Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Xét ΔOAB và ΔOCD có:

OA = OC = R

OB = OD = R

⇒ ΔOAB = ΔOCD (c.g.c)

⇒ AB = CD ( hai cạnh tương ứng)

 AB = CD ⇒ 

Xét ΔOAB và ΔOCD có:

OA = OC = R

AB = CD (gt)

OB = OD = R

⇒ ΔOAB = ΔOCD (c.c.c)

+ Dùng compa vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm.

+ Trên đường tròn lấy điểm A.Nối OA từ đó vẽ góc 

Khi đó ta được cung AB có số đo bằng 60º.

+ ΔAOB có OA = OB,

⇒ ΔAOB đều

⇒ AB = OA = OB = R = 2cm.

Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R.

+ Trên đường tròn tâm O, lấy điểm A.

+ Vẽ cung tròn tâm A, bán kính R cắt đường tròn tại B và C.

+ Vẽ cung tròn tâm B và C bán kính R cắt đường tròn tâm O tại giao điểm thứ hai là D và E.

+ Vẽ cung tròn tâm E bán kính R cắt đường tròn (O) tại giao điểm thứ hai là F.

Khi đó, ta chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên

 Vì A,B,C ∈ (O)

⇒ BO = OA = OC

⇒ BO = AC/2.

Tam giác ABC có đường trung tuyến BO và BO bằng một phần hai độ dài cạnh tương ứng AC

=> Tam giác ABC là tam giác vuông tại B ( định lí)

⇒ 

Chứng minh tương tự

Đường tròn tâm O và O’ bằng nhau ⇒ AC = AD.(AC,AD lần lượt là bán kính của (O) và (O’))

Xét hai tam giác vuông ΔABC và ΔABD có:

AB chung, AC = AD

⇒ ΔABC = ΔABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ BC = BD(hai cạnh tương ứng)

⇒ ( định lý )

Xét tam giác AED có đường trung tuyến EO' bằng một phần hai cạnh tương ứng là AD ( O'E = O'A = O'D = AD/2)

=> Tam giác AED vuông tại E

⇒ 

⇒ ΔECD vuông tại E.

Tam giác ECD vuông có EB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền( Vì BC = BD câu (a) )

⇒ EB = BD (CD/2).

⇒ (định lý) hay B là điểm chính giữa cung 

 Xét ΔABC có: BC < AB + AC (Bất đẳng thức tam giác)

Mà AD = AC (gt)

⇒ BC < AB + AD = BD

Mà OH là khoảng cách từ O đến dây BC

OK là khoảng cách từ O đến dây BD

⇒ OH > OK.( định lý về khoảng cách từ tâm đến dây)

Vì BD > BC

⇒ 

Vẽ đường tròn tâm O, các dây cung AB // CD.

Cần chứng minh 

Cách 1:

Kẻ bán kính MN // AB // CD

MN // AB

+ TH1: AB và CD cùng nằm trong một nửa đường tròn.

.

+ TH2: AB và CD thuộc hai nửa đường tròn khác nhau.

Cách 2:

Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD (H ∈ AB, K ∈ CD)

Vì AB // CD ⇒ O, H, K thẳng hàng.

ΔOAB có OA = OB

⇒ ΔOAB cân tại O

⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác

⇒ 

Chứng minh tương tự:

Vẽ đường tròn tâm O, dây cung AB.

Gọi I là điểm chính giữa của cung AB.

Gọi OI ∩ AB = H.

ΔAOH và ΔBOH có: AO = OB,  ; OH chung

⇒ ΔAOH = ΔBOH (c-g-c)

⇒ AH = BH (hai cạnh tương ứng)

⇒ OI đi qua trung điểm H của AB.

+ Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó.

Mệnh đề sai

Ví dụ: Chọn dây cung AB là một đường kính của (O) (AB đi qua O). Khi đó, tồn tại đường kính CD đi qua O là trung điểm của AB nhưng C,D không phải là điểm chính giữa cung AB ( hình vẽ)

Mệnh đề đảo chỉ đúng khi dây cung AB không phải đường kính.

+) Cho đường tròn (O); dây cung AB; I là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$ , H = OI ∩ AB

Ta có: $\stackrel{⏜}{AI}=\stackrel{⏜}{BI}$

Suy ra: sđ $\stackrel{⏜}{AI}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BI}$

Do đó: $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Xét ΔAOH và ΔBOH có:

AO = OB,

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

OH chung

Suy ra ΔAOH = ΔBOH (c – g – c)

Do đó $\widehat{AHO}=\widehat{BHO}$

Mà $\widehat{AHO},\widehat{BHO}$  là hai góc kề bù nên $\widehat{AHO}=\widehat{BHO}=90°$

OH ⊥ AB.

Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.

+) Cho đường tròn (O); dây cung AB.

Kẻ đường thẳng OH ⊥ AB (H ∈ AB) cắt đường tròn tại I.

Ta có: ΔABO cân tại O (vì AO = OB = R).

Đường cao OH đồng thời là đường phân giác

Suy ra $\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$

Hay $\widehat{AOI}=\widehat{BOI}$

Suy ra $\stackrel{⏜}{AI}=\stackrel{⏜}{BI}$

 I là điểm chính giữa của cung $\stackrel{⏜}{AB}$

Vậy đường kính vuông góc với dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung.