN (n + 1, n + 2)

\(\left\{ \begin{array}{l}n + 2 \vdots d\\n + 1 \vdots d\end{array} \right.\)  ⇒ (n + 2) − (n + 1)⋮d

1 ⋮ d

 d=1

Từ đó ƯCLN(n + 1, n + 2) = 1

Vậy n + 1 và n + 2 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi ∈ ℕ

b) 2n+2 và 2n+3

Gọi d= ƯCLN$\left(2n+2,2n+3\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2n+2⋮d\\ 2n+3⋮d\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d$$\Rightarrow 1⋮d$$\Rightarrow d=1$

Từ đó ƯCLN$\left(2n+2,2n+3\right)=1$

Vậy 2n+2 và 2n+3 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi $n\in {\rm N}$ .

c) 2n+1 và n+1

Gọi  d=ƯCLN$\left(2n+1,n+1\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}n+1⋮d\\ 2n+1⋮d\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2(n+1)⋮d\\ 2n+1⋮d\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d$$\Rightarrow 1⋮d$$\Rightarrow d=1$

Từ đó ƯCLN$\left(2n+1,n+1\right)=1$

d) n+1 và 3n+4

Gọi d= ƯCLN$\left(n+1,3n+4\right)$

     $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}n+1⋮d\\ 3n+4⋮d\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3(n+1)⋮d\\ 3n+4⋮d\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(3n+4\right)-\left(3n+3\right)⋮d$$\Rightarrow 1⋮d$$\Rightarrow d=1$  

Từ đó ƯCLN$\left(n+1,3n+4\right)=1$