50 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số có đáp án (Mới nhất) (Đề 2)

Chọn D.

Ta có  y'=6x2−62a+1x+6aa+1;  y'=0⇔x=a=x1x=a+1=x2.

Vậy  P=x2−x1=a+1−a=1. 

Nhận xét. Nếu phương trình  y'=0 không ra nghiệm đẹp như trên thì ta dùng công thức tổng quát  P=x2−x1=Δa.

Ta có  y'=6x2+2mx−12.

Do  Δ'=m2+72>0, ∀m∈ℝ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x1, x2 với  x1, x2 là hai nghiệm của phương trình  y'=0. Theo định lí Viet, ta có  x1+x2=−m3.  

Gọi  Ax1;y1 và  Bx2;y2 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán  ⇔x1=x2⇔x1=−x2 (do  x1≠x2)

 ⇔x1+x2=0⇔−m3=0⇔m=0. Chọn D.

Ta có  y'=−3x2+6mx=−3xx−2m; y'=0⇔x=0x=2m.

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  ⇔m≠0.

Khi đó gọi  A0;−3m−1 và  B2m;4m3−3m−1 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm  Im;2m3−3m−1 và AB→=2m;4m3=2m1;2m2.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là  u→=8;−1.

Ycbt  ⇔I∈dAB→.u→=0⇔m+82m3−3m−1−74=08−2m2=0⇔m=2. Chọn D.

Đạo hàm  y'=x2−2m+1x+2m+1; y'=0⇔x=1x=2m+1.

Do  m>0→2m+1≠1 nên đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Do  m>0→2m+1>1→ hoành độ điểm cực đại là  x=1 nên  yCD=y1=m−1.

Yêu cầu bài toán  ⇔yCD=0⇔m−1=0⇔m=1 : thỏa mãn. Chọn B.

 Ta có  f'x=6x2−6x;  f'x=0⇔x=0→f0=−mx=1→f1=−m−1.

Yêu cầu bài toán  ⇔mm+1<0⇔−1<m<0. Chọn C.

Đạo hàm y'=3x2+6x+m. Ta có  △'y'=9−3m.

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi  △'y'>0⇔m<3.

Ta có  y=13x+13.y'+2m3−2x+2m3−2. 

Gọi  x1,  x2 là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó  y1=2m3−2x1+2m3−2y2=2m3−2x2+2m3−2.

Theo định lí Viet, ta có  x1+x2=−2x1x2=m3. 

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi  y1.y2<0 

 ⇔2m2−22x1+1x2+1<0⇔2m2−22x1x2+x1+x2+1<0

 ⇔2m3−22m3−1<0⇔m<3m≠3⇔m<3: thỏa mãn. Chọn C.

Ta có  y'=3x2+2ax+b.

Thực hiện phép chia y cho y', ta được y=13x+19a.y'+23b−29a2x+c−19ab.

Suy ra phương trình đường thẳng  AB là:  y=23b−29a2x+c−19ab.

Do AB đi qua gốc tọa độ  O→c−19ab=0⇔ab=9c. Chọn C.

Ta có  y'=3x2−6x−m.

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị  ⇔ phương trình y'=0  có hai nghiệm phân biệt  ⇔Δ'=9+3m>0⇔m>−3.

Ta có   y=y'.13x−13−2m3+2x+2−m3.

=>  đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là  Δ:y=−2m3+2x+2−m3.

Đường thẳng  d:x+4y−5=0 có một VTPT là  n→d=1;4. 

Đường thẳng Δ:y=−2m3+2x+2−m3 có một VTPT là  n→Δ=2m3+2;1.

Ycbt  ↔22=cos450=cosd,Δ=cosn→d,n→Δ=1.2m3+2+4.112+42.2m3+22+12

 ↔60m2+264m+117=0⇔m=−12m=−3910 →m>−3m=−12: thỏa mãn. Chọn A.

Đạo hàm  y'=x2−2mx+2m−1. 

Yêu cầu bài toán  ⇔  phương trình  y'=0 có hai nghiệm  x1, x2 phân biệt và cùng dấu  ⇔Δ'=m2−2m−1>0P=2m−1>0⇔m≠1m>12.Chọn A.

Ta có  y'=6x2−6m+1x+6m,  y'=0⇔x2−m+1x+m=0⇔x=1x=m.

Để hàm số có hai điểm cực trị  ⇔m≠1.

Tọa độ các điểm cực trị là  A1;m3+3m−1 và  Bm;3m2.

Suy ra  AB2=m−12+m3−3m2+3m−12=m−12+m−16.

Ycbt  ⇔AB2=2⇔m−16+m−12−2=0⇔m−123−1+m−12−1=0

 ⇔m−12−1.m−14+m−12+2=0⇔m−12−1=0⇔m=2m=0:thỏa. Chọn B.

Ta có  y'=3x2−6mx=3xx−2m; y'=0⇔x=0x=2m.

Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  ⇔m≠0.

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là  A0;4m2−2 và  B2m;4m2−4m3−2.

Do I(1;0) là trung điểm của AB nên xA+xB=2xIyA+yB=2yI 

⇔0+2m=24m2−2+4m2−4m3−2=0⇔m=1: thỏa mãn. Chọn C.

Ta có y'=3x2−6mx=3xx−2m; y'=0⇔x=0x=2m.

Hàm số có hai điểm cực trị  ⇔y'=0 có hai nghiệm phân biệt  ⇔0≠2m⇔m≠0.

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:  A0;2 và  B2m;2−4m3.

Suy ra  MA→=−1;4,  MB→=2m−1;4−4m3.

Theo giả thiết A, B và M thẳng hàng  ⇔2m−1−1=4−4m34⇔m=0 loaïim=±2 thoûamaõn.

Chọn D.

Ta có  y'=−3x2+3m=−3x2−m.

Để hàm số có hai điểm cực trị  ⇔x2−m=0 có hai nghiệm phân biệt  ⇔m>0.

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:  A−m;1−2mm và  Bm;1+2mm.

Yêu cầu bài toán  ⇔OA→.OB→=0⇔4m3+m−1=0⇔m=12 thoûamaõn. Chọn C.

Ta có  y'=4ax3+2bx=2x2ax2+b;  y'=0⇔x=0x2=−b2a.

Để hàm số có ba điểm cực trị  ⇔x2=−b2a có hai nghiệm phân biệt khác 0

 ⇔−b2a>0⇔ab<0. Khi đó  a, b trái dấu và c bất kì. Chọn B.

Ta có  y'=4ax3+2bx=2x2ax2+b;  y'=0⇔x=0x2=−b2a.

Để hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại  ⇔a<0 −b2a>0⇔a<0b>0. Chọn B.

Ta có y'=4ax3+2bx=2x2ax2+b;  y'=0⇔x=0x2=−b2a     *.

Để hàm số có một điểm cực trị  ⇔∗ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0

 ⇔−b2a≤0⇔b=0ab>0.                                      (1) 

Khi đó, để điểm cực trị này là điểm cực tiểu thì a>0.    (2)

Từ (1) và (2), suy ra a>0, b≥0.Chọn D.

Ta có y'=4x3+4mx=4xx2+m; y'=0⇔x=0x2=−m.

Để hàm số có ba điểm cực trị <=> y'=0 có ba nghiệm phân biệt ⇔−m>0⇔m<0.

Chọn C.

TH1. Với a=0↔m=0, khi đó y=x2+1 có đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên nên hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu.

=> m=0 thỏa mãn.

TH2. Với a>0↔m>0, ycbt ⇔ab≥0⇔mm+1≥0: đúng với  m>0.

=> m>0 thỏa mãn.

TH3. Với a<0↔m<0, ycbt ⇔ab<0→a<0b>0↔m+1>0↔m>−1

=> −1<m<0 thỏa mãn.

Hợp các trường hợp ta được m>−1. 

Nhận xét. Bài toán hỏi hàm số có một điểm cực tiểu nên hàm số có thể có điểm cực đại hoặc không có điểm cực đại. Khi nào bài toán hỏi hàm số có đúng một cực tiểu và không có cực đại thì lúc đó ta chọn đáp án B.

Chọn D.

Nếu m=0 thì y=−x2+1 là hàm bậc hai nên chỉ có duy nhất một cực trị.

Khi m≠0, ta có y'=4mx3+2m−1x=2x2mx2+m−1; y'=0⇔x=0x2=1−m2m.

Để hàm số có đúng một điểm cực trị khi 1−m2m≤0⇔m≥1m<0.

Kết hợp hai trường hợp ta được m≤0m≥1. Chọn D.

Ta có y'=4x3−6x+a và y''=12x2−6.

Do A2;−2 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên →y'2=0y2=−2

⇔32−12+a=016−12+2a+b=−2⇔a=−20b=34.

Thử lại với a=−20b=34→y=x4−3x2−20x+34.

Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=2 (thỏa).

Vậy a=−20b=34→S=a+b=14. Chọn B.

Ta có y'=4ax3+2bx.

Đồ thị có điểm cực đại A0;−3→y'0=0y0=−3→c=−3.                (1)

Đồ thị có điểm cực tiểu B−1;−5→y'−1=0y−1=−5⇔−4a−2b=0a+b+c=−5.  (2)

Giải hệ gồm (1) và (2), ta được a=2b=−4c=−3.

Thử lại với a=2b=−4c=−3→y=2x4−4x2−3. Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại x=−1: thỏa mãn. Chọn B.

Ta có y'=4x3−4m2−m+1x=4xx2−m2−m+1;  y'=0⇔x=0x=±m2−m+1.

Suy ra đồ thị có hai điểm cực tiểu là A−m2−m+1;yCT và Bm2−m+1;yCT.

Khi đó AB2=4m2−m+1=4m−122+34≥3. Dấu "=" xảy ra ⇔m=12. Chọn B.

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ab<0⇔1.−2m<0⇔m>0.

Khi dó y'=4x3−4mx=4xx2−m; y'=0⇔x=0x=mx=−m

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0;2, Bm;−m2+2, C−m;−m2+2.

Ycbt OA.OB.OC=12⇔2.m+−m2+22=12→m=2→ có một giá trị nguyên.

Chọn B.

Ta có y'=−4x3+4mx=−4xx2−m; y'=0⇔x=0x2=m.

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔m>0.

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

                       A0;−4∈Oy, B−m;m2−4 và Cm;m2−4.

Yêu cầu bài toán ⇔B,C∈Ox⇔m2−4=0⇔m=−2loaïim=2thoûamaõn. Chọn B.

Ta có y'=4x3−4mx=4xx2−m; y'=0⇔x=0x2=m.

Để hàm số có ba điểm cực trị y'=0 có ba nghiệm phân biệt ⇔m>0.

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

                       A0;1, Bm;1−m2 và  C−m;1−m2.

Ycbt: BC=4⇔2m=4⇔m=2⇔m=4 (thỏa mãn). 

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab<0⇔m>0.

Ycbt: BC=m0→am02+2b=0⇔1.42+2.−2m=0⇔m=4.

Chọn C.

Ta có y'=4x3−4m+1x=4xx2−m−1; y'=0⇔x=0x2=m+1.

Để hàm số có ba điểm cực trị <=> y'=0 có ba nghiệm phân biệt ⇔m+1>0⇔m>−1.

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

                       A0;m2, Bm+1;−2m−1 và C−m+1;−2m−1.

Khi đó AB→=m+1;−2m−1−m2 và AC→=−m+1;−2m−1−m2.

Ycbt ⇔AB→.AC→=0⇔−m+1+m+14=0⇔m=−1loaïim=0thoûamaõn. 

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị  ab<0⇔m>−1.

Ycbt →8a+b3=0⇔8.1+−2m+13=0⇔m=0.

Chọn B.

Ta có y'=4x3+4mx=0⇔x=0x2=−m.

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔−m>0⇔m<0.

Khi đó, toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0;1, B−m;−m2+1, C−−m;−m2+1.

Ycbt ⇔AB→.AC→=0⇔m+m4=0⇔m=0loaïim=−1thoûamaõn. Chọn B.

Ta có y'=12x3+4m−2018x; y'=0⇔x=03x2=2018−m.

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔2018−m>0⇔m<2018

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A0;2017,B2018−m3;−m−201823+2017,C−2018−m3;−m−201823+2017

Do tam giác ABC cân tại A nên ycbt ⇔3AB2=BC2

⇔32018−m3+m−201849=42018−m3⇔m−20183=−1⇔m=2017 thoûamaõn.

Chọn C.

Chọn D.

Ta có y'=x3−23m+1x=xx2−23m+1;  y'=0⇔x=0x2=23m+1.

Để hàm số có ba điểm cực trị  ⇔23m+1>0⇔m>−13.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là:

     A0;2m+1,  B−23m+1;−9m2−4m+1 và  C23m+1;−9m2−4m+1.

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là  G=0;2m+1+2−9m2−4m+13.

Ycbt:  G≡O⇔2m+1+2−9m2−4m+1=0⇔m=13thoûamaõnm=−23loaïi. 

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị  ab<0⇔m>−13.

Ycbt:  G≡O→b2−6ac=0⇔3m+12−6.14.2m+1=0⇔m=13thoûamaõnm=−23loaïi.

Chọn B.

Ta có  y'=92x3+6m−3x; y'=0⇔x=03x2=43−m  *.

Để hàm số có ba điểm cực trị  ⇔43−m>0⇔m<3.

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A0;4m+2017,  B23−m3;4m+2017−23−m2,  C−23−m3;4m+2017−23−m2.

Do dam giác ABC cân tại A nên yêu cầu bài toán ⇔AB2=BC2

 43−m3+43−m4=163−m3⇔3−m4=3−m⇔3−m=03−m=1⇔m=3loaïim=2thoûamaõn.

 Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị  ab<0⇔m<3.

Ycbt  →b3=−24a⇔27m−33=−27⇔m=2.

Chọn D.

Ta có  y'=4x3−4mx=4xx2−m; y'=0⇔x=0x2=m   ∗.

Để hàm số có ba điểm cực trị  ⇔  m>0.

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:  A0;0,  Bm;−m2,  C−m;−m2.

Tam giác ABC cân tại A, suy ra  SΔABC=12dA,BC.BC=12m2.2m=m2m.

Theo bài ra, ta có  SΔABC<1⇔m2m<1⇔0<m<1:thoûamaõn. 

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị  ab<0⇔m>0. 

Ycbt  →−b532a3<1⇔m5<1→0<m<1.

Chọn D.

Ta có  y'=4x3−2mx=2x2x2−m; y'=0⇔x=02x2=m .

Để hàm số có ba điểm cực trị  ⇔  m>0. 

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A0;m−2, Bm2,−m24+m−2, C−m2;−m24+m−2.

Suy ra  AB=AC=m2+m416,  BC=2m2.

Ta có  S=pr=12BC.dA,BC→AB+BC+AC2.r=12BC.dA,BC

 ⇔m2+m416+m2=12.m24.2m2.

Đặt  t=m2>0 ta được phương trình  t2+t8+t=t5⇔t=0 loaïit=2→m=4. 

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị  ab<0⇔m>0.

Ycbt  →b24a1+1−b38a=1⇔−m24.1+1+m83=1→m=−2loaïim=4thoûamaõn. 

Tập xác định:  D=ℝ\1. Đạo hàm  y'=x2−2x−m+1x−12.

Đặt  gx=x2−2x−m+1. 

Để hàm số có cực đại và cực tiểu  ⇔gx=0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

 ⇔△'gx>0g1≠0⇔m>0m≠0⇔m>0. Chọn D.

TXĐ:  D=ℝ\−m. Đạo hàm  y'=x2+2mx+m2−1x+m2.

Hàm số đạt cực đại tại  x=2→y'2=0⇔m=−1m=−3.

Thử lại với  m=−1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2: không thỏa mãn.

Thử lại với m=-3 thì hàm số đạt cực đại tại x=2: thỏa mãn. Chọn B.

Ta có  y'=2cos2x−1 và  y''=−4sin2x.

Xét trên đoạn  0;π, ta có  y'=0⇔cos2x=12⇔x1=π6x2=5π6.

Do  y''π6=−432<0 và  y''−5π6=−4−32>0.

Vậy  xCD=π6;  xCT=5π6. Chọn C.

Đạo hàm  y'=1−2sinx  và  y''=−2cosx.

Xét trên khoảng  0;π, ta có  y'=0⇔sinx=12⇔x=π6x=5π6.

Do đó  y''π6=−2.32<0 và  y''5π6=−2−32>0.

Vậy giá trị cực đại của hàm số là  yπ6=π6+3. Chọn C.

Đạo hàm  y'=acosx−bsinx+1.

Hàm số đạt cực trị tại  x=π3 và  x=π nên  y'π3=0y'π=0

 ⇔12a−32b+1=0−a+1=0⇔a=1b=3→S=a+b=3+1. Chọn C. 

Đạo hàm  y'=2.2xx2−41−2x3+x2−42.3.−21−2x2

=1−2x2x2−4.4x1−2x−6x2−4=−21−2x2x2−47x2−2x−12.

Phương trình y'=0có 4 nghiệm đơn nên hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn B.

Ta có f'x=0⇔x=0,  x=1x=2,  x=3. Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x=1(nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị. Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số  y=f'x, ta có các nhận xét sau:

 f'x đổi dấu từ "-" sang "+" khi đi qua điểm  x=− 2 suy ra  x=− 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số  y=fx.

f'x  không đổi dấu khi đi qua điểm  x=− 1,  x=1 suy ra  x=− 1,  x=1 không là các điểm cực trị của hàm số  y=fx.

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm  x=− 2. Chọn C.

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình  f'x=0 chỉ có một nghiệm đơn (cắt trục hoành tại một điểm) và hai nghiệm kép (tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm) nên  f'x chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn. Do đó suy ra hàm số  fx có đúng một cực trị. Chọn B.