Bài tập Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông biết độ dài các cạnh lớp 9 (có lời giải)

Áp dụng định lí Pythagore ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = 0,9m\)

\(\sin B = \cos A = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = 0,60\)

\(\cos B = \sin A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = 0,80.\quad \)

\(\tan B = \cot A = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0,9}}{{1,2}} = 0,75\)

\(\cot B = \tan A = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{1,2}}{{0,9}} = 1,3\).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Ta có

\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{5};\quad \tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3};\)

\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5};\quad \cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.\)

Ta có \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {3,5^2} - {1,5^2} = 10 \Rightarrow AC = \sqrt {10} \).

Do đó \[\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1,5}}{{3,5}} \approx 0,4286\]

          \[\begin{array}{l}\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{3,5}} \approx 0,9035\\\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1,5}}{{\sqrt {10} }} \approx 0,4743\\\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{1,5}} \approx 2,1082\end{array}\]

Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 \Rightarrow BC = 13\).

Do đó \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}\); \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}\);

\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}\); \(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{12}}\).

Ta đặt \(AB = m\) thì \(BC = 2m\), suy ra

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 4{m^2} - {m^2} = 3{m^2} \Rightarrow AC = m\sqrt 3 \).

Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{m}{{2m}} = \frac{1}{2};\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{{2m}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\)

        \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{m}{{m\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{m} = \sqrt 3 \).

Ta có \(BH = 6:2 = 3\); \(AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\). Do đó

\(\begin{array}{*{20}{l}}{}&{\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{5} = 0,8;}\\{}&{\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{3}{5} = 0,6;}\\{}&{\tan B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{3};}\\{}&{\cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{4} = 0,75.}\end{array}\)

Ta có \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {6^2} - {3^2} = 27 \Rightarrow AH = 3\sqrt 3 \).

Do đó \(\tan C = \cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{{3\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Ta có \(O{H^2} = HM \cdot HN = 1 \cdot 3 = 3 \Rightarrow OH = \sqrt 3 \);

\(OM = \sqrt {1 + 3} = 2\).

Do đó \(\sin M = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mặt khác \(\cos N = \sin M = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\sin M + \cos N = \sqrt 3 \).