Dạng 2: Phiếu luyện tập số 2 có đáp án

a. Xét tam giác ABC ta có:

MN // BC (gt)

Mặt khác M là trung điểm của cạnh AB.

Suy ra N là trung điểm cạnh AC.

Gọi N là trung điểm cạnh AC. Suy ra BN là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

Vì $\Delta ABC$ là tam giác cân tại A nên dễ dàng chứng minh được BN = CM. (1)

Xét tam giác $\Delta ACD$ có B, N lần lượt là trung điểm cạnh AD và AC.

=> BN là đường trung bình của tam giác của $\Delta ACD$.

$\Rightarrow BN=\frac{1}{2}DC\Rightarrow DC=2BN$. (2)

Từ (1) (2) suy ra CD = 2CM.

a) Xét tam giác $\Delta ABC$ cân tại A có AM là đường cao.

Suy ra AM cũng là đường trung tuyến.

Ta có: $\Delta ABC$ có M, N lần lượt là trung điểm cạnh BC và AC.

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC.

=> MN // AB

Mà M, N, E thẳng hàng nên => ME // AB.

b. Xét $\Delta ANE$  và $\Delta CNM$ có:

$\widehat{AEN}=\widehat{CMN}$ (so le trong)

NA = NC (gt).

$\widehat{ANE}=\widehat{CNM}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow \Delta ANE=\Delta CNM\left(c.g.c\right)$.

=> AE = MC( cặp cạnh tương ứng).

a. Tam giác AEM có I là trung điểm của AM, ID // ME nên AD = DE.  (1)

Tam giác BCD có M là trung điểm của BC, ME // BD nên DE = EC.   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD = DE = EC.

b, Tam giác AME có  I, D lần lượt là trung điểm của AM, AE.

=> ID là đường trung bình của tam giác AME.

$\Rightarrow ID=\frac{1}{2}ME$ (3)

Tương tự ME là đường trung bình của tam giác BCD

$\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BD$ (4)

Từ (3) (4) ta có: $\Rightarrow ID=\frac{1}{2}ME=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}BD$.

a) Xét tam giác ADB có F là trung điểm của BD, EP // AB nên P là trung điểm của AD.

=> PB = PD.

Xét tam giác ACB có E là trung điểm của AC, EQ // AB nên Q là trung điểm của BC.

=> QB = QC.

b, Ta có tam giác ADB có F là trung điểm của BD, P là trung điểm của AD.

=> PF là đường trung bình của tam giác ADB $\Rightarrow PF=\frac{1}{2}AB=3\text{\hspace{0.17em}cm}$.

Tương tự ta có EQ là đường trung bình của tam giác ACB $\Rightarrow EQ=\frac{1}{2}AB=3\text{\hspace{0.17em}cm}$.

Xét tam giác ACD có P, E lần lượt là trung điểm của AD, AC.

=> PE là đường trung bình của tam giác ACD.

$\Rightarrow PE=\frac{1}{2}CD$  mà $PE=PF+FE=3+5=8\text{\hspace{0.17em}cm}$. Suy ra $CD=2.PE=16\text{\hspace{0.17em}cm}$

a, Xét hình thang ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD.

=> MN // AB // DC.

Mà $AB\perp AD$ nên $MN\perp AD$.

Tam giác AMD có MN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân.

b, Tam giác AMD cân tại M nên $\widehat{MAD}=\widehat{MDA}$.

Mặt khác $\widehat{MAD}+\widehat{MAB}=90°$, $\widehat{MDA}+\widehat{MDC}=90°$.

Suy ra: $\widehat{MAB}=\widehat{MDC}$.

Xét tam giác $\Delta ADC$ và $\Delta DBC$ có  DC chung, $\widehat{D}=\widehat{C}$(gt), AD = BC (gt).

Suy ra: $\Delta ADC=\Delta DBC\left(c.g.c\right)$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{ADC}$( Cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{OCD}\Rightarrow \Delta OCD$ là tam giác cân, mà góc $\widehat{DOC}=60°$.

=> $\Rightarrow \Delta OCD$ là tam giác đều.

Tương tự tam giác OAB là tam giác đều.

Ta có $\Delta OCD, \Delta OAB$ là các tam giác đều, BM, CN là các đường cao nên là trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm OA, N là trung điểm OD. Do đó MN là đường trung bình của tam giác OAD $\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AD$    (1)

Mặt khác PM, PN là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông $△$MBC và $△$NBC nên  $PM=PN=\frac{1}{2}BC$  (2)

Mà AD = BC   (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: PM = PN = MN. Vậy tam giác MNP là tam giác đều.

a, Xét hình thang ANFD (AD // NF ) có M là trung điểm AN, ME // AD.

=> E là trung điểm DF => DE = EF  (1)

Xét hình thang MEGP (ME // GP) có N là trung điểm MP, NF // ME

=> F là trung điểm FC => GC = FG  (2)

Xét hình thang NFCB (NF // CB) có P là trung điểm NB, PG // NF.

=> G là trung điểm FC => GC = FG  (3).

Từ (1) (2) (3) suy ra EG => DE = EF= FG = FC .

b, Gọi B', N', F', E' lần lượt là hình chiếu vuông góc B, N, F, E lên AD.

Xét tam giác ABB' có N là trung điểm AB, NN' // BB' ( cùng vuông góc AD).

=> N' là trung điểm AB' => NN' là đường trung bình của $△$ABB'.

$\Rightarrow NN\text{'}=\frac{1}{2}BB\text{'}$.

Tương tự ta có xét tam giác $\Delta DFF\text{'}$ có EE' là đường trung bình.

$\Rightarrow FF\text{'}=2EE\text{'}$.

Mà NN' = FF' do đó NN' = 2EE'

Ta có $S_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}BB\text{'}.AD=NN\text{'}.AD, S_{\Delta ABE}=\frac{1}{2}EE\text{'}.AD=\frac{1}{4}NN\text{'}.AD$

$\Rightarrow \frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ABE}}=\frac{\frac{1}{2}BB\text{'}.AD}{\frac{1}{2}EE\text{'}.AD}=\frac{NN\text{'}.AD}{\frac{1}{4}NN\text{'}.AD}=4$

$\Rightarrow S_{\Delta ABD}=4S_{\Delta ABE}$

a, Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình nên MN // AB // CD.

Do MN // AB nên $\widehat{A_2}=\widehat{I_2}$ ( hai góc so le trong), mà $\widehat{A_2}=\widehat{A_1}$(gt).

Suy ra: $\widehat{A_1}=\widehat{I_2}$ do đó tam giác AIM là tam giác cân tại M.

Tương tự chứng minh được tam giác BKN là tam giác cân tại N .

b, Tam giác AIM cân ở Mnên MA = MI, mà MA = MD(gt)

$\Rightarrow MI=MD\Rightarrow \Delta MID$ cân ở M nên $\widehat{D_1}=\widehat{I_1}$ mà $\widehat{D_2}=\widehat{I_1}$ (cặp góc so le trong).

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{D_2}=\frac{1}{2}\widehat{D}$.

Ta có: $\widehat{{\text{ A}}_1}=\frac{1}{2}\widehat{\text{A}}, \widehat{D_1}=\frac{1}{2}\widehat{\text{D}}\Rightarrow \widehat{A_1}+\widehat{D_1}=\frac{1}{2}(\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{D}})=\frac{1}{2}.180°=90°$

Do đó tam giác AID là tam giác vuông tại .

Tương tự ta có $\Delta NJC$ cân tại N nên $\widehat{J_2}=\widehat{C_1}$ mà $\widehat{C_2}=\widehat{J_2}$ ( cặp góc so le trong).

$\Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{C_2}$.

Ta có: $\widehat{{\text{ B}}_1}=\frac{1}{2}\widehat{\text{B}}, \widehat{C_1}=\frac{1}{2}\widehat{\text{C}}\Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{C_1}=\frac{1}{2}(\widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}})=\frac{1}{2}.180°=90°$

Suy ra tam giác BJC vuông tại J.

c, Theo câu b, ta có: MA = MI  = MD. Suy ra $MI=\frac{1}{2}AD$.

JN = NB = NC. Suy ra $JN=\frac{1}{2}BC$.

Gọi M' là hình chiếu của M trên d.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BB\text{'}\perp d\\ C\text{'}C\perp d\\ MM\text{'}\perp d\end{array}\right.\Rightarrow MM\text{'}//BB\text{'}//CC\text{'}$. Suy ra tứ giác BB'C'C  là hình thang.

M là trung điểm của BC, MM' // BB' // CC'. Suy ra MM' là đường trung bình của hình thang BB'C'C.

$\Rightarrow MM\text{'}=\frac{BB\text{'}+CC\text{'}}{2}\Rightarrow 2MM\text{'}=BB\text{'}+CC\text{'}$. (1)

Mặt khác $\Delta AA\text{'}I=\Delta MM\text{'}I(c.g.c)$. Do đó MM' = AA'.    (2)

Từ (1) và (2) suy ra => 2AA' = BB' + CC'.