Bài tập Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Số đo của các góc lượng giác (OA, OM) trong hình vẽ dưới đây là:
+ k2π, k ∈ ℤ;
+ k2π, k ∈ ℤ;
+ kπ, k ∈ ℤ;
+ kπ, k ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ hình vẽ ta thấy các góc lượng giác (OA, OM) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và
+ quay theo chiều dương một góc và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên có số đo của các góc lượng giác (OA, OM) = + k2π, k ∈ ℤ.
+ hoặc quay theo chiều âm một góc và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên có số đo của các góc lượng giác (OA, OM) = + k2π, k ∈ ℤ.
Điểm biểu diễn góc α và góc π – α đối xứng nhau qua trục tung;
Điểm biểu diễn góc α và góc – α đối xứng qua gốc tọa độ;
Mỗi góc lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất;
Góc α và góc α + k2π (k ∈ ℤ) có cùng điểm biểu diễn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Khẳng định C, D đúng vì đây là các tính chất thừa nhận.
Khẳng định A đúng: ta có hình vẽ dưới đây
Khẳng định B sai vì góc α và góc – α đối xứng qua trục hoành như hình vẽ dưới đây:
Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng là điểm nào trong hình vẽ dưới đây?
Điểm A;
Điểm B';
Điểm M;
Điểm B.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có
Do đó điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng
Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng là điểm chính giữa của cung nhỏ và là điểm M trong hình vẽ.
Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng là điểm nào trong hình vẽ dưới đây?
Điểm A;
Điểm N;
Điểm M;
Điểm A'.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có (rad).
Giả sử P là điểm trên đường tròn lượng giác sao cho sđ (OA, OP) =
Như vậy (OA, OP) là góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OP và quay theo chiều âm một góc
Vậy điểm P trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OP) = được biểu diễn trùng với điểm M trên hình vẽ.
Cho hình vẽ dưới đây
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Điểm C biểu diễn góc ;
Điểm D biểu diễn góc ;
Điểm F biểu diễn góc ;
Điểm E biểu diễn góc .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có (rad).
· Mệnh đề A đúng vì:
Góc lượng giác (OA, OC) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OC và khi quay theo chiều âm một góc nên ta nói điểm C biểu diễn cho góc .
· Mệnh đề B sai vì:
Góc lượng giác (OA, OD) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OD và khi quay theo chiều âm một góc nên ta nói điểm D biểu diễn cho góc
· Mệnh đề C sai vì:
Góc lượng giác (OA, OF) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OF và khi quay theo chiều dương một góc nên ta nói điểm F biểu diễn cho góc
· Mệnh đề D sai vì:
Góc lượng giác (OA, OE) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OE và khi quay theo chiều dương một góc nên ta nói điểm E biểu diễn cho góc
Hình 1;
Hình 2;
Hình 3;
Hình 4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có (OA, OM) = – 135° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều âm (cùng chiều quay của kim đồng hồ) một góc 135°.
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = – 135° được biểu diễn như hình dưới đây:
Trên hình vẽ, hai điểm M, N biểu diễn các góc lượng giác có số đo là:
+ k2π, k ∈ ℤ;
+ k2π, k ∈ ℤ;
+ kπ, k ∈ ℤ;
+ k, k ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có một góc lượng giác (OA, OM) = và cứ thêm một góc có số đo là π thì góc đó có điểm cuối lại quẹt đến điểm N và điểm M (do M, N đối xứng với nhau qua tâm O).
Vậy hai điểm M, N biểu diễn các góc lượng giác có số đo là
+ k2π, k ∈ ℤ;
+ k2π, k ∈ ℤ;
+ k2π, k ∈ ℤ;
+ kπ, k ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox với góc lượng giác(OA, OM) = nên góc lượng giác (OA, OM1) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM1 và
+quay theo chiều dương một góc bằng và chỉ có duy nhất một điểm M1 trên đường tròn lượng giác (do M1 đối xứng với M qua Ox) nên có số đo của các góc lượng giác (OA, OM1) = + k2π, k ∈ ℤ.
+quay theo chiều âm một góc và chỉ có duy nhất một điểm M1 trên đường tròn lượng giác (do M1 đối xứng với M qua Ox) nên có số đo của các góc lượng giác (OA, OM1) = + k2π, k ∈ ℤ.
6;
4;
3;
8.
Đáp án đúng là: C
Vì điểm M nằm trên đường tròn lượng giác và biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\), k ∈ ℤ nên ta có 3 điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo này:
· Với k = 0, \({x_1} = \frac{\pi }{6},\) được biểu diễn bởi điểm M1 ở hình vẽ bên dưới.
· Với k = 1, \({x_2} = \frac{{5\pi }}{6},\) được biểu diễn bởi điểm M2 ở hình vẽ bên dưới.
· Với k = 2, \({x_3} = \frac{{3\pi }}{2},\) được biểu diễn bởi điểm M3 ở hình vẽ bên dưới.
(Với các giá trị k khác, các điểm biểu diễn lần lượt trùng với các điểm M1, M2, M3).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
– 120° hoặc 240°;
120° + k360°, k ∈ ℤ;
60° + k360°, k ∈ ℤ;
120° + k180°, k ∈ ℤ.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\widehat {AOB} = 90^\circ \Leftrightarrow \widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MOB} = 90^\circ - \widehat {AOM} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\)
Vì OM = ON (vì cùng bằng bán kính) nên tam giác MON cân tại O.
Mà OB là đường cao nên OB cũng là đường phân giác của \(\widehat {NOM}.\)
Suy ra \(\widehat {NOM} = 2\widehat {MOB} = 60^\circ .\)
Do đó \(\widehat {AON} = \widehat {AOM} + \widehat {MON} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ .\)
Ta có các góc lượng giác (OA, ON) được tạo bởi tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON khi quay theo chiều dương một góc bằng \(\widehat {AON} = 120^\circ .\) Vì chỉ có duy nhất một điểm N trên đường tròn lượng giác (do điểm N là điểm đối xứng với M qua trục Oy) nên có số đo của các góc lượng giác (OA, ON) = 120° + k360°, k ∈ ℤ.
\( - \frac{\pi }{3}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\frac{{4\pi }}{3}\).
\( - \frac{{2\pi }}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Điểm M' biểu diễn góc lượng giác \( - \frac{\pi }{3}\).
Thứ I.
Thứ II.
Thứ III.
Thứ IV.
Đáp án đúng là: C
Điểm biểu diễn góc −120° nằm ở góc phần tư thứ III.
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: B
Có 2 điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho họ các góc lượng giác có số đo \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) là M và M' (như hình).
x = kπ (k ∈ ℤ).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Các điểm biểu diễn họ các nghiệm \(x = k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) là 4 điểm A, B, A', B' như hình.
4 điểm này tạo thành một hình vuông ABA'B'.
\(\frac{\pi }{6}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
Đáp án đúng là: C
Có điểm B và B' biểu diễn họ góc \(y = \frac{\pi }{2} + k\pi \) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ
Để họ góc \(x = \alpha + k\frac{{2\pi }}{3}\) có điểm trùng với họ y thì góc xuất phát α phải có điểm mút trùng vào 1 trong hai vị trí B hoặc B' khi chọn giá trị nguyên phù hợp.
Với \(\alpha = \frac{\pi }{2}\) ứng với k = 0 ta có ngay điểm đầu tiên.
Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và bán kính bằng 1.
Điểm gốc của tất cả các cung và góc lượng giác luôn là điểm A(1; 0) nằm trên trục hoành.
Họ các góc lượng giác có số đo tổng quát \(x = \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi đúng 2 điểm đối xứng nhau qua tâm trên đường tròn lượng giác.
Hai góc lượng giác có số đo khác nhau thì không bao giờ có cùng một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Dựa vào định nghĩa.
b) Đúng. Quy ước cố định điểm khởi đầu A(1; 0) nằm trên trục hoành làm gốc.
c) Sai. Họ góc \(x = \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) chỉ có duy nhất 1 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
d) Sai. Các góc lượng giác sai khác nhau bội nguyên của 2π hoặc 360° đều có chung một điểm biểu diễn duy nhất trên đường tròn lượng giác.
Điểm biểu diễn của góc α1 = 405° trùng với điểm biểu diễn của góc 45°.
Điểm biểu diễn của góc α2 = −135° nằm ở góc phần tư thứ III.
Điểm biểu diễn của góc α1 và góc α3 trùng nhau hoàn toàn.
Tia đầu và tia cuối của góc α2 tạo với nhau một góc hình học bằng 135°.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có 405° = 45° + 360°.
Vì hai góc này sai khác nhau đúng 1 vòng quay nên hai góc này có cùng điểm biểu diễn.
b) Đúng. Có −180° < −135° < −90° nên góc α2 = −135° nằm ở góc phần tư thứ III.
c) Đúng. Có \({\alpha _3} = \frac{{17\pi }}{4} = \frac{{17\pi }}{4} \cdot {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^\circ } = 765^\circ = 45^\circ + 2 \cdot 360^\circ \) nên góc này trùng điểm biểu diễn với góc α1.
d) Đúng. Tia đầu và tia cuối của góc α2 tạo với nhau một góc hình học bằng 135°.
Họ này được biểu diễn bởi đúng 3 điểm trên đường tròn lượng giác.
Khi k = 1, ta được 1 điểm biểu diễn nằm ở góc phần tư thứ III.
Các điểm biểu diễn của họ góc này tạo thành một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
Điểm đối xứng qua tâm O của điểm biểu diễn ứng với k = 0 không thuộc tập hợp các điểm biểu diễn của họ góc này.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Họ này được biểu diễn bởi 3 điểm M, N, B như hình vẽ
b) Sai. Với k = 1 thì \(x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2}\). Góc này không thuộc góc phần tư thứ III.
c) Đúng. Điểm biểu diễn họ nghiệm này là tam giác BMN có BM = BN = MN nên tam giá BMN đều.
d) Đúng. Với k = 0 thì \(x = - \frac{\pi }{6}\). Điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là điểm M.
Điểm đối xứng với M qua gốc O là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\frac{{5\pi }}{6}\) không thuộc điểm biểu diễn của họ nghiệm này.
Họ góc x có 2 điểm biểu diễn, họ góc y cũng có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Tất cả các điểm biểu diễn của cả hai họ góc x và y tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông.
Không có bất kì điểm biểu diễn nào của họ góc x trùng với điểm biểu diễn của họ góc y.
4 điểm biểu diễn của hai góc trên nhận trục Ox, Oy làm các trục đối xứng.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Họ lượng giác \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) có hai điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là M và N.
Họ lương giác \(y = - \frac{\pi }{4} + n\pi \) có hai điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là P và Q.
b) Đúng. Tất cả các điểm biểu diễn của cả hai họ góc x và y tạo thành 4 đỉnh của hình vuông MQNP.
c) Đúng. Điểm biểu diễn nào của họ góc x không trùng với điểm biểu diễn của họ góc y.
d) Đúng. Do tính chất đối xứng của các góc ±45° và ±135° qua trục hoành và trục tung, nên 4 điểm biểu diễn này nhận các trục Ox, Oy làm các trục đối xứng.
Họ nghiệm x có 4 điểm biểu diễn, họ nghiệm y có 6 điểm biểu diễn.
Tất cả các nghiệm biểu diễn của họ nghiệm x đều trùng với điểm biểu diễn của họ nghiệm y.
Sau khi gộp nghiệm, họ nghiệm tổng hợp bao quát toàn bộ các điểm biểu diễn của cả hai họ nghiệm là \(z = \frac{\pi }{6} + m\frac{\pi }{6}\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).
Số điểm biểu diễn phân biệt trên đường tròn lượng giác của cả hai họ nghiệm này khi kết hợp lại là 8 điểm.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
4 điểm biểu diễn họ nghiệm x là M, N, P, Q.
6 điểm biểu diễn họ nghiệm y là M, B, C, P, B', D.
b) Sai. Có 2 điểm biểu diễn của hai họ nghiệm này trùng nhau là M và P.
c) Sai. Không có biểu thức gộp nghiệm tổng hợp của hai họ này.
d) Đúng. Tổng số điểm biểu diễn phân biệt trên đường tròn lượng giác khi kết hợp lại là 8.
Đáp án: 6
Có 6 điểm biểu diễn họ góc lượng giác \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) trên đường tròn lượng giác.
Đáp án: 1,37
Ta có x0 = OMcos60° = \(\frac{1}{2}\); \({y_0} = OM \cdot \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \({x_0} + {y_0} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 1,37\).
Đáp án: 2
Họ góc lượng giác \(x = \frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2}\) được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, A', B' trên đường tròn lượng giác.
Họ góc lượng giác \(y = k\frac{\pi }{3}\) được biểu diễn bởi 6 điểm A, M, N, A', P, Q trên đường tròn lượng giác.
Vậy hai họ nghiệm này có 2 điểm trùng nhau hoàn toàn.
Đáp án: 6
Họ góc lượng giác \(x = \frac{{k\pi }}{4}\) có tổng cộng 8 điểm biểu diễn tương ứng với k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Vì k là số nguyên không chia hết cho 4 nên loại hai vị trí ứng với k = 0 và k = 4.
Do đó có 6 điểm thỏa mãn yêu cầu của bài.
Đáp án: 60
Họ góc \(x = - \frac{{2\pi }}{3} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) tương ứng với các điểm biểu diễn cách nhau một góc 90°.
Có \( - \frac{{2\pi }}{3} = - 120^\circ \).
Các điểm biểu diễn của họ góc này lần lượt tương ứng các góc dương nhỏ nhất trong khoảng [0°; 360°).
Với k = 0, x = −120° ≡ 240°.
Với k = 1, x = −30° ≡ 330°.
Với k = 2, x = 60°.
Với k = 3, x = 150°.
Trong 4 điểm biểu diễn này, số đo góc lượng giác dương nhỏ nhất có giá trị 60°.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
