Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Tháp Discovery Complex A với quy mô 54 tầng, đang là tòa nhà cao nhất quận Cầu Giấy. Tại một thời điểm trong ngày mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ 68° và bóng của tòa nhà trên mặt đất dài khoảng 79 m. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
196 m.
277 m.
169 m.
275 m.
Đáp án đúng là: A
Chiều cao của tòa tháp chính là độ dài của đoạn AB.
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: AB = AC. \(\tan \widehat {ACB}\) = 79.tan68° ≈ 196 m.
Sử dụng dữ kiện bài toán sau để trả lời Bài 2, 3.
Tháp chung cư cư Discovery Complex A với quy mô 54 tầng, đang là tòa nhà cao nhất quận Cầu Giấy. Tại một thời điểm trong ngày, tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ 67° và bóng của tòa nhà trên mặt đất dài khoảng 72 m.
Tính chiều cao của tòa tháp chung cư (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị)
240 m.
170 m.
107 m.
172 m.
Đáp án đúng là: B
Chiều cao của tòa tháp chính là độ dài đoạn AB.
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AB = AC.tan\(\widehat {ACB}\) = 72.tan67° ≈ 170 m.
Một flycam từ vị trí D bay lên đỉnh B theo quãng đường BD, tạo với phương nằm ngang một góc bằng 45°. Biết flycam mất 140 giây để lên đến đỉnh tháp. Tính vận tốc trung bình của chiếc flycam đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
1,7 m/s.
1,72 m/s.
1,27 m/s.
17,2 m/s.
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác vuông ABD có: BD = \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{170}}{{\sin 45^\circ }} = 170\sqrt 2 \) (m).
Vận tốc trung bình của chiếc flycam đó là: \(170\sqrt 2 :140 \approx 1,72{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\).
Vậy vận tốc trung bình của chiếc flycam đó khoảng 1,72 m/s.
Sử dụng dữ kiện bài toán sau để trả lời cho Bài 4,5.
Sau một trận bão lớn, một cái cây mọc thẳng đứng ở cị trí C đã gãy ngang tại A (như hình vẽ). Ngọn cây chạm mặt đất cách gốc một khoảng BC = 5 m. Biết rằng phần ngọn bị gãy AB và phần gốc AC có tỉ lệ 3:2.
Tính góc α tạo bởi phần thân bị gãy AB và mặt đất BC (kết quả làm tròn đến phút).
\(43^\circ 15'\).
\(41^\circ 49'\).
\(42^\circ 49'\)
\(45^\circ 49'\).
Đáp án đúng là: B
Theo đề bài, ta có, phần ngọn bị gãy AB và phần gốc AC có tỉ lệ 3 : 2 hay \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).
Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có: \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\),
suy ra \(\alpha = \tan \widehat {ABC} = 41^\circ 49'\).
Vậy góc α tạo bởi phần thân bị gãy AB và mặt đất BC khoảng α ≈ 41°49’.
Hỏi chiều cao ban đầu của cây là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
6,71 m.
11,2 m.
11,18 m.
11,175 m.
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có: AC = BC.tan\(\widehat {ABC}\) = 5.tan41°49’ ≈ 4,47 (m).
Mà \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra AB = \(\frac{3}{2}\)AC ≈ \(\frac{3}{2}\).4,47 = 6,705 (m).
Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy AB và phần gốc AC.
Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: 4,47 + 6,705 = 11,175 ≈ 11,18 (m).
Hai người A và B đứng cùng bờ sông nhìn ra một cồn nổi giữa sông. Người A nhìn ra cồn với một góc 43° so với bờ sông, người B nhìn ra cồn với một góc 28° so với bờ sông. Hai người đứng cách bờ sông 250 m. Hỏi cồn cách bờ sông hai người đứng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
85 m.
86, 44 m.
84,66 m.
84 m.
Đáp án đúng là: C
Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng CH.
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
\(\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}\). (1)
Xét tam giác BHC vuông tại H, ta có:
\(\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}\). (2)
Từ (1) và (2) ta có:
AB + AH + BH = \(\frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)\)
Do đó, \(CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84,66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)
Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng 84,66 m.
Trong lần đến thăm quan tháp Eifel (ở thủ đô Paris, Pháp), bạn Vân muốn ước tính độ cao của tháp. Sau khi quan sát, bạn Vân đã minh họa lại kết quả đo đạc ở hình bên. Em hãy giúp bạn Vân tính độ cao h của tháp theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
326 m.
362 m.
236 m.
263 m.
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác ADC vuông tại C, ta có: AC = h.cot\(\widehat {DAC}\) = h.cot60° (m)
Xét tam giác BDC vuông tại C, ta có: BC = h.cot\(\widehat {DBC}\) = h.cot75° (m).
Do AC – BC = AB = 101 nên h.cot60° − h.cot75° = 101
Suy ra h = \(\frac{{101}}{{\cot 60^\circ - \cot 75^\circ }} \approx 326\) (m).
Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng 326 (m).
Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời cho Bài 8, 9 , 10.
Hai con thuyền P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng dưới các góc \(\widehat {BPQ} = 14^\circ \) và \(\widehat {BQA} = 42^\circ \). Đặt h = AB là chiều cao của tháp hải đăng.
Độ dài BQ theo h là
\(\frac{h}{{\tan 42^\circ }}\).
\(\frac{h}{{\cot 42^\circ }}\).
\(\frac{h}{{\tan 14^\circ }}\).
\(\frac{h}{{\cot 14^\circ }}\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác BQA vuông tại B, ta có:
tanQ = \(\frac{{AB}}{{QB}}\) nên BQ = \(\frac{{AB}}{{QB}}\) nên BQ = \(\frac{{AB}}{{\tan 42^\circ }} = \frac{h}{{\tan 42^\circ }}\).
Độ dài BP theo h là
\(\frac{h}{{\tan 42^\circ }}\).
\(\frac{h}{{\cot 42^\circ }}\).
\(\frac{h}{{\tan 14^\circ }}\).
\(\frac{h}{{\cot 14^\circ }}\).
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác BPA vuông tại B, ta có:
tanP = \(\frac{{AB}}{{PB}}\) nên \(PB = \frac{{AB}}{{\tan 14^\circ }} = \frac{h}{{\tan 14^\circ }}\).
Chiều cao cuủa tháp hải đăng (làm tròn đến hàng phần mười) là:
103 m.
103,4 m.
104 m.
104,3 m.
Đáp án đúng là: B
Ta có: BP – BQ = 300.
Suy ra \(\frac{h}{{\tan 42^\circ }} - \frac{h}{{\tan 14^\circ }} = 300\).
Suy ra h = \(\frac{{300}}{{\frac{1}{{\tan 14^\circ }} - \frac{1}{{\tan 42^\circ }}}} \approx 103,4\) (m).
Vậy chiều cao của tháp hải đăng là khoảng 103,4 m.
Sau một trận bão lớn, một cái cây mọc thẳng đứng ở vị trí \(C\) đã bị gãy ngang tại \(A\) (như hình vẽ). Ngọn cây chạm mặt đất cách gốc một khoảng \(BC = 5{\rm{ m}}\). Biết rằng phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\) có tỉ lệ \(3:2\). (Các kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Khi đó:
\(\sin \widehat {ABC} = \frac{2}{3}.\)
Góc tạo bởi phần thân bị gãy và mặt đất nhỏ hơn \(42^\circ \).
Độ dài phần ngọn bị gãy nhỏ hơn \(6,5{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Chiều cao ban đầu của cây khoảng \(11,18{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Theo đề bài, phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\) có tỉ lệ \(3:2\) hay \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), ta có: \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\). Do đó, ý a) là đúng.
b) Đúng.
Vì \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\) nên \(\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.\) Do đó, ý b) là đúng.
c) Sai.
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), ta có: \(AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4,47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Mà \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4,47 = 6,705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)
Độ dài phần ngọn bị gãy là độ dài đoạn thẳng \(AB\) nên độ dài phần ngọn bị gãy lớn hơn \(6,5{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Do đó, ý c) là sai.
d) Đúng.
Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\).
Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: \[4,47 + 6,705 = 11,175 \approx 11,18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]Do đó, ý d) là đúng.
BH = DC = 15 m.
\(\tan \alpha = \frac{{50}}{3}\).
Số đo góc α lớn hơn 3°.
Độ dài AB nhỏ hơn 15 m.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Có HBCD là hình chữ nhật nên BH = dc = 15 m.
b) Sai.
Xét tam giác AHB vuông tại H, có hai cạnh góc vuông HB = 15 m, AH = 0,9 m.
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{0,9}}{{15}} = \frac{3}{{50}}\).
c) Đúng.
Vì \(\tan \alpha = \frac{3}{{50}}\) nên \(\alpha \approx 3^\circ 26'\).
d) Sai.
Ta có: AH = AB.sinα nên \(AB = \frac{{AH}}{{\sin \alpha }} = \frac{{0,9}}{{\sin 3^\circ 26'}} \approx 15,03\,\,\left( m \right)\)
Một người đứng từ sân thượng tòa nhà và quan sát một người đi xe máy từ vị trí C đến D (như hình vẽ). (Các kết quả về góc làm tròn đến độ).
Khi đó:
\(\tan \widehat {BAC} = \frac{9}{{14}}.\)
\(\widehat {BAC} \approx 33^\circ \).
\(\widehat {ADB}\) có số đo nhỏ hơn 12°.
Độ dài AD nhỏ hơn 65 m.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Vì tam giác ABC vuông tại B nên theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{9}{{14}}\).
b) Đúng.
Vì \(\tan \widehat {BAC} = \frac{9}{{14}}\) nên \(\widehat {BAC} \approx 33^\circ \).
c) Sai.
Có: \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = 33^\circ + 45^\circ = 78^\circ \)
Do đó, \(\widehat D = 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ \).
d) Sai.
Xét tam giác ABD vuông tại B, có: AB = AD.sinD nên \(AD = \frac{{AB}}{{\sin D}} = \frac{{14}}{{\sin 12^\circ }} \approx 67\,\,\left( m \right)\)
Cho hình vẽ mô phòng một túp lều như sau:
Khi đó:
HB = HC = 2,2 m.
AC có độ dài nhỏ hơn 2,5 m.
\(\tan \alpha = \frac{{11}}{9}.\)
Góc α giữa mái lều và mặt đất khoảng 39° (làm tròn đến độ).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời cũng là đường trung tuyến.
Do đó, HB = HC = 4,4 : 2 = 2,2 (m).
b) Sai.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHC, có:
AH2 + HC2 = AC2, suy ra \(AC = \sqrt {{{1,8}^2} + {{2,2}^2}} \approx 2,8\,\,\left( m \right)\).
c) Sai.
Xét tam giác vuông AHC, có: \(\tan \alpha = \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{1,8}}{{2,2}} = \frac{9}{{11}}.\)
d) Đúng.
Vì \(\tan \alpha = \frac{9}{{11}}\) nên α ≈ 39°.
Góc α giữa mái lều và mặt đất khoảng 39°.
Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7 cm được chiếu bởi một chùm tia gamma. Để tránh làm tổn thương mô, bác sõ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3 cm (như hình vẽ).
Khi đó:
\(\tan B = \frac{{5,7}}{{8,3}}\).
Số đo góc B lớn hơn 35°.
BC có độ dài lớn hơn 10 cm.
Số đo góc B nhỏ hơn số đo góc C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Dựa vào hình vẽ, nhận thấy tam giác ABC vuông tại A, có:
\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{5,7}}{{8,3}}\).
b) Sai.
Vì \(\tan B = \frac{{5,7}}{{8,3}}\) nên ta tính được \(\widehat B \approx 35^\circ \).
c) Đúng.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, có:
AB2 + AC2 = BC2 nên \(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{5,7}^2} + {{8,3}^2}} \approx 10,1\,\,\left( {cm} \right)\).
d) Đúng.
Vì hai góc B và C là hai góc phụ nhau, nên \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).
Do đó, số đo góc B nhỏ hơn số đo góc C.
Cho hình vẽ dưới đây
Biết rằng tại hai điểm A, B cách nhau 500 m người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38°. Hỏi chiều cao của ngọn núi là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2468
Quan sát hình, nhận thấy:
Xét ∆ACH vuông, được: \(\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\) .
Suy ra \[AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 34^\circ }}\].
Xét ∆HCB vuông, được: \(\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\).
Suy ra \[BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 38^\circ }}\].
Mà AH – BH = AB
\[\frac{{CH}}{{\tan 34^\circ }} - \frac{{CH}}{{\tan 38^\circ }} = 500\]
\[CH\left( {\frac{1}{{\tan 34^\circ }} - \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right) = 500\]
\[CH = 500:\left( {\frac{1}{{\tan 34^\circ }} - \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)\]
CH ≈ 2 468 (m)
Vậy chiều cao của ngọn núi khoảng 2 468 m.
Tính góc nghiêng α của thùng xe trong hình vẽ dưới đây. (Kết quả làm tròn đến độ)
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải
Đáp án: 37
Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh huyền BC = 5 m, cạnh góc vuông AB = 4 m.
Theo định lí về hệ thức tam giác vuông, ta có: AB = BC.cosα.
Do đó, \[\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5}\], suy ra α ≈ 37°.
Một cố đèn AB cao 18 m có bóng in trên mặt đất là AC dài 7 m.
Góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến độ)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 69
Góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất là góc C.
Do đó, xét tam giác ABC vuông tại A, được: \[\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{18}}{7}\].
Suy ra \[\widehat C \approx 69^\circ \].
Một chiếc máy bay đang bay lên với vận tốc 600 (km/h). Đường bay lên tạo với phương ngang một góc 27°.
Hỏi sau 1,5 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt độ cao là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 6,8
Đổi 1,5 phút = \[\frac{1}{{40}}\] giờ.
Suy ra quãng đường BC máy bay đã bay được là: \[\frac{1}{{40}} \cdot 600 = 15\] (km)
Vì theo hình minh họa, tam giác ABC vuông tại A, AC chính là độ cao của máy bay so với mặt đất.
Do đó, AC = BC.sin B = 15.sin 27° ≈ 6,8 (km).
Vậy máy bay đạt độ cao 6,8 km so với mặt đất.
Một khúc sông rộng khoảng 130 (m). Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng 250 (m) mới sang được bờ bên kia.
Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ? (làm tròn đến độ)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 59
Ta có khúc sông AC = 130 m, BC = 250 m, góc lệch là góc C.
Do đó, xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: \[\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{130}}{{250}}\], do đó \[\widehat C \approx 59^\circ \].
Vậy dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bằng 59°.
