Sử dụng tính chất đối xứng trục

=> AE = AF (=AM) (1)

Sử dụng tính chất của tam giác cân

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2};\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$ 

Từ đó chỉ ra được $\widehat{\text{AEF}}={180}^0\Rightarrow A,E,F$ thẳng hàng (2)

(1)(2) => đpcm.

a) Trục đối xứng của $\Delta ABC$ là đường phân giác của $\widehat{B}$ 

a)     Hình đối xứng qua d của đỉnh A là C, của đỉnh B là B, của đỉnh C là A, của cạnh AB là cạnh CB, của cạnh AC là AC.

* Cách dựng:

- Dựng D đối xứng với A qua Ox

- Dựng E đối xứng với A qua Oy

- Ox, Oy cắt DE tại B và C.

* Chứng minh:

Gọi B’, C’ là các điểm bất kì thuộc Ox, Oy. Ta có:

$AC+CB+BA=EC+CB+B\text{D}=E\text{D}$ (1)

$AC\text{'}+C\text{'}B\text{'}+B\text{'}A\text{'}=EC\text{'}+C\text{'}B\text{'}+B\text{'}D\text{'}$ (2)

Do $E\text{D}\le \text{EC'+C'B'+B'D'}$  nên chu vi $ABC\le$ chu vi $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d

=> A' cố định.

Vì $C\in d\Rightarrow CA=CA\text{'}$ (tc đối xứng trục)

Ta có: $P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC$ 

$=AB+(CA\text{'}+CB)\ge AB+BA\text{'}$ (không đổi).

Dấu “=” xảy ra tức chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và BA'

 a) Tam giác ACM có đường phân giác CE cũng là đường cao nên là tam giác cân, suy ra CE là đường trung trực của AM. Vậy M đối xứng với A qua CE. Tương tự N đối xứng với A qua BD.

a) E là điểm đối xứng với AB qua AB $\Rightarrow AE=AD \left(1\right) ; \widehat{BAE}=\widehat{BAD} \left(2\right)$

=> AF = AD là điểm đối xứng với D qua AB$\Rightarrow AF=AD \left(3\right); \widehat{CAF}=\widehat{CAD} \left(4\right)$

Từ (1) và (3) suy ra $AE=AF\left(5\right)$.

 Từ (2) và (4) suy ra

$\widehat{DAE}+\widehat{DAF}=2\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)=2\widehat{BAC}={180}^0$ do đó $\widehat{EAF}={180}^0$ nên A, E, F thẳng hàng (6)

Từ (5) và (6) suy ra A là trung điểm của EF,

 b) Ta có EF = 2AD nên: EF nhỏ nhất <=> AD nhỏ nhất <=> D là chân đường cao kẻ từ A đến BC.

a) Chứng minh tương tự bài 2 ý a

b) Chỉ ra $\widehat{\text{ADB}}=\widehat{\text{AHB}}=90°; \widehat{\text{AEC}}=\widehat{\text{AHC}}=90°$

Từ đó suy ra DB // EC => DBCE là hình thang có $\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{E}}=90°$ , do vậy BDEC là hình thang vuông tại D và E.

c) BH = 2cm, CH = 8cm.

Trong tam giác ABH vuông tại H, theo định lý Pitago: ${\text{AH}}^2={\text{AB}}^2-{\text{BH}}^2={\text{AB}}^2-4$ 

Trong tam giác ACH vuông tại H, theo định lý Pitago ${\text{AH}}^2={\text{AC}}^2-{\text{CH}}^2={\text{AC}}^2-64$ 

Suy ra: $2{\text{AH}}^2={\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2-68$ 

Lại có ${\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2={\text{BC}}^2=100$ , suy ra $2{\text{AH}}^2=100-68=32\Rightarrow {\text{AH}}^2=16$ 

Vậy AH = 4 

Đặt là chu vi hình thang BDEC.

Ta có $\text{BD}=\text{BH},\text{DE}=2\text{DA}=2\text{HA},\text{EC}=\text{HC}$ . Do đó:

$ℂ=\text{BD}+\text{DE}+\text{EC}+\text{CB}=\text{BH}+2\text{AH}+\text{CH}+\text{CB}=2+8+8+10=28\left(\text{cm}\right)$

a) Tam giác ADE cân tại A, $\widehat{DAE}=140°. \widehat{D_1}=\widehat{E_1}=20°$

c) Các tam giác ADE cân tại A, có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy DE nhỏ nhất <=> cạnh bên AD nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC(Do $\widehat{B},\widehat{C}$ nhọn nên chân đường vuông góc đó nằm trên cạnh BC).

Gọi A’ là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d. Với mỗi điểm C trên đường thẳng d, ta có CA = CA'. Do đó: $\text{CA}+\text{CB}=\text{CA}\text{'}+\text{CB}\ge \text{A}\text{'}\text{B}$.

CA + CB  nhỏ nhất khi CA' + CB = AB , hay C thuộc đoạn A'B. Vậy điểm C thỏa đề bài là giao điểm của đoạn BA’ với đường thẳng d.