10 bài tập Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu có lời giải
9 câu hỏi
Cho hình cầu có đường kính d = 6 cm. Diện tích mặt cầu là
36π (cm2).
9π (cm2).
12π (cm2).
36 (cm2).
Đáp án đúng là: A
Bán kính mặt cầu là: 6 : 2 = 3 (cm).
Diện tích mặt cầu là: S = 4πr2 = 4.π.32 = 36π (cm2).
Cho mặt cầu có thể tích V = 288π (cm3). Tính đường kính mặt cầu.
6 cm.
12 cm.
8 cm.
16 cm.
Đáp án đúng là: A
Theo đề, ta có: V = 288π (cm3) nên \[\frac{4}{3}\]πR3 = 288π hay R3 = 216, do đó R = 6 (cm).
Thể tích của quả bóng nhựa hình cầu với đường kính 10 cm là
\[\frac{{4000}}{3}\] cm3.
\[\frac{{500}}{3}\] cm3.
\[\frac{{4000\pi }}{3}\] cm3.
\[\frac{{500\pi }}{3}\] cm3.
Đáp án đúng là: D
Bán kính quả bóng nhựa đó là: 10 : 2 = 5 (cm).
Thể tích khối cầu đó là: V = \[\frac{4}{3}\]πR3 = \[\frac{{500\pi }}{3}\] (cm3)
Một quả bóng rổ (khi bơm căng) có đường kính 24 cm. Tìm thể tích của quả bóng rổ đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
B. 7239 cm3.
7238 cm3.
7237 cm3.
7328 cm3.
Đáp án đúng là: A
Bán kính của quả bóng rổ đó là: 24 : 2 = 12 (cm)
Thể tích của quả bóng rổ đó là: \[\frac{4}{3}\]π.123 ≈ 7238 cm3.
Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 8 cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.
\[\frac{{\pi {a^3}}}{{54}}.\]
\[\frac{{\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{72}}.\]
\[\frac{{\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{54}}.\]
\[\frac{{\pi {a^3}}}{{72}}.\]
Đáp án đúng là: C
Vì ABC là tam gúa đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.
Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp R = OH = \[\frac{{AH}}{3}.\]
Xét tam giác ABH có: AH2 = AB2 – BH2 = a2 – \[{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\].
Suy ra R = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\]
Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\]
Do đó, V = \[\frac{4}{3}\]π. \[{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{54}}\].
Cho một tam giác ABC đều có cạnh AB = 12 cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.
\[32\sqrt 3 .\]
\[16\pi \sqrt 3 .\]
\[8\pi \sqrt 3 .\]
\[32\pi \sqrt 3 .\]
Đáp án đúng là: D
Vì ∆ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.
Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp là R = OH = \[\frac{{AH}}{3}\].
Xét tam giác vuông AH2 = AB2 – BH2 = 122 – \[{\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2}\] = 108, suy ra AH = \[6\sqrt 3 \] cm.
Suy ra R = \[\frac{{AH}}{3} = 2\sqrt 3 \] cm.
Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = \[2\sqrt 3 \] suy ra V = = \[\frac{4}{3}\]π. \[{\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\pi \sqrt 3 \] (cm3).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng 6 cm. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay quanh nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC.
72 (cm2).
18π (cm2).
36π (cm2).
72π (cm2).
Đáp án đúng là: D
Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp đường kính BC.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = \[\frac{{BC}}{2}\].
Theo định lí Pythagore, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 2.62 nên BC = \[6\sqrt 2 \] cm.
Suy ra R = \[\frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \] cm.
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính R = \[3\sqrt 2 \] nên diện tích mặt cầu là:
S = 4πR2 = 4π.\[{\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}\] = 72π (cm2).
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, AD = 6 cm. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC
50π (cm2).
100π (cm2).
100 (cm2).
25π (cm2).
Đáp án đúng là: B
Gọi O là tâm của hình chữ nhật, do đó ta có OA = OB = OC = OD.
Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Khi đó, bán kính đường tròn là R = OA = \[\frac{{AC}}{2}\].
Ta có, DC = AB = 6 cm.
Theo định lý Pythagore vào tam giác ADC, ta có:
AC2 = AD2 + DC2 = 62 + 82 = 100 nên AC = 10 cm.
Do đó, bán kính đường tròn R = 5 cm.
Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 5 cm.
Diện tích mặt cầu là: S = 4πR2 = 4π.52 = 100π (cm2).
Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích toàn phần của hình lập phương là 24 cm2 thì diện tích mặt cầu là
4π.
4.
2π.
2.
Đáp án đúng là: A
Diện tích một mặt của hình lập phương đó là: 24 : 6 = 4 (cm2).
Suy ra độ dài cạnh của hình lập phương đó là: \[\sqrt 4 = 2\] (cm).
Nhận thấy cạnh của hình lập phương có độ dài bằng đường kính của mặt cầu.
Suy ra bán kính của mặt cầu là: 2 : 2 = 1 (cm).
Diện tích của mặt cầu là 4π.12 = 4π (cm2).
