Bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) (x > 0).

Khi đó, vận tốc xe ô tô là x + 20 (km/h).

Sau khi hai xe gặp nhau (gọi là điểm C), xe máy đi 1 giờ 30 phút (tức 1,5 giờ) nữa mới đến B nên quãng đường từ C đến B là: 1,5x (km).

Thời gian xe ô tô đi từ lúc khởi hành từ B đến C là: \(\frac{{1,5x}}{{x + 20}}\) (giờ).

Do đó, quãng đường từ A đến C là: 100 – 1,5x (km), nên thời gian xe máy đi từ lúc khởi hành từ A đến C là: \(\frac{{100 - 1,5x}}{x}\) (giờ).

Vì hai xe cùng xuất phát và cùng gặp nhau nên ta có phương trình:

\(\frac{{100 - 1,5x}}{x} = \frac{{1,5x}}{{x + 20}}.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{100 - 1,5x}}{x} = \frac{{1,5x}}{{x + 20}}\)

(100 – 1,5x)(x + 20) = x.1,5x

100x + 2 000 – 1,5x² – 30x = 1,5x²

3x² – 70x – 2 000 = 0

Phương trình trên có ∆' = (–35)² – 3.(–2 000) = 7225 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {7255} = 85.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{35 - 85}}{3} = - \frac{{50}}{3}\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{35 + 85}}{3} = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h; vận tốc của xe ô tô là 40 + 20 = 60 (km/h).

Đáp án đúng là: B

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là x (g/cm³) (x > 0).

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là x + 1 (g/cm³).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\frac{{880}}{{x + 1}}\) (cm³).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\frac{{858}}{x}\) (cm³).

Theo bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm³, nên ta có phương trình:

\(\frac{{858}}{x} - \frac{{880}}{{x + 1}} = 10.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{858}}{x} - \frac{{880}}{{x + 1}} = 10\)

\[\frac{{858\left( {x + 1} \right) - 880x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 10\]

\[\frac{{858x + 858 - 880x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 10\]

\[\frac{{858 - 22x}}{{{x^2} + x}} = 10\]

10(x² + x) = 858 – 22x

10x² + 10x = 858 – 22x

10x² + 32x – 858 = 0

5x² + 16x – 429 = 0

Phương trình trên có:

∆' = 8² – 5.(–429) = 2209 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {2209} = 47.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 8 - 47}}{5} = - 11\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 8 + 47}}{5} = 7,8\) (thỏa mãn).

Khi đó, khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 g/cm³ và khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 7,8 + 1 = 8,8 (g/cm³).

Đáp án đúng là: C

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x (%/năm) (x > 0).

Số tiền lãi bác Ba phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là 100.x% = x (triệu đồng).

Số tiền bác Ba phải trả sau 1 năm là 100 + x (triệu đồng).

Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác Ba phải trả sau 2 năm là: \[\left( {100 + x} \right) \cdot x\% = \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}}\] (triệu đồng).

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau 2 năm bác Ba phải trả là: \(100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}}\) (triệu đồng).

Hết 2 năm, bác Ba phải trả tất cả là 121 triệu đồng nên ta có phương trình:

\[100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}} = 121\]

Giải phương trình:

\[100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}} = 121\]

10 000 + 100x + 100x + x² = 12 100

x² + 200x – 2 100 = 0

Phương trình trên có ∆' = 100² – 1.(–2 100) = 12 100 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {12\,\,100} = 110.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 100 - 110}}{1} = - 210\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 100 + 110}}{1} = 10\) (thỏa mãn).

Vậy lãi suất của ngân hàng đó là 10%/năm.

Đáp án đúng là: D

Chiều dài hình chữ nhật là: x + 4 (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: x(x + 4) = x² + 4x (cm²).

Đáp án đúng là: D

Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên số lớn hơn là: x + 2.

Tích của hai số là: x(x + 2) = x² + 2x.

Vì tích của hai số bằng 143 nên ta có: x² + 2x = 143 hay x² + 2x – 143 = 0.

Vậy ta thu có phương trình là x² + 2x – 143 = 0.

Đáp án đúng là: C

Độ dài cạnh góc vuông lớn hơn là x + 2 (cm).

Diện tích tam giác vuông là: \(\frac{1}{2}{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 2} \right) = \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vì diện tích tam giác vuông bằng 24 cm² nên ta có phương trình:

\(\frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}} = 24\) nên x² + 2x – 48 = 0.

Do đó, ta có phương trình là x² + 2x – 48 = 0.

Đáp án đúng là: B

Chiều dài hình chữ nhật là: 15 – x (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: x(15 – x) = –x² + 15x (cm²).

Vì diện tích hình chữ nhật bằng 44 cm² nên ta có phương trình

–x² + 15x = 44 hay x² – 15x + 44 = 0.

Đáp án đúng là: C

Vận tốc người đó đi từ B về A là: x + 10 (km/h).

Thời gian người đó đi từ A đến B là: \(\frac{{200}}{{\rm{x}}}\) (giờ).

Thời gian người đó đi từ B đến A là: \(\frac{{200}}{{{\rm{x}} + 10}}\) (giờ).

Vì thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là 9 giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{200}}{{\rm{x}}} + \frac{{200}}{{{\rm{x}} + 10}} = 9\)

\(\frac{{200\left( {{\rm{x}} + 10} \right) + 200{\rm{x}}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}} = \frac{{9{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}}\)

200x + 2 000 + 200x = 9x² + 90x

9x² – 310x – 2 000 = 0.

Do đó, ta thu được phương trình 9x² – 310x – 2 000 = 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì thực tế có 4 xe bị điều đi làm việc khác nên số xe thực tế chở hàng là x – 4 (xe).

b) Sai.

Thực tế, có x – 4 xe chở 240 tấn hàng nên mỗi xe chở \(\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}}\) tấn hàng.

Vậy thực tế mỗi xe chở \(\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}}\) tấn hàng.

c) Sai.

Theo dự định, mỗi xe chở \(\frac{{240}}{{\rm{x}}}\) tấn hàng.

Vì thực tế mỗi xe phải chở thêm 5 tấn so với dự định nên ta có phương trình

\(\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}} - \frac{{240}}{{\rm{x}}} = 5\).

d) Đúng.

\(\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}} - \frac{{240}}{{\rm{x}}} = 5\)

\(\frac{{240{\rm{x}} - 240\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}} = \frac{{5{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}\)

240x – 240x + 960 = 5x² – 20x

5x² – 20x – 960 = 0

x² – 4x – 192 = 0

x² + 12x – 16x – 192 = 0

x(x + 12) – 16(x + 12) = 0

(x – 16)(x + 12) = 0

x – 16 = 0 hoặc x + 12 = 0

x = 16 (thỏa mãn) hoặc x = –12 (loại).

Vậy đội xe dự định dùng 16 xe để chở hàng.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì mỗi năm dân số tăng x nên sau năm đầu tiên, dân số tỉnh A là: 2 + 2x (người).

b) Sai.

Sau hai năm, dân số tỉnh A là: 2 + 2x + x(2 + 2x) = 2x² + 4x + 2 (người).

Vậy sau hai năm dân số tỉnh A là 2x² + 4x + 2 triệu người.

c) Đúng.

Vì sau hai năm, dân số tỉnh A là 2,0402 triệu người nên ta có phương trình

2x² + 4x + 2 = 2,0402 nên 2x² + 4x – 0,0402 = 0 hay x² + 2x – 0,0201 = 0.

Vậy ta có phương trình x² + 2x – 0,0201 = 0.

d) Đúng.

x² + 2x – 0,0201 = 0

x² – 0,01x + 2,01x – 0,0201 = 0

x(x – 0,01) + 2,01(x – 0,01) = 0

(x + 2,01)(x – 0,01) = 0

x + 2,01 = 0 hoặc x – 0,01 = 0

x = –2,01 (loại) hoặc x = 0,01 (thỏa mãn).

Vậy mỗi năm, dân số tỉnh A tăng 1%.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì hai đội làm riêng thì đội thứ nhất hoàn thành đoạn đường nhanh hơn đội thứ hai 5 giờ nên thời đội thứ hai làm riêng hoàn thành đoạn đường là x + 5 (giờ).

b) Đúng.

Trong 1 giờ, đội thứ nhất làm được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (đoạn đường).

Trong 1 giờ, đội thứ hai làm được \(\frac{1}{{{\rm{x}} + 5}}\) (đoạn đường).

Trong 1 giờ, cả hai đội cùng làm được \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{x}} + 5}}\) đoạn đường.

c) Đúng.

Vì hai đội cùng làm thì sau 3 giờ 20 phút \( = \frac{{10}}{3}\) giờ hoàn thành đoạn đường nên trong một giờ của hai đội làm được \(\frac{3}{{10}}\) đoạn đường.

Ta có phương trình \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{x}} + 5}} = \frac{3}{{10}}.\)

d) Sai.

\(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{x}} + 5}} = \frac{3}{{10}}\)

\(\frac{{{\rm{10x}} + 10\left( {5 + {\rm{x}}} \right)}}{{{\rm{10x}}\left( {{\rm{x}} + 5} \right)}} = \frac{{3{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 5} \right)}}{{10{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 5} \right)}}\)

10x + 50 + 10x = 3x² + 15x

3x² – 5x – 50 = 0

3x² – 15x + 10x – 50 = 0

3x(x – 5) + 10(x – 5) = 0

(x – 5)(3x + 10) = 0

x – 5 = 0 hoặc 3x + 10 = 0

x = 5 (thỏa mãn) hoặc \({\rm{x}} = \frac{{ - 10}}{3}\;\,\left( {\rm{L}} \right)\).

Vậy thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành đoạn đường là 8 giờ.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì thực tế mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 450 cuốn so với theo kế hoạch nên số cuốn sách xưởng in một ngày theo thực tế x + 450 (cuốn).

b) Sai.

Thực tế, xưởng in xong 9 000 cuốn sách trong \(\frac{{9\;000}}{{{\rm{x}} + 450}}\) ngày.

c) Đúng.

Theo kế hoạch, xưởng in xong 9 000 cuốn sách trong \(\frac{{9\;000}}{{\rm{x}}}\) ngày.

Vì thực tế xưởng đã in đủ số cuốn sách theo kế hoạch sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{9\;000}}{{\rm{x}}} - \frac{{9\;000}}{{{\rm{x}} + 450}} = 1.\)

d) Đúng.

\(\frac{{9\;000}}{{\rm{x}}} - \frac{{9\;000}}{{{\rm{x}} + 450}} = 1\)

\(\frac{{9\;000\left( {{\rm{x}} + 450} \right) - 9\;000{\rm{x}}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 450} \right)}} = \frac{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 450} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 450} \right)}}\)

9 000x + 4 050 000 – 9 000x = x² + 450x

x² + 450x – 4 050 000 = 0

x² – 1 800x + 2 250x – 4 050 000 = 0

x(x – 1800) + 2 250(x – 1800) = 0

(x – 1800)(x + 2 250) = 0

x – 1 800 = 0 hoặc x + 2 250 = 0

x = 1 800 (thỏa mãn) x = –2 250 (loại).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng cần in 1 800 cuốn sách.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì vận tốc dòng nước là 2,5 km/h nên vận tốc thuyền đi xuôi dòng từ A đến B là x + 2,5 (km/h).

b) Sai.

Vận tốc thuyền đi ngược dòng từ B đến A là x – 2,5 (km/h).

Thời gian thuyền đi xuôi dòng từ A đến B là \(\frac{{60}}{{{\rm{x}} + 2,5}}\) (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng từ B đến A là \(\frac{{60}}{{{\rm{x}} - 2,5}}\) (giờ).

Tổng thời gian thuyền đi xuôi dòng và ngược dòng là \(\frac{{60}}{{{\rm{x}} + 2,5}} + \frac{{60}}{{{\rm{x}} - 2,5}}\) (giờ).

c) Sai.

Vì thuyền chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 4 giờ 24 phút = 4,4 giờ nên ta có phương trình \(\frac{{60}}{{{\rm{x}} + 2,5}} + \frac{{60}}{{{\rm{x}} - 2,5}} = 4,4\).

d) Sai.

\(\frac{{60}}{{{\rm{x}} + 2,5}} + \frac{{60}}{{{\rm{x}} - 2,5}} = 4,4\)

\(\frac{{60\left( {{\rm{x}} - 2,5} \right) + 60\left( {{\rm{x}} + 2,5} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} + 2,5} \right)\left( {{\rm{x}} - 2,5} \right)}} = \frac{{4,4\left( {{\rm{x}} + 2,5} \right)\left( {{\rm{x}} - 2,5} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} + 2,5} \right)\left( {{\rm{x}} - 2,5} \right)}}\)

60x – 150 + 60x + 150 = 4,4x² – 27,5

4,4x² – 120x – 27,5 = 0

4,4x² – 121x + x – 27,5 = 0

4,4x(x – 27,5) + (x – 27,5) = 0

(x – 27,5)(4,4x + 1) = 0

x – 27,5 = 0 (do 4,4x + 1 > 0 với x > 0).

x = 27,5 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc thực của thuyền bằng 27,5 km/h.

Đáp án: 12

Gọi số dãy ghế trong phòng họp ban đầu là x (dãy, \({\rm{x}} \in \mathbb{N}*,\;\,{\rm{x}} > 4\)).

Số chỗ ngồi trong mỗi dãy ghế ban đầu là \(\frac{{240}}{{\rm{x}}}\) (chỗ ngồi).

Khi bớt đi 4 dãy ghế thì số dãy ghế là x – 4 (dãy).

Số chỗ ngồi trong mỗi dãy ghế khi có x – 4 dãy ghế là: \(\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}}\) (chỗ ngồi).

Vì số chỗ ngồi trong mỗi dãy tăng thêm 10 chỗ nên ta có phương trình:

\(\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}} - \frac{{240}}{{\rm{x}}} = 10\)

\(\frac{{24{\rm{x}} - 24\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}} = \frac{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}\)

24x – 24x + 96 = x² – 4x

x² – 4x – 96 = 0

x² – 12x + 8x – 96 = 0

x(x – 12) + 8(x – 12) = 0

(x – 12)(x + 8) = 0

x = 12 (thỏa mãn) hoặc x = –8 (loại).

Vậy ban đầu có 12 dãy ghế trong phòng.

Đáp án: 20

Giá của chiếc áo khi giảm giá lần thứ nhất là: 200 – 200x% = 200 – 2x (nghìn đồng).

Giá của chiếc áo khi giảm giá lần thứ hai là: 200 – 2x – x%(200 – 2x) (nghìn đồng).

Vì sau hai lần giảm giá thì giá chiếc áo là 128 nghìn đồng nên ta có phương trình:

200 – 2x – x%(200 – 2x) = 128

200 – 2x – 0,01x(200 – 2x) = 128

0,02x² – 4x + 72 = 0

x² – 200x + 3 600 = 0

x² – 20x – 180x + 3 600 = 0

x(x – 20) – 180(x – 20) = 0

(x – 180)(x – 20) = 0

x – 180 = 0 hoặc x – 20 = 0

x = 180 (loại) hoặc x = 20 (thỏa mãn).

Vậy x = 20.

Đáp án: 22

Gọi số chẵn bé hơn cần tìm là x \(\left( {{\rm{x}} \in \mathbb{N}} \right)\).

Số chẵn lớn hơn cần tìm là x + 2.

Vì tích hai số bằng 120 nên ta có phương trình

x(x + 2) = 120

x² + 2x – 120 = 0

x + 12x – 10x – 120 = 0

x(x + 12) – 10(x + 12) = 0

(x – 10)(x + 12) = 0

x – 10 = 0 hoặc x + 12 = 0

x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = –12 (loại).

Do đó, hai số cần tìm là 10 và 12.

Vậy tổng của hai số cần tìm bằng 22.

Đáp án: 40

Gọi vận tốc của người đi xe máy từ A đến B là x (km/h, x > 0).

Vận tốc của người đó đi từ B đến C là: x + 10 (km/h).

Thời gian người đó đi từ A đến B là: \(\frac{{70}}{{\rm{x}}}\) (giờ).

Thời gian người đó đi từ B đến C là: \(\frac{{20}}{{{\rm{x}} + 10}}\) (giờ).

Vì người đó nghỉ 15 phút \( = \frac{1}{4}\) giờ và tổng thời gian người đó đi từ A đến C hết 2 giờ 24 phút \( = \frac{{12}}{5}\) giờ nên ta có phương trình

\(\frac{{70}}{{\rm{x}}} + \frac{1}{4} + \frac{{20}}{{{\rm{x}} + 10}} = \frac{{12}}{5}\)

\(\frac{{70\left( {{\rm{x}} + 10} \right) + 20{\rm{x}}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}} = \frac{{43}}{{20}}\)

\(\frac{{20\left( {90{\rm{x}} + 700} \right)}}{{{\rm{20x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}} = \frac{{43{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}}{{20{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}}\)

1 800x + 14 000 = 43x² + 430x

43x² – 1 370x – 14 000 = 0

43x² – 1 720x + 350x – 14 000 = 0

43x(x – 40) + 350(x – 40) = 0

(x – 40)(43x + 350) = 0

x – 40 = 0 (do 43x + 350 > 0 với x > 0)

x = 40 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của người đi xe máy từ A đến B là 40 km/h.

Đáp án: 1,6

Thể tích của hỗn hợp chất lỏng là: \(\frac{{12 + 16}}{{1,4}} = 20\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng A là x (g/cm³, x > 0,4).

Khối lượng riêng của chất lỏng B là x – 0,4 (g/cm³).

Thể tích của chất lỏng A là: \(\frac{{16}}{{\rm{x}}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Thể tích của chất lỏng B là: \(\frac{{12}}{{{\rm{x}}--0,4}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Thể tích của hỗn hợp là: \(\frac{{16}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{12}}{{{\rm{x}}--0,4}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

Ta có phương trình: \(\frac{{16}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{12}}{{{\rm{x}}--0,4}} = 20\)

\(\frac{{16\left( {{\rm{x}}--0,4} \right) + 12{\rm{x}}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}}--0,4} \right)}} = \frac{{20{\rm{x}}\left( {{\rm{x}}--0,4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}}--0,4} \right)}}\)

16x – 6,4 + 12x = 20x² – 8x

20x² – 36x + 6,4 = 0

20x² – 4x – 32x + 6,4 = 0

4x(5x – 1) – 6,4(5x – 1) = 0

(5x – 1)(4x – 6,4) = 0

5x – 1 = 0 hoặc 4x – 6,4 = 0

x = 0,2 (không thỏa mãn) hoặc x = 1,6 (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng A là 1,6 g/cm³.