10 bài tập Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu có lời giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính mặt cầu là: 6 : 2 = 3 (cm).

Diện tích mặt cầu là: S = 4πr² = 4.π.3² = 36π (cm²).

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có: V = 288π (cm³) nên \[\frac{4}{3}\]πR³ = 288π hay R³ = 216, do đó R = 6 (cm).

Đáp án đúng là: D

Bán kính quả bóng nhựa đó là: 10 : 2 = 5 (cm).

Thể tích khối cầu đó là: V = \[\frac{4}{3}\]πR³ = \[\frac{{500\pi }}{3}\] (cm³)

Đáp án đúng là: A

Bán kính của quả bóng rổ đó là: 24 : 2 = 12 (cm)

Thể tích của quả bóng rổ đó là: \[\frac{4}{3}\]π.12³ ≈ 7238 cm³.

Đáp án đúng là: C

Vì ABC là tam gúa đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp R = OH = \[\frac{{AH}}{3}.\]

Xét tam giác ABH có: AH² = AB² – BH² = a² – \[{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\].

Suy ra R = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\]

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\]

Do đó, V = \[\frac{4}{3}\]π. \[{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{54}}\].

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp là R = OH = \[\frac{{AH}}{3}\].

Xét tam giác vuông AH² = AB² – BH² = 12² – \[{\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2}\] = 108, suy ra AH = \[6\sqrt 3 \] cm.

Suy ra R = \[\frac{{AH}}{3} = 2\sqrt 3 \] cm.

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = \[2\sqrt 3 \] suy ra V = = \[\frac{4}{3}\]π. \[{\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\pi \sqrt 3 \] (cm³).

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp đường kính BC.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = \[\frac{{BC}}{2}\].

Theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 2.6² nên BC = \[6\sqrt 2 \] cm.

Suy ra R = \[\frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \] cm.

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính R = \[3\sqrt 2 \] nên diện tích mặt cầu là:

S = 4πR² = 4π.\[{\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}\] = 72π (cm²).

Đáp án đúng là: B

Gọi O là tâm của hình chữ nhật, do đó ta có OA = OB = OC = OD.

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Khi đó, bán kính đường tròn là R = OA = \[\frac{{AC}}{2}\].

Ta có, DC = AB = 6 cm.

Theo định lý Pythagore vào tam giác ADC, ta có:

AC² = AD² + DC² = 6² + 8² = 100 nên AC = 10 cm.

Do đó, bán kính đường tròn R = 5 cm.

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 5 cm.

Diện tích mặt cầu là: S = 4πR² = 4π.5² = 100π (cm²).

Đáp án đúng là: A

Diện tích một mặt của hình lập phương đó là: 24 : 6 = 4 (cm²).

Suy ra độ dài cạnh của hình lập phương đó là: \[\sqrt 4 = 2\] (cm).

Nhận thấy cạnh của hình lập phương có độ dài bằng đường kính của mặt cầu.

Suy ra bán kính của mặt cầu là: 2 : 2 = 1 (cm).

Diện tích của mặt cầu là 4π.1² = 4π (cm²).