Bài tập Hình cầu lớp 9 (có lời giải)

Đặt \(h,\,\,R\) lần lượt là đường cao và bán kính hình tròn đáy của hộp đựng bóng tennis.

Dễ thấy mỗi quả bóng tennis có cùng bán kính \(R\) với hình tròn đáy của hộp đựng bóng tennis và \(h = 6R\).

Do đó ta có:

Tổng thể tích của ba quả bóng là \({V_1} = 3.\frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {R^3}\);

Thể tích của hình trụ (hộp đựng bóng) là \({V_0} = \pi {R^2}h = 6\pi {R^3}\);

Thể tích phần còn trống của hộp đựng bóng là \({V_2} = {V_0} - {V_1} = 2\pi {R^3}\).

Khi đó tỉ lệ phần không gian còn trống so với hộp đựng bóng là \(\frac{{{V_2}}}{{{V_0}}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).

Suy ra \(a \approx 33\).

Theo bài toán ta có hình vẽ

Thể tích của hình trụ là \(V = \pi {.1^2}.2 = 2\pi \).

Vì đường tròn đáy của hình trụ là đường tròn lớn của mỗi nửa hình cầu nên bán kính của mỗi nửa hình cầu là \(R = 1\).

Thể tích của hai nửa hình cầu bị khoét đi là \({V_1} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{4\pi {{.1}^3}}}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\).

Thể tích của phần còn lại của khối gỗ là \({V_2} = V - {V_1} = 2\pi  - \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{3}\).

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là \(\frac{{{V_2}}}{V} = \frac{{\frac{{2\pi }}{3}}}{{2\pi }} = \frac{1}{3}\).

\(r = \frac{1}{2}l = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}R = \frac{3}{4}R\).

Diện tích mặt cầu \({S_1} = 4\pi {R^2}\)

Diện tích toàn phần của hình nón \({S_2} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .\frac{3}{4}R.\frac{3}{2}R + \pi .\frac{9}{{16}}{R^2} = \frac{{27\pi {R^2}}}{{16}}\)

Theo giả thiết: \(4\pi {R^2} + \frac{{27\pi {R^2}}}{{16}} = 91 \Leftrightarrow \frac{{91\pi {R^2}}}{{16}} = 91 \Leftrightarrow \pi {R^2} = 16\)

Vậy \({S_1} = 4\pi {R^2} = 64c{m^2}\)

Gọi \(R,h\) lần lượt là bán kính đáy và là chiều cao của hình trụ

\(h = 6R\)

Thể tích của hình trụ \({V_T} = \pi 6{R^3}.\)

Khối cầu bên trong hình trụ có bán kính \(R\) nên hình cầu có thể tích \({V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Khối nón bên trong hình trụ có bán kính\(R\) và chiều cao \(h = 4R\) nên hình nón có thể tích \({V_N} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

Thể tích lượng nước còn lại bên trong hình trụ

\(V = {V_T} - \left( {{V_C} + {V_N}} \right) = 6\pi {R^3} - \frac{8}{3}\pi {R^3} = \frac{{10}}{3}\pi {R^3}.\)

Vậy \(\frac{V}{{{V_T}}} = \frac{5}{9}.\)

Gọi \[l\,;r\] lần lượt là độ dài đường sinh và bán kính đáy hình trụ.

Khi đó ta có: \[l = 2r\].

Suy ra thể tích hình trụ là \[{V_t} = \pi {r_{}}^2l = 2\pi {r_{}}^3.\]

Gọi \[{h_n};{l_n}\] lần lượt là chiều cao và đường sinh của hình nón.

Theo giả thiết ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{l_n} = l\\{h_n} = \sqrt {l_{}^2 - {r_{}}^2}  = \sqrt 3 {r_{}}\end{array} \right.\].

Khi đó thể tích hình nón là \[{V_n} = \frac{1}{3}\pi {r_{}}^2{h_n} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r_{}}^3.\]

Do thể tích toàn bộ khối đồ chơi là \[50c{m^3}\] nên

\[{V_t} + {V_n} = 2\pi {r_{}}^3 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r_{}}^3 = \left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\pi {r_{}}^3 = 50 \Rightarrow \pi {r_{}}^3 = \frac{{150}}{{6 + \sqrt 3 }}.\]

Khi đó thể tích hình trụ là \[{V_t} = \pi {r_{}}^2{l_{}} = 2\pi {r_{}}^3 \approx 38,8c{m^3}.\]

Thể tích chất lỏng \[V = \pi {r^2}.\frac{1}{{24}}h = \frac{1}{{24}}\pi {r^2}h\].

Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là \[V' = \frac{1}{3}\pi {r'^2}h'\].

Mà \[\frac{{r'}}{r} = \frac{{h'}}{h} \Rightarrow r' = \frac{{h'}}{h}.r\]. Do đó \[V' = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{h'}}{h}.r} \right)^2}h' = \frac{1}{3}\pi {r^2}.\frac{{{{h'}^3}}}{{{h^2}}}\].

Theo bài ra, \[V' = V \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi {r^2}.\frac{{{{h'}^3}}}{{{h^2}}} = \frac{1}{{24}}\pi {r^2}h \Leftrightarrow {h'^3} = \frac{1}{8}{h^3} \Leftrightarrow h' = \frac{h}{2}\].

Thể tích hình trụ bán kính đáy \(R\) và có chiều cao bằng \(\frac{h}{3}\):

\({V_1} = \pi {R^2}.\frac{h}{3} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Thể tích hình nón cụt bán kính đáy lớn \(R\), bán kính đáy bé \(\frac{R}{2}\)và có chiều cao bằng \(\frac{{2h}}{3}\):

\({V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.\frac{{4h}}{3} - \frac{1}{3}\pi \frac{{{R^2}}}{4}.\frac{{2h}}{3} = \frac{7}{{18}}\pi {R^2}h\).

Thể tích hình trụ bán kính đáy \(\frac{R}{4}\) và có chiều cao bằng \(h\) (phần rỗng ở giữa):

\({V_3} = \pi \frac{{{R^2}}}{{16}}.h = \frac{1}{{16}}\pi {R^2}h\).

Thể tích của khối bê tông bằng:

\(V = {V_1} + {V_2} - {V_3}\) \( = \pi {R^2}h.\left( {\frac{1}{3} + \frac{7}{{18}} - \frac{1}{{16}}} \right)\)\( = \frac{{95}}{{144}}\pi {R^2}.h \approx 3,109\,{{\rm{m}}^3}\).

Gọi \[R = 2,7\,cm\] là bán kính của viên bi. Ta có bán kính phần trong đáy cốc là \[2R\].

Thể tích nước ban đầu là: \[{V_1} = \pi {\left( {2R} \right)^2}.4,5 = 18\pi {R^2}\].

Thể tích viên bi là: \[{V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\].

Thể tích nước sau khi thả viên bi là: \[V = {V_1} + {V_2} = 18\pi {R^2} + \frac{4}{3}\pi {R^3} = 2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)\].

Gọi \[h\] là chiều cao mực nước sau khi thả viên bi vào.

Ta có: \[V = 2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right) = \pi {\left( {2R} \right)^2}.h \Rightarrow h = \frac{{2\pi {R^2}\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)}}{{\pi {{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {9 + \frac{2}{3}R} \right)}}{2} = 5.4\,\left( {cm} \right)\].

Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu, \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.

Theo bài ra ta có: \(h = 2R\) và \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\).

\({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\), \({V_2} = \pi {r^2}h = \pi \frac{{3{R^2}}}{4}.2R = \frac{{3\pi {R^3}}}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{8}{9}\) hay \(9{V_1} = 8{V_2}\).

\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{8}{9}\)

(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu)

Gọi h là chiều cao của chỏm cầu. Ta có \[h = \frac{{2R - d}}{2} = \frac{{2.25 - 40}}{2} = 5cm\]

(\[d\]là khoảng cách giữa hai tâm)

Diện tích xung quanh của chỏm cầu là:\[{S_{xq}} = 2\pi Rh\]

Vì 2 khối cầu bằng nhau nên 2 hình chỏm cầu bằng nhau.

\[{S_{xq}}\] khối trang sức \[ = 2{S_{xq}}\] khối cầu\[ - 2{S_{xq}}\] chỏm cầu.

Khối trang sức có \[{S_{xq}} = 2.4\pi {R^2} - 2.2\pi Rh = 2.4\pi {.25^2} - 2.2\pi .25.5 = 4500\pi c{m^2} = 0.45{m^2}\]

Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức đó là \[470.000.0,45\pi  \simeq 664.000\]đồng.