Bài tập cuối chương I có đáp án

Trong các phát biểu đã cho, có phát biểu a, b là các mệnh đề toán học vì nó khẳng định một sự kiện trong toán học, trong đó, phát biểu b là mệnh đề kéo theo.

Phát biểu ở câu c không phải mệnh đề toán học.

+ A: “Đồ thị hàm số y = x là một đường thẳng”

 Phủ định của mệnh đề A là mệnh đề $\overline{A}$ : “Đồ thị hàm số y = x không phải là một đường thẳng”.

Mệnh đề phủ định $\overline{A}$  này là mệnh đề sai vì đồ thị của hàm số y = x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

+ B: “Đồ thị hàm số y = x² đi qua điểm A(3; 6)”

Phủ định của mệnh đề B là mệnh đề $\overline{B}$ : “Đồ thị của hàm số y = x² không đi qua điểm A(3; 6)”.

Mệnh đề $\overline{B}$  là mệnh đề đúng.

Thật vậy, thay tọa độ của điểm A(3; 6) vào hàm số y = x²

Ta thấy 3² = 9 ≠ 6.

Vậy đồ thị của hàm số y = x² không đi qua điểm A(3; 6).

Vậy phủ định của mệnh đề B là mệnh đề đúng. 

a) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng vì ABCD là hình chữ nhật thì AB // = CD nên ABCD là hình bình hành.

b) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD là hình vuông”.

Mệnh đề phủ định là là mệnh đề sai, thật vậy, ta có thể lấy một hình thoi không có góc nào là góc vuông thì hình thoi ấy không phải là hình vuông.

+ Phủ định của mệnh đề A: “$\forall x\in ℝ$ , |x| ≥ x” là mệnh đề $\overline{A}$ : “$\forall x\in ℝ$ |x| < x”.

+ Phủ định của mệnh đề B: “$\forall x\in ℝ$ ,$x+\frac{1}{x}\ge 2$ ” là mệnh đề $\overline{B}$  : “$\exists x\in ℝ,x+\frac{1}{x}<2$ ”.

+ Phủ định của mệnh đề C: “$\exists x\in \mathbb{Z},$ 2x² + 3x – 2 = 0” là mệnh đề $\overline{C}$ : “$\forall x\in ℝ$ , 2x² + 3x – 2 ≠ 0”.

+ Phủ định của mệnh đề D: “$\exists x\in \mathbb{Z},$ x² < x” là mệnh đề $\overline{D}$ : “$\forall x\in ℝ$ , x² ≥ x”.

a) A = {x$\in ℝ$ | – 2 < x < – 1} =  (–2 ; – 1)

Ta biểu diễn tập hợp A (phần màu đỏ) như sau:

b) B = {x$\in ℝ$ | – 3 ≤ x ≤ 0} = [– 3; 0]

Ta biểu diễn tập hợp B (phần màu đỏ) như sau:

c) C = {x$\in ℝ$ | x ≤ 1} = (– ∞; 1]

Ta biểu diễn tập hợp C (phần màu đỏ) như sau:

d) D = {x$\in ℝ$ | x > – 2} = (– 2; +∞)

Ta biểu diễn tập hợp D (phần màu đỏ) như sau:

a) Ta thấy 8 đội ở vòng đấu tứ kết được chọn từ 16 đội ở vòng đấu loại trực tiếp và 16 đội ở vòng loại trực tiếp được chọn từ 32 đội tham gia World Cup năm 2018.

Do đó các phần tử thuộc tập hợp C đều thuộc tập hợp B và các phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A.

Nên C là tập con của B và B là tập con của A.

Vậy C ⊂ B ⊂ A.

b) Có C ⊂ A nên A ∩ C = C

Lại có C ⊂ B nên B ∩ C = C

Vậy A ∩ C = B ∩ C.

c) Tập hợp A \ B là tập hợp các đội bóng thuộc A nhưng không thuộc B.

Mà A là tập hợp 32 đội tham gia World Cup năm 2018, B là tập hợp 16 đội sau vòng thi đấu bảng.

Điều này có nghĩa là tập hợp A \ B gồm những đội bóng bị loại sau vòng thi đấu bảng.

+ Tập hợp A ∩ B là tập hợp các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

Vậy A ∩ B = [0; 3] ∩ (2; + ∞) = (2; 3].

+ Tập hợp A ∪ B là tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

Vậy A ∪ B = [0; 3] ∪ (2; + ∞) = [0; + ∞).

+ Tập hợp A \ B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

Vậy A \ B = [0; 3] \ (2; + ∞) = [0; 2].

+ Tập hợp B \ A là tập hợp các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A

Vậy B \ A =  (2; + ∞) \ [0; 3] = (3; + ∞).

+ Tập hợp $ℝ$ \ B là tập hợp các số thực không thuộc tập hợp B

Vậy $ℝ$ \ B =  $ℝ$\ (2; + ∞) = (– ∞; 2].

+ Giải phương trình x² – 2x – 3 = 0

Ta có ∆' = (– 1)² – 1 . (– 3) = 1 + 3 = 4

Vậy phương trình trên có hai nghiệm là 3 và – 1.

M là tập nghiệm của phương trình x² – 2x – 3 = 0 nên M = {– 1; 3}.

+ Ta có: (x + 1)(2x – 3) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x+1=0\\ 2x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

N là tập nghiệm của phương trình (x + 1)(2x – 3) = 0 nên N = $\left\{-1;\frac{3}{2}\right\}$

+ P = M ∩ N hay P là giao của hai tập hợp M và N, gồm các phần tử vừa thuộc M vừa thuộc N.

Vậy P = M ∩ N = {– 1; 3}$\cap \left\{-1;\frac{3}{2}\right\}$  = {– 1}.