Bài tập Tính các tỉ số lượng giác còn lại khi biết một trong bốn tỉ số lượng giác lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Đúng.            c) Sai.             d) Sai.

a) Đúng.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\).

b) Đúng.

Vì \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\) nên \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\).

c) Sai.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC được:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + \,{4^2}} = 5\) (cm).

Do đó \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\).

d) Sai.

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) nên \(sin\alpha = tan\alpha .cos\alpha = \frac{3}{5}.\frac{4}{3} = \frac{4}{5}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.            b) Sai.            c) Đúng.            d) Sai.

a) Sai.

Xét tam giác ABC, có: \(\cot \beta = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{12}}\).

b) Sai.

Xét tam giác ABC, có: \(\tan \beta = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}\).

c) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13\) (cm)

Do đó, \(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}\).

d) Sai.

Có \(\cot \beta = \frac{{\cos \beta }}{{\sin \beta }}\) nên \(\cos \beta = \cot \beta .\sin \beta = \frac{5}{{12}}.\frac{{12}}{{13}} = \frac{5}{{13}}\).

Do đó cosβ < sinβ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                  d) Sai.

a) Đúng.

Vì BC² = AB² + AC² (do 13² = 5² + 12²) nên ΔABC vuông tại A (định lý Pythagore đảo).

b) Đúng.

Vì ΔABC vuông tại A nên sin B\( = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{12}}{{13}}.\) Vậy sinB \( = \frac{{12}}{{13}}.\)

c) Sai.

Vì ΔABC vuông tại A nên cos B\( = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{5}{{13}}.\) Vậy sin B > cos B.

d) Sai.

Vì ΔABC vuông tại A nên tan B\( = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{12}}{5};\) cot B\( = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{5}{{12}}.\)

Theo b) và c) ta có: \(\sin B = \frac{{12}}{{13}},\)\(\cos B = \frac{5}{{13}}.\)

Vậy trong các giá trị lượng giác sinB, cosB, tanB, cotB thì tanB lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                  d) Sai.

a) Đúng.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AD là đường phân giác đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, AD ⊥ CB tại D. Do đó, tam giác ABD vuông tại D.

b) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D ta có:

AD² + BD² = AB²

AD² = AB² – BD²

AD² = 9

AD = 3.

Vậy AD = 3 cm.

c) Sai.

Vì tam giác ABD vuông tại D nên \(\tan B = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{3}{4}.\) Vậy \(\tan B = \frac{3}{4}.\)

d) Sai.

Vì tam giác ABD vuông tại D nên \(\cot B = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{4}{3}.\)

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {\rm{C}}\) suy ra \(\tan B = \tan C = \frac{3}{4}.\)

Vì \(\frac{3}{4} < \frac{4}{3}\) nên tan C < cot B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.              d) Sai.

a) Sai.

Vì DABC vuông tại A nên \(\cot {\rm{B}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\) suy ra \(\cot {\rm{60}}^\circ = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\). Vậy \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

b) Đúng.

Theo a) ta có: \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) nên \({\rm{AC}} = \frac{{{\rm{3AB}}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{3.2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 6\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy AC = 6 cm.

c) Đúng.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \({\rm{cosB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\) suy ra \(\cos {\rm{60}}^\circ = \frac{{{\rm{2}}\sqrt 3 }}{{{\rm{BC}}}}\). Vậy \(BC = 4\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

Vì \({\rm{AB}} = \frac{2}{3}{\rm{AN}}\) nên \(AN = 3\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}\) nên \(NB = 5\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}\).

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác NAC vuông tại A ta có:

CN² = AN² + AC² = \({\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} + {6^2} = \)63 nên \(CN = \sqrt {63} \;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Lại có: \(BC = 4\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}\), \(NB = 5\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}\).

Do đó, NB là cạnh lớn nhất của tam giác NCB.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,96

Ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{7}{{24}}\), do đó \(\sin \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\cot \alpha }} = \frac{7}{{25}}:\frac{7}{{24}} = \frac{{24}}{{25}} = 0,96\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 41

Có \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{21}}{{29}}:\frac{{20}}{{29}} = \frac{{21}}{{20}}\).

Do đó, ta có a = 21, b = 20.

Vậy T = a + b = 21 + 20 = 41.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 26

Ta có, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) nên \(\sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = \frac{1}{5}.\frac{{5\sqrt {26} }}{{26}} = \frac{{\sqrt {26} }}{{26}} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\).

Do đó, \(a = 26.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án: 5

Ta có, \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) nên \(\cos \alpha = \sin \alpha .\cot \alpha = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

Do đó, b = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC tại A. Do đó, CA là đường cao của ΔCBD.

Vì CA vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ΔCBD nên ΔCBD cân tại C.

Do đó CA là đường phân giác của ΔCBD. Suy ra \(\widehat {{\rm{BCA}}} = \widehat {{\rm{ACD}}}\) (1).

Vì ABC vuông tại A nên \(\widehat {\rm{B}} + \widehat {{\rm{ACB}}} = 90^\circ \). Do đó, tan B = cot \(\widehat {{\rm{ACB}}}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: tan B = cot \(\widehat {{\rm{ACD}}}\). Suy ra: \(\frac{{\tan {\rm{B}}}}{{\cot \widehat {{\rm{ACD}}}}} = 1\).

Vậy số thích hợp điền vào “…” là 1.