Bài tập Xác định các điểm mà đường thẳng đi qua lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.            b) Sai.            c) Đúng.         d) Sai.

a) Đúng.

Thay x = 2; y = 2 vào (d) được:

2(m – 1).2 – 2m = 2

4m – 2 – 2m = 2

2m = 4

m = 2.

b) Sai.

Thay m = 4 vào (d) được: 2(4 – 1)x – 2.4 = y suy ra 6x – y = 8.

Với x = 1; y = 2 thì ta có 6.1 – 2 = 4 ≠ 8.

Do đó với m = 4 thì (d) không đi qua B(1; 2).

c) Đúng.

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua, ta có:

y₀ = 2(m – 1)x₀ – 2m

2mx₀ – 2x₀ – 2m – y₀ = 0

2m(x₀ – 1) – 2x₀ – y₀ = 0

Vì (d) đi qua M cố định với mọi m nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} = 0\end{array} \right.\), suy ra x₀ = 1 và y₀ = −2.

Vậy M(1; −2) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

d) Sai.

Thay x = 1; y = −2 vào (d₁) nhận thấy 3.1 – 2.(−2) = 7 ≠ 1.

Do đó, M không thuộc (d₁).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.                b) Đúng.        c) Đúng.         d) Sai.

a) Sai

Với m = 0 thì ta có (d): y = 4.

Do đó, với m = 0 thì (d): y = 4 song song với trục hoành.

b) Đúng.

Với m = 2 thì (d): y = 6x + 2.

Thay x = −1; y = −4 được 6.(−1) + 2 = −4 (đúng).

Do đó, với m = 2 thì E(−1; −4) thuộc (d).

c) Đúng.

Gọi I(x₀; y₀) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

Ta có: y₀ = 3mx₀ – m + 4

           m(3x₀ – 1) + 4 – y₀ = 0

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3{x_0} - 1 = 0\\4 - {y_0} = 0\end{array} \right.\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{3}\\{y_0} = 4\end{array} \right.\).

Vậy với mọi m thì (d) luôn đi qua \(I\left( {\frac{1}{3};\,\,4} \right)\).

d) Sai.

Thay \(x = \frac{1}{3};\,\,y = 4\) vào (d₁) được: \(6.\frac{1}{3} - 4.3 = 2 - 12 = - 10\) (đúng).

Do đó, \(I\left( {\frac{1}{3};\,\,4} \right)\) thuộc đường thẳng (d₁): 6x – 3y = −10.

Đáp án đúng là: a) Đúng.             b) Sai.             c) Sai.                                                         d) Đúng.

a) Đúng.

Với m = 1 ta có: y = \(\frac{1}{2}\left( {1 - 1} \right)x - \frac{1}{4}.1\) nên \(y = - \frac{1}{4}\).

Do đó, với m = 1 thì (d): \(y = - \frac{1}{4}\) và song song với trục hoành.

b) Sai.

Với m = 3 ta có (d): y = x – \(\frac{3}{4}\).

Thay x = \( - \frac{5}{4}\), y = 2 ta được \( - \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = - 2 \ne 2\)

Do đó, (d) không đi qua điểm \(A\left( { - \frac{5}{4};\,\, - 2} \right)\) khi m = 3.

c) Sai.

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

Ta có: \(\frac{1}{2}\left( {m - 1} \right){x_0} - \frac{1}{4}m = {y_0}\)

          \(\frac{1}{2}m{x_0} - \frac{1}{2}{x_0} - \frac{1}{4}m - {y_0} = 0\)

          \(\frac{1}{2}m\left( {{x_0} - \frac{1}{8}} \right) - \frac{1}{2}{x_0} - {y_0} = 0\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - \frac{1}{8} = 0\\ - \frac{1}{2}{x_0} - {y_0} = 0\end{array} \right.\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{8}\\{y_0} = - \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\).

Vậy \(M\left( {\frac{1}{8};\,\, - \frac{1}{{16}}} \right)\) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

d) Đúng.

Thay \(x = \frac{1}{8};\,y = \, - \frac{1}{{16}}\) vào phương trình (d₁) được \(16.\frac{1}{8} - 16.\,\left( { - \frac{1}{{16}}} \right) - 3 = 0\) (đúng).

Do đó, \(M\left( {\frac{1}{8};\,\, - \frac{1}{{16}}} \right)\) cũng thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình 16x – 16y – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.            b) Đúng.        c) Đúng.         d) Sai.

a) Đúng.

Thay m = 2 vào (d) được: −x – y = 3.

Với x = 1; y = −4, thay vào ta được: −1 – (−4) = 3 (đúng).

Do đó, với m = 2 thì (d) đi qua điểm A(1; −4).

b) Đúng.

Với m = −1 thì (d): −4x – 2y = 3.

Với x = \(\frac{1}{4}\), y = 2 thay vào (d) được: \( - 4.\frac{1}{4} - 2.2 = - 5 \ne 3\).

Do đó, (d) không đi qua \[B\left( {\frac{1}{4};\,\,2} \right)\] khi m = −1.

c) Đúng.

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.

Ta có: (m – 3)x₀ + (m – 1)y₀ = 3

           mx₀ – 3x₀ + my₀ – y₀ = 3

           m(x₀ – y₀) – 3x₀ – y₀ – 3 = 0

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - {y_0} = 0\\ - 3{x_0} - {y_0} - 3 = 0\end{array} \right.\]

Thay x₀ = y₀ vào \[ - 3{x_0} - {y_0} - 3 = 0\] được −3x₀ – x₀ – 3 = 0, suy ra x₀ = \[\frac{3}{4}\].

Do đó, \[M\left( {\frac{3}{4};\,\,\frac{3}{4}} \right)\].

d) Sai.

Thay \[x = \frac{3}{4};\,\,y = \frac{3}{4}\] vào (d₁) được: \[12.\frac{3}{4} + 8.\frac{3}{4} = 9 + 6 = 15 \ne - 15\].

Do đó, \[M\left( {\frac{3}{4};\,\,\frac{3}{4}} \right)\] không thuộc (d₁): 12x + 8y = −15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.       b) Sai.         c) Đúng.     d) Đúng.

a) Đúng.

Với m = 1 thì ta có (d): y = x.

Đường thẳng y = x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Do đó, với m = 1 thì đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ.

b) Sai.

Với m = 2 thì (d): y = 2x + 1.

Thay x = \[\frac{1}{2};\,\,y = 2\] vào (d) ta được: \[2.\frac{1}{2} + 1 = 2\] (đúng).

Do đó, \[A\left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\] thuộc đường thẳng (d) khi m = 2.

c) Đúng.

Gọi I(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng đi qua.

Ta có: y₀ = mx₀ + m – 1

           mx₀ + m – 1 – y₀ = 0

           m(x₀ + 1) – y₀ – 1 = 0

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = 0\\ - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right.\] mà \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{y_0} = - 1\end{array} \right.\].

Vậy I(−1; −1).

d) Đúng.

Thay x = −1 và y = −1 vào (d₁): 3x – 2y = 1 được 3.(−1) – 2.(−1) = −1 ≠ 1 .

Do đó I(−1; −1) không thuộc đường thẳng (d₁).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 5

Vì M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng đi qua nên ta có:

y₀ = 3(m + 1)x₀ – 3m – 2

3mx₀ + 3x₀ – 3m – 2 – y₀ = 0

3m(x₀ – 1) + 3x₀ – y₀ – 2 = 0

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 0\\3{x_0} - {y_0} - 2 = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\3{x_0} - {y_0} - 2 = 0\end{array} \right.\]

Thay x₀ = 1 vào 3x₀ – y₀ – 2 = 0 được y₀ = 1.

Vậy M(1; 1).

Do đó, 3x₀ + 2y₀ = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Vì I(x₀; y₀) là điểm cố định của đường thẳng nên ta có:

(m + 2)x₀ + (m – 3)y₀ − m + 8 = 0

mx₀ + 2x₀ + my₀ – 3y₀ – m + 8 = 0

m(x₀ + y₀ – 1) + 2x₀ – 3y₀ + 8 = 0

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} - 1 = 0\\2{x_0} - 3{y_0} + 8 = 0\end{array} \right.\], do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{y_0} = 2\end{array} \right.\]

Do đó I(−1; 2).

Vậy x₀ + y₀ = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Vì E(x₀; y₀) là điểm cố định nên ta có:

y₀ = 2(m + 1)x₀ – m – 1

2mx₀ + 2x₀ – m – 1 – y₀ = 0

m(2x₀ – 1) + 2x₀ – y₀ – 1 = 0

Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}2{x_0} - 1 = 0\\2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{2}\\{y_0} = 0\end{array} \right.\].

Vậy x₀y₀ = \[\frac{1}{2}.0 = 0\].

Hướng dẫn giải

Đáp án: −1

Vì I(x₀; y₀) là điểm cố định của y = (m + 1)x – 3m + 4 ta có:

y₀ = (m + 1)x₀ – 3m + 4

mx₀ + x₀ – 3m + 4 – y₀ = 0

m(x₀ – 3) + x₀ – y₀ + 4 = 0

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3 = 0\\{x_0} - {y_0} + 4 = 0\end{array} \right.\], do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{y_0} = 7\end{array} \right.\].

Do đó, I(3; 7).

Vì I cũng thuộc đường thẳng 4x + ay = 5 nên ta có: 4.3 + 7a = 5 hay 7a = −7.

Suy ra a = −1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 7

Vì M(x₀; y₀) là điểm cố định của đường thẳng (d) nên ta có:

2(m – 1)x₀ + (m – 2)y₀ = 2

2mx₀ – 2x₀ + my₀ – 2y₀ – 2 = 0

m(2x₀ + y₀) – 2x₀ – 2y₀ – 2 = 0

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}2{x_0} + {y_0} = 0\\ - 2{x_0} - 2{y_0} - 2 = 0\end{array} \right.\] , do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = - 2\end{array} \right.\].

Vậy 3x₀ − 2y₀ = 7.