Bài tập Số đo của góc lượng giác và hệ thức Chasles lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Theo hệ thức Chasles: sđ (Ou, Ov) + sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) + k2π (k ∈ ℤ).

Suy ra: sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) – sđ (Ou, Ov) + k2π

= \(\frac{{15\pi }}{4}\)– \(\left( {\frac{{ - 5\pi }}{4}} \right)\)+ k2π

= 5π + k2π (k ∈ ℤ).

Theo đề: 4π < sđ (Ov, Ow) < 6π ⇔ 4π < 5π + k2π < 6π ⇔ –π < k2π < π

⇔ \(\frac{{ - 1}}{2} < k < \frac{1}{2}\)⇔ k = 0 (vì k ∈ ℤ).

Vậy sđ (Ov, Ow) = 5π.

Đáp án đúng là: B

Giá trị 480° cũng là một số đo của góc lượng giác đã cho vì với k = 1 thì

120° + k360° = 120° + 360° = 480°.

Đáp án đúng là: A

(Ou, Ov) + (Ov, Ow) = (Ou, Ow) + k2π (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).

Đáp án đúng là: C

Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo là \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do đó \(\frac{{9\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 2\pi \). Nên số đo góc thứ hai có thể là \(\frac{{9\pi }}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) = 45° + k360° + 60° + n360° = 105° + (k + n)360°

= 105° + m360° (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).

Đáp án đúng là: B

Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo là \(\frac{\pi }{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì −3π < α ≤ −π nên \( - 3\pi < \frac{\pi }{5} + k2\pi \le - \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{8}{5} < k \le - \frac{3}{5}\).

Mà k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) nên k = 1. Suy ra \(\alpha = \frac{\pi }{5} - 2\pi = - \frac{{9\pi }}{5}\).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì số đo của chúng sai khác nhau một bội nguyên của 2π hoặc 360° chứ không bắt buộc phải bằng nhau tuyệt đối.

b) Đúng. Quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương. 1 vòng ứng với 360°, quay 2 vòng ứng với 2360° = 720°.

c) Sai. Hệ thức Chasles luôn đúng với mọi bộ ba tia bất kỳ trong mặt phẳng, không phân biệt trùng nhau hay không.

d) Đúng. Đây là tính chất đảo tia của góc lượng giác: (Ou, Ov) = (Ov, Ou) + k2π, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo là \( - 150^\circ + k360^\circ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Đúng. Với k = 1 thì 150° + k360° = −150° + 360° = 210°.

c) Sai. Có 410° = 150° + k360° \(\Leftrightarrow\) \(k = - \frac{{13}}{{18}} \notin \mathbb{Z}\). Do đó góc lượng giác (Ou, Ov) không có một số đo âm là −410°.

d) Đúng. Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, tia cuối Ov của góc lượng giác này nằm ở góc phần tư thứ III.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo hệ thức Chasles, ta có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + m2π (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).

b) Đúng. Vì \(\left( {Ow,Ov} \right) = \frac{\pi }{3} + n2\pi \) nên \(\left( {Ov,Ow} \right) = - \frac{\pi }{3} + n'2\pi \left( {n' \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Đúng. Có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow)

\( = \frac{\pi }{6} + k2\pi + \left( { - \frac{\pi }{3} + n'2\pi } \right) = - \frac{\pi }{6} + m2\pi \left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) Sai. (Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) \( = - \frac{\pi }{6} + m2\pi - \left( {\frac{\pi }{6} + k2\pi } \right) = - \frac{\pi }{3} + h2\pi \left( {h \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do đó góc hình học bởi hai tia cuối của hai góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ou, Ow) bằng 60°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì −2π ≤ x ≤ 5π nên \( - 2\pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 5\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{9}{8} \le k \le \frac{{19}}{8}\).

mà k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) nên k \(\in\) {−1; 0; 1; 2}.

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên.

b) Đúng. Số đo lớn nhất của góc lượng giác thỏa mãn điều kiện giới hạn trên ứng với k = 2.

Khi đó \(x = \frac{\pi }{4} + 2 \cdot 2\pi = \frac{{17\pi }}{4}\).

c) Đúng. Số đo nhỏ nhất của góc lượng giác thỏa mãn điều kiện giới hạn trên ứng với k = 1.

Khi đó \(x = \frac{\pi }{4} - 2\pi = - \frac{{7\pi }}{4}\).

d) Đúng. Tổng tất cả các số đo x là \( - \frac{{7\pi }}{4} + \frac{\pi }{4} + \frac{{9\pi }}{4} + \frac{{17\pi }}{4} = 5\pi \).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. (Ou, Ov) = 3360° = 1080°.

b) Đúng. (Ov, Ow) = −90°.

c) Đúng. (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + k360°, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).

d) Đúng. Ta có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + k360° = 1080° + (−90°) + k360°

= 990° + k360°, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).

Với k = 0 thì (Ou, Ow) = 990°.

Đáp án: 315

Số đo dương nhỏ nhất ứng với k = 1.

Do đó x = −45° + 360° = 315°.

Đáp án: 200

Có (Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) = −50° + n360° (110° + k360°) = 160° + m360° (m \(\in\) Z).

Số đo dương nhỏ nhất ứng với m = 1.

Khi đó (Ov, Ow) = −160° + 360° = 200°.

Đáp án: −1

Theo đề ta có \(\frac{\pi }{3} + k2\pi < 0\)\( \Leftrightarrow k < - \frac{1}{6}\).

Để góc thứ hai đạt số đo âm lớn nhất thì k = −1.

Đáp án: 120

(Ou, Ox) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + (Ow, Ox) = 40° + 50° + 30° + p360° = 120° + p360°, (p \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).

Hằng số góc cố định là 120°.

Đáp án: 6

Theo đề ta có −1000° ≤ 135° + k360° ≤ 1000° \(\Leftrightarrow\) \( - \frac{{173}}{{72}} \le k \le \frac{{227}}{{72}}\).

Mà k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) nên k \(\in\) {−2; −1; 0; 1; 2; 3}.

Vậy có 6 giá trị nguyên.